海南省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷一試題含解析

海南省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（一）試題考生留意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一，單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，若，則實數(shù)（）A1 B. C. D.-1【答案】C【解析】【分析】因，則，據(jù)此可得答案.【詳解】因為，所以，所以．故選：C2.已知在等比數(shù)列中,,,則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件求解出公比,再利用等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,所以.故選：D.3.若直線與平行，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知兩直線斜率存在，利用兩直線平行斜率相等即可求得的值.【詳解】由可知，其斜率為，又兩直線平行，所以可得，解得.故選：B4.我國商用中大型無人機產(chǎn)業(yè)已進入發(fā)展快車道,某無人機生產(chǎn)公司2024年投入研發(fā)費用4億元,安排此后每年研發(fā)費用比上一年都增加2億元,則該公司一年的研發(fā)費用首次達到20億元是在()A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年【答案】B【解析】【分析】依題意,該公司每年研發(fā)費用依次成等差數(shù)列,設(shè)為,利用等差數(shù)列的通項公式可以得到該公司第年的研發(fā)費用,令即可得到結(jié)果.【詳解】依題意,該公司每年研發(fā)費用依次成等差數(shù)列,設(shè)為,可得,公差,則該公司第年的研發(fā)費用為,令,則,所以從2024年起先第9年,即2030年的費用首次達到20億元.故選:B.5.已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用點到平面的向量求法，列式計算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點到平面的距離.故選：A6.已知橢圓的焦距大于2，則其離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)焦距求出的范圍，然后離心率的公式可得答案.【詳解】設(shè)橢圓長軸長、短軸長、焦距分別為．因為，所以，，則，解得，此時，所以．故選：C.7.若直線：與圓：交于A，B兩點，且直線不過圓心，則當?shù)闹荛L最小時，實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出直線所過的定點，結(jié)合圓的性質(zhì)可得最小時，周長最小，進而依據(jù)垂直關(guān)系可得答案.【詳解】直線：的方程可化為，∴直線過定點，又∵，∴點D在圓C內(nèi)．由圓的性質(zhì)可知當時，最小，此時的周長最小，又，，∴，則．故選：C.8.已知，是雙曲線的兩個焦點，點為上一點，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義求出，，在中利用余弦定理得到，即可求出離心率.【詳解】∵，由雙曲線的定義得，∴，．設(shè)，在中，由余弦定理得，整理可得，即，即．故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若直線經(jīng)過點，且與坐標軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)直線的方程，分別求出直線在軸與軸上的截距，由三角形面積為2列方程求出即可得直線的方程.【詳解】易知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程，令，得；令，得.故圍成的三角形面積為,化簡可得或.對于方程，，故方程無解.對于方程，可得或.故直線的方程或，即或.故選:CD.10.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】先依據(jù)條件求出遞推關(guān)系，結(jié)合選項逐個驗證可得答案.【詳解】對于A，，所以，A正確；對于B，因為，所以，所以，所以，于是，B正確；對于C，，但不滿意，故不是等比數(shù)列，C錯誤；對于D，因為，所以，即是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，D正確．故選：ABD.11.如圖所示，在三棱錐中，底面ABC是邊長為2的正三角形，點Р在底面上的射影為棱BC的中點，且，則（）A.B.三棱錐的體積為2C.異面直線與所成角的余弦值為D.BC與平面PAB所成角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】選項A可以通過線面垂直來證明，選項B利用錐體體積公式可得正誤，選項C,D利用空間向量來求解.【詳解】對于A，如圖，取BC的中點О，連接OA，OP，依據(jù)條件可知平面，所以；又，所以，因為，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，平面，所以，A正確．對于B，因為底面ABC是邊長為2的正三角形，所以，在中可得，所以三棱錐的體積為，B錯誤．以О為坐標原點，OA，ОB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，．對于C，，，所以，所以異面直線PB與AC所成角的余弦值為，C正確．對于D，，設(shè)平面的法向量為，則令，可得，，則，則BC與平面PAB所成角的正弦值為，D錯誤．故選：AC.12.已知點在直線：上運動，過點作圓：的一條切線，切點為，直線PO與圓交于點B，且點，B在的兩側(cè)，則（）A.的最小值為2B.C.當為等腰三角形時，D.點到直線AB的距離小于【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項：依據(jù)圓的切線長公式和兩點之間的距離公式即可求解；對于B選項：依據(jù)圓的性質(zhì)得到，結(jié)合A選項和銳角三角函數(shù)即可求解；對于C選項：依據(jù)為等腰三角形，只能是，從而得到，即可求解；對于D選項：依據(jù)到圓心的距離為的弦長為，所對的圓心角為，即可求解.【詳解】由題意知，圓的圓心，半徑，即，如圖所示：對于A選項：由題意知，當時，取得最小值，又點到的距離為，則的最小值為，所以的最小值為，故A選項正確；對于B選項：可知，又，由A選項得：，則，所以，則，故B選項錯誤；對于C選項：要使為等腰三角形，只能是，則，又，且，所以，即，，故C選項正確；對于D選項：到圓心的距離為的弦長為，所對的圓心角為，由題可知，所以，所以到直線AB的距離小于，故D選項正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若雙曲線的漸近線方程為，則實數(shù)__________．【答案】4【解析】【分析】因漸近線方程為，則，據(jù)此可得答案.【詳解】因該雙曲線的漸近線方程為，則，得．故答案為：4.14.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)橢圓幾何性質(zhì)限定含參數(shù)的表達式的取值范圍即可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意可知，要使方程表示焦點在軸上的橢圓，則需滿意，解得或．故答案為：15.在數(shù)列中，若，，則其通項公式為__________．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)遞推公式可得為等比數(shù)列，依據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由，得．由題意知，則，且，∴是首項為，公比為3的等比數(shù)列，∴，∴．故答案為：16.已知拋物線的焦點為F，準線為，點Р是上一點，過點Р作PF的垂線交x軸的正半軸于點A，AF交拋物線于點B，PB與x軸垂直，則直線AF的斜率為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)直線垂直滿意的斜率關(guān)系可求直線：，進而得，依據(jù)三點共線斜率相等解得.【詳解】命題意圖本題考查拋物線的性質(zhì)．解析由拋物線的方程，可得焦點為，準線方程為．設(shè)，易知，則．因為，所以，直線：，令，得，即，，由F，A，B三點共線，得，整理得，得到，解得或（舍去），所以，．故答案為：四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，成等比數(shù)列，則，由此可得；（2）由等差數(shù)列前n項和公式可得答案.【小問1詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，得，所以．【小問2詳解】數(shù)列的前項和為．由，整理得，即，得（舍去）．18.已知拋物線：的焦點坐標為．（1）求的方程；（2）直線：與交于A，B兩點，若（為坐標原點），求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線的焦點坐標即可求解，進而可得拋物線方程，（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，得，，進而依據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【小問1詳解】由拋物線的定義可得，所以，所以拋物線的方程為．【小問2詳解】設(shè)，．聯(lián)立方程組得消去得，由，得．所以，．所以，解得或（舍去）．故實數(shù)的值為7．19.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用所給條件，說明為常數(shù)，其中，；（2）由（1）可知，，后利用錯位相減法可求得答案.【小問1詳解】當時，，則，當時，由①，可得②，①-②得，整理得，即，故數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知．設(shè)，則③，則④，兩式相減得：，所以．20.如圖，已知直四棱柱的底面為平行四邊形，，，，與交于點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由勾股定理證出，再證明直棱柱中，再運用線面垂直判定定理進行證明即可.（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量進行求解即可.【小問1詳解】由已知可得，，，∴，∴，即．∵平面，平面，∴．又∵，平面，平面，∴平面．【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，．∴，，．設(shè)平面法向量為，則，∴，令，則，，∴，易知，平面平面，∵平面，∴平面，∴為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，∴，∴平面與平面的夾角的余弦值為．21.已知圓過點,,且圓心在直線上.（1）求的方程.（2）設(shè)直線:與圓交于不同的兩點,是否存在實數(shù),使得線段的中垂線經(jīng)過點?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.【答案】（1）（2）不存，理由見解析【解析】【分析】(1)設(shè)圓的方程,由題意列出方程組,解方程組求得答案;(2)假設(shè)存在符合條件的實數(shù),可推斷圓心必在直線上,結(jié)合直線垂直平分弦,求得,再利用直線交圓于,兩點,求出圓心到直線的距離與圓的半徑進行比較即可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)的方程為,則圓心,依據(jù)題意得,解得,的方程為.【小問2詳解】假設(shè)存在符合條件實數(shù).依據(jù)圓的性質(zhì)可知,線段的中垂線必經(jīng)過圓心,所以的中垂線的斜率為,則,即,所以的方程為.因為到的距離為,所以直線與圓相離,與條件沖突.所以不存在滿意條件的實數(shù).22.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求的方程；（2）過橢圓外一動點作橢圓的兩條切線，，斜率分別為，，若恒成立，證明：存在兩個定點，使得點到這兩定點的距離之和為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過的點，聯(lián)