數(shù)學 昆明三中高2025屆高三年級上學期第三次綜合測試數(shù)學答案

昆明三中高2025屆高三年級上學期第三次綜合測試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆認真填涂考號。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。1．集合，，若，則實數(shù)A． B．0 C． D．12．已知復數(shù)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則的虛部為A． B． C． D．3．已知，則的最大值是A． B．4 C．6 D．74．投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，假設(shè)甲、乙、丙每次投壺時，投中的概率均為0.6且投壺結(jié)果互不影響.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．如圖，在四邊形中，，為線段中點，，則A． B．15 C．18 D．96．已知直線與圓相交于，兩點，當面積最大時，實數(shù)的值為A．1或 B．或 C．或 D．或7．已知，則A． B．C． D．8．如果數(shù)列對任意的，則稱為“速增數(shù)列”，若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，則正整數(shù)的最大值為A．62 B．63 C．64 D．65二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯或不選的得0分。9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A．B．C．的圖象與軸的交點坐標為D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱10．若函數(shù)在處取得極大值，則A．，或B．的解集為C．當時，D．11．如圖，正方體棱長為2，、分別是棱，棱的中點，點是其側(cè)面上的動點（含邊界），下列結(jié)論正確的是A．沿正方體的表面從點到點的最短距離為B．過點，，的平面截該正方體所得的截面面積為C．當時，點的軌跡長度為D．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知一組正數(shù)，，的方差，則數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為.13．設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，，則．14．已知橢圓的左右焦點為，若橢圓上存在不在軸上的兩點A，B滿足，且，則橢圓離心率的取值范圍為 .四、解答題：共77分。15．（本小題13分）已知分別為的內(nèi)角A、B、C的對邊，為的面積，且滿足.(1)求；(2)若，且，求的余弦值.16．（本小題15分）如圖，是半球的直徑，，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且.

(1)求四邊形的面積；(2)證明：平面；(3)若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值.17．（本小題15分）已知函數(shù)（）.(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)當時，求證：.18．（本小題17分）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，離心率，點在橢圓C上，直線l過交橢圓于A，B兩點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）當時，點A在x軸上方時，求點A，B的坐標；（3）若直線交y軸于點M，直線交y軸于點N，是否存在直線l，使得與的面積滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.19．（本小題17分）某游泳館為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，顧客可選擇A和B兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該游泳館在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期t12345678910銷售量千張1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：.(1)因為優(yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，已知銷售量y和日期t呈線性關(guān)系，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程結(jié)果中的數(shù)值用分數(shù)表示；(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐可以用一張優(yōu)惠券，B套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為，求；(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列.①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，，（是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．參考公式：.參考答案：題號1234567891011答案CCAADABBADBCDCD1．C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，討論或或，結(jié)合集合中元素的互異性，即可判斷和選擇.【詳解】因為，故．①當時，，則，與元素的互異性矛盾，故不成立；②當時，解得，與元素的互異性矛盾，故不成立；③當時，即，則，，故成立，故.故選：C．2．C【分析】根據(jù)條件得到，再利用復數(shù)的運算，得到，即可求解.【詳解】因為復數(shù)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點為，所以，則，所以的虛部為，故選：C.3．A【分析】將變形為，利用均值不等式進行求解.【詳解】，，當且僅當，即時取等號.所以的最大值是.故選：A.4．A【分析】由獨立事件概率乘法公式可得.【詳解】記甲、乙、丙投中分別即為事件，由題知，則3人中至少有2人投中的概率為：.故選：A.5．D【分析】在中，由余弦定理求出長，由勾股定理可得直角三形，由求出長，再利用數(shù)量積定義即可求.【詳解】在中，已知，由余弦定理可得，則.由，可得.故在中，為線段中點，則，又，則，且.故.故選：D.6．A【分析】求出圓心和半徑，利用垂徑定理和點到直線距離公式表達出的面積，并利用基本不等式求出面積的最大值為，此時圓心到直線的距離為，從而得到方程，求出的值.【詳解】的圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離，故，則的面積，當且僅當，即時，等號成立，即，解得.故選：A7．B【分析】利用計算即可.【詳解】令，則，顯然時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（時取得等號），（時取得等號），故，即.故選：B8．B【分析】根據(jù)“速增數(shù)列”的定義，結(jié)合累加法建立不等式并求解即得.【詳解】當時，，因為數(shù)列為"速增數(shù)列"，所以，且，所以，即，當時，，當時，，故正整數(shù)的最大值為63，故選：B.9．AD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定其最小正周期，求出，判斷A；利用特殊值可求出，進而求出的圖象與軸的交點坐標，判斷BC；判斷的圖象關(guān)于點對稱，即可判斷D.【詳解】由圖可知，的最小正周期，則，A正確；由圖象可知時，函數(shù)無意義，故，由，得，即，則，即的圖象與軸的交點坐標為，B，C錯誤；由于，則的圖象關(guān)于點對稱，可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.故選：AD10．BCD【分析】A選項，由題可得，據(jù)此得的可能值，驗證后可判斷選項正誤；B選項，由A分析，可得表達式，解相應(yīng)不等式可判斷選項正誤；C選項，由A分析結(jié)合，大小關(guān)系可判斷選項正誤；D選項，由A分析，驗證等式是否成立可判斷選項正誤.【詳解】A選項，由題，則，因在處取得極大值，則或.當時，，令；.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，不合題意；當時，，令；.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，滿足題意；則，故A錯誤；B選項，由A可知，，則.故B正確；C選項，當，則，則，由A分析，在上單調(diào)遞增，則，故C正確；D選項，令，由A可知，.則，又，則，故D正確.故選：BCD11．CD【分析】根據(jù)正方體的側(cè)面展開圖，可判斷A；連接，得到過點的平面截該正方體所得的截面為等腰梯形，可判斷B；取的中點，連接，證得平面，得到，得到點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓在正方形內(nèi)的部分，可判斷定C；以為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)，求得點的軌跡方程，可判斷D.【詳解】對于A，如圖所示，將正方形沿著展在平面，在直角中，可得，將沿著展開到與平面重合，在直角中，可得，故A錯誤；對于B，如圖所示，連接，因為為的中點，可得，因為，所以，所以過點的平面截該正方體所得的截面為等腰梯形，其中，且，可得高為，可得等腰梯形的面積為，故B錯誤；對于C，取的中點，連接，因為為的中點，所以，因為平面，可得平面，又因為平面，所以，在直角中，由，可得，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓在正方形內(nèi)的部分，如圖所示，在直角中，由，可得，所以，可得，即當時，點M的軌跡長度為，故C正確；對于D，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，設(shè)，其中，則，因為與垂直，可得，即，令，可得；當，可得，即直線與正方形的邊的交點為，可得，故D正確.故選：CD.【點睛】方法點睛：立體幾何中最值問題，一般可從三個方面處理解決：一是函數(shù)法，即根據(jù)題中信息直接建立函數(shù)關(guān)系式，或通過空間向量的坐標運算建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，最后根據(jù)函數(shù)的形式，選擇利用函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式或?qū)?shù)求最值；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷求解；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.12．3【分析】先根據(jù)方差求，，的平均數(shù)，再根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系得，，的平均數(shù).【詳解】設(shè)，，的平均數(shù)為，則，因為，所以因此，，的平均數(shù)為故答案為：3【點睛】本題考查方差與平均數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.13．/0.5【分析】根據(jù)條件概率公式和概率加法公式即可求解【詳解】由條件概率公式可得：，又，所以，由概率加法公式可得：，所以；故答案為：．14．【分析】由判斷出四邊形為平行四邊形，由正弦定理，利用可得答案.【詳解】由知，為AB中點，四邊形為平行四邊形，由與可知，在中由正弦定理知，，在中，有，又因為，可得，，由，得，故離心率的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中離心率的計算，關(guān)鍵是根據(jù)題中條件，結(jié)合曲線性質(zhì)，找到一組等量關(guān)系（齊次式），進而求解離心率或范圍.15．(1)(2)【分析】（1）利用面積公式和余弦定理化簡已知條件得，然后利用輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求解角即可；（2）由向量的數(shù)量積運算律得，將代入求得，利用余弦定理求得，再利用向量運算得，從而求得，最后利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）由面積公式和余弦定理可得：，，，，.（2）由及得，，化簡得，將代入上式整理得：，所以，所以，解得.，三點共線，且，所以.16．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用圓的性質(zhì)判斷得四邊形為菱形，再利用面積公式即可得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，證得，進而得到，從而證得，由此利用線面垂直的判定定理即可可證；（3）利用（2）中條件，結(jié)合題設(shè)條件建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，從而利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）連接，因為是底面半圓弧上的兩個三等分點，所以有，又因為，

所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，則到邊的距離為，所以四邊形的面積為.（2）記與的交點為，連接，因為四邊形是菱形，則為和的中點，因為，所以為正三角形，所以，則，而在等邊中，易知，即，所以，因為是半球面上一點，是半球的直徑，所以，又，平面，所以平面.（3）因為點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（2）知，即為點在底面圓內(nèi)的射影，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即兩兩互相垂直，以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是，利用三角形中線為對應(yīng)邊的一半得到該三角形為直角三角形，從而迎刃而解.17．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導（）（），分，討論求解；（2）方法一：隱零點法，由，，轉(zhuǎn)化為證明，令，（），由成立即可；方法二：（同構(gòu)）由，，轉(zhuǎn)化為，進而變形為，再構(gòu)造函數(shù)（），證即可.【詳解】（1）解：（）（），令，則，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.當時，，則當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，而，.所以綜上所述，當時，，；當時，所以，.（2）方法一：隱零點法因為，，所以，欲證，只需證明，設(shè)，（），，令，易知在上單調(diào)遞增，而，，所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當時，，，在上單調(diào)遞減；當時，，，在上單調(diào)遞增；所以所以，因此.方法二：（同構(gòu)）因為，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構(gòu)造函數(shù)（），，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增：所以，所以，所以，因此.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是根據(jù)，利用放縮法消元為，從而只需證明，再構(gòu)造函數(shù)而得證.18．（1）；（2），；（3）存在，或【解析】（1）由和點在橢圓上結(jié)合可求出橢圓的方程.（2）設(shè)，，則，結(jié)合點A在橢圓上可求出A點坐標，然后可得直線AB的方程，再與橢圓聯(lián)立可求出B點坐標.（3）設(shè)，，，，設(shè)直線l：，，.由建立關(guān)于的方程從而求解.【詳解】解：（1）由題意可知，，，又，聯(lián)立方程組可解得：，，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)，依題意，，，，即，，又A在橢圓上，滿足，即，，解得，即，直線AB：，聯(lián)立，解得.（3）設(shè)，，，，直線l：（斜率不存在時不滿足題意），則，.聯(lián)立，得.則，.由直線的方程：，得M縱坐標.由直線的方程：，得N縱坐標，由，得.所以，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系式，得，解得.存在直線或滿足題意.【點睛】本題考查求橢圓的方程，由直線與橢圓的位置關(guān)系求橢圓上的點的坐標和根據(jù)有關(guān)三角形的面積關(guān)系求直線方程,屬于難題.19．(1)(2)(3)①最大值為，最小值為；②證明見解析【分析】（1）計算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出的值，進而得