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文檔簡介
2023屆江西省穩(wěn)派名校高三第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),則(
)A.10 B.11 C.12 D.132.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.3.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.5.某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成樣本,則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)6.在中所對的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.7.已知函數(shù)的定義域為,且,當(dāng)時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.88.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.9.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.10.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.11.已知,,,是球的球面上四個不同的點(diǎn),若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________14.在一次體育水平測試中,甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加,其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%,女生成績的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%,女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試,給出下列三個結(jié)論:①甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中,所有正確結(jié)論的序號是____________.15.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.16.設(shè),分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點(diǎn),滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點(diǎn),使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.18.(12分)已知()過點(diǎn),且當(dāng)時,函數(shù)取得最大值1.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù),求函數(shù)的表達(dá)式;(2)在(1)的條件下,函數(shù),求在上的值域.19.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.20.(12分)如圖,三棱錐中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.21.(12分)已知圓的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實數(shù)的值.22.(10分)在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求B;(2)若,AD為BC邊上的中線,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求AD的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
直線恒過定點(diǎn),由此推導(dǎo)出,由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過定點(diǎn),如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB,則,∴,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.3.A【解析】
先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項.【詳解】已知對于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)即時,取等號,當(dāng)時,函數(shù)沒有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個數(shù)為1個.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運(yùn)用基本不等式時,滿足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,排除選項C.又排除選項D;,排除選項A,故選B.【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.5.A【解析】
通過方差公式分析可知方差沒有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比,成績和平均數(shù)都增加了50,所以沒有改變,根據(jù)方差公式可知方差不變.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6.D【解析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.8.B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為,其關(guān)于原點(diǎn)對稱,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選A排除;對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.10.C【解析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,該直線在軸上的截距最大,此時取最大值,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
由題意畫出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.12.B【解析】
列出循環(huán)的每一步,進(jìn)而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進(jìn)行循環(huán),…,當(dāng),時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn):程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積?!驹斀狻吭O(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。14.②③【解析】
根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系,依次判斷每個選項得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例,故①不正確;因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率,故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率,故②正確;因為不能確定甲乙兩校的男女比例,故不能確定甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系,故③正確.故答案為:②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.15.1【解析】
根據(jù)題意,由平均數(shù)公式可得,解得的值,進(jìn)而由方差公式計算,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則,解得:,則其方差.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計算,考查運(yùn)算求解能力,求解時注意求出的值,屬于基礎(chǔ)題.16.1【解析】
令,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,令,可得,所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性,合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由平面,可得,又因為是的中點(diǎn),即得證;(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計算平面的法向量,由直線與平面所成角的大小為30°,列出等式,即得解.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接交于點(diǎn),連接,則是平面與平面的交線,因為平面,故,又因為是的中點(diǎn),所以是的中點(diǎn),故.(Ⅱ)由條件可知,,所以,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則,即,故取因為直線與平面所成角的大小為30°所以,即,解得,故此時.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18.(1);(2).【解析】
試題分析:(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為,則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得:,結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域為.試題解析:(1)由函數(shù)取得最大值1,可得,函數(shù)過得,,∵,∴,.(2),,,值域為.19.(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和.試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項和為
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