咸林中學2024-2025學年高二上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）

咸林中學2024--2025學年度上學高二年級第三次質(zhì)量檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量若則（）A.?2 B.1 C. D.1【答案】D【解析】因為，所以，即，解得．故選：D．2.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的動漫書，第3層放有2本不同的地理書，從書架上任取1本書，不同的取法總數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可得從書架上任取1本書，有種不同的取法．故選：C．3.已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.C的實軸長為 B.C的漸近線方程為C.C的離心率為 D.C的一個焦點的坐標為【答案】C【解析】對A，C的實軸長為，A錯；對B，C的漸近線方程為，B錯；對C，C的離心率為，C對；對D，C的焦點的坐標為，D錯.故選：C4.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，P為拋物線C上一點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為拋物線C：，故由，解得，所以，所以的面積為．故選：D5.在平行六面體中，，分別是，的中點.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，.故選：A.、6.已知正方體的棱長為，點是平面內(nèi)的動點，若點P到直線的距離與到直線的距離相等，則點的軌跡為（）A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【答案】A【解析】過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，在正方體中，平面，平面，則，因為點P到直線的距離與到直線的距離相等，即，即點到直線的距離等于點到點的距離，由拋物線的定義可知，點的軌跡為拋物線.【答案】A7.已知，，，為空間中不共面的四點，且若，，，四點共面，則函數(shù)的最小值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】因為，，，四點共面，所以存在，使得，故,整理得，又，所以，所以，所以，當時，函數(shù)取最小值，且最小值.故選:D.8.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，，點是的中點，則線段上的動點到直線的距離的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】取的中點為，連接，，，因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因為平面，所以，又底面是矩形，所以，以點為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系如圖所示，由，，，得，所以，，，則，設，則，，，，因此點到直線的距離，故當時，取最小值，即線段上的動點到直線的距離的最小值為．故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關于非零向量，下列命題中正確的是（）A.若，則. B.若，則.C.若，則. D.若，則.【答案】BD【解析】對于A，不能得到的方向，故A錯誤，對于B，若，則，B正確，對于C，向量不能比較大小，故C錯誤，對于D，若，則，D正確，故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.到兩定點的距離差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線.B.方程表示雙曲線.C.到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡為拋物線D.橢圓的離心率e越大，橢圓就越扁【答案】BD【解析】到兩定點的距離差的絕對值等于正常數(shù),且該常數(shù)小于兩定點的距離的點的軌跡是雙曲線，故A錯誤；對于方程，若，則表示焦點在橫軸的雙曲線，若，原式可化為，則表示焦點在縱軸的雙曲線，故B正確；根據(jù)拋物線的定義可知:該定點不能在定直線上，否則軌跡不能是拋物線，故C錯誤；橢圓的離心率是焦距與長軸的比值，離心率越大說明焦距與長軸長越接近，則短軸長越短，此時橢圓越扁平，故D正確.故選：BD11.如圖，正方體的棱長為1，點在線段上運動，則下列選項中正確的是（）A.最小值為.B.平面平面.C.若是的中點，則二面角的余弦值為.D.若，則直線與所成角的余弦值為.【答案】ABC【解析】對A：如圖連接，，因為是正方體，所以平面，平面，所以.又點在線段上，所以為直角三角形，所以（當點與點重合時取“”）.故A正確；對B：因為是正方體，所以平面，又平面，所以：平面平面，故B正確；對C：當為線段中點時，因為，，所以即為二面角的平面角.在中，，，，所以，所以.故C正確；對D：如圖：因為，在上取點，使，連接，，則,所以即為異面直線與所成的角.中，，，.由余弦定理可得：，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若Cn+17-Cn7=C【答案】n=14.解析Cn+17=Cn∴n+1=7+8，n=14.13.已知向量a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=6，則2a-b在a方向上的投影數(shù)量為.

答案1解析∵a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=6，∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×12=2∴2a-b在a方向上的投影數(shù)量為(2a?b過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點．若是中點，則雙曲線的離心率為__________.【答案】D【詳解】因為為中點，為中點，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為1，記AB=a，AC=b，AD=c.（1）.若點E，G分別為AB和CD的中點，求E，G間的距離.（2）.（1）的條件下，求異面直線EG與BD所成角的余弦值.解（1）.EG=EB+BC+CG=12AB+(AC-AB)+12(AD-AC)=12a+(b-a)+=-12a+12b+1所以EG2=14a2+14b2+14c2-12a·b-12a·c+1所以|EG|=22，即E，G間的距離為（2）.由（1）知，EG=-12a+12b+12c，|EG又BD=AD-AB=c-a，所以EG·BD=12(-a+b+c)·(c-a=12(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c=12×?12又|BD|=1，則cos〈EG，BD〉=EG·BD|EG||故異面直線EG與BD所成角的余弦值為2216.（15分）求下列問題的排列數(shù)：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.解(1)根據(jù)相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個元素，再和其余4名男生一起排列，共有A33A(2)根據(jù)不相鄰問題插空法得，先將4名男生進行全排列，再將3名女生插在5個空位上，共有A44A53(3)先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個位置上，共有A42A5517.（15分）已知在平面直角坐標系中，動點M到定點(-3，0)的距離與它到定直線l：x=-433的距離之比為常數(shù)(1)求動點M的軌跡Q的方程；(2)設點A1，12，若P是(1)中軌跡Q上的動點，求線段PA的中點解(1)設動點M(x，y)，由已知可得(x+3即x2+23x+3+y2=34化簡得x24+y2即所求動點M的軌跡Q的方程為x24+y(2)設B(x，y)，P(x0，y0)，由x=x由點P在軌跡Q上，得(2x?1)24+2y?∴線段PA的中點B的軌跡方程是18.（17分)如圖，在四棱錐中，平面為的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖：取的中點，連接，則，且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）因為平面平面，所以，由題設易知為直角梯形，且，則，，所以，即，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）如圖：取的中點，連接，則，由（2）知平面，則平面，所以為直線與平面所成的角.因為，所以.所以.即直線與平面所成角的正弦值為.19.設橢圓的方程為（），離心率為，過焦點且垂直于軸的直線交橢圓于A，兩點，.（1）求該橢圓的標準方程；（2）設動點滿足，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由離心率得，由得橢圓過點，代入橢