咸林中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

咸林中學(xué)2024--2025學(xué)年度上學(xué)高二年級(jí)第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量若則（）A.?2 B.1 C. D.1【答案】D【解析】因?yàn)椋?，即，解得．故選：D．2.書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的動(dòng)漫書，第3層放有2本不同的地理書，從書架上任取1本書，不同的取法總數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可得從書架上任取1本書，有種不同的取法．故選：C．3.已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.C的實(shí)軸長(zhǎng)為 B.C的漸近線方程為C.C的離心率為 D.C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】C【解析】對(duì)A，C的實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)B，C的漸近線方程為，B錯(cuò)；對(duì)C，C的離心率為，C對(duì)；對(duì)D，C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，D錯(cuò).故選：C4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€C：，故由，解得，所以，所以的面積為．故選：D5.在平行六面體中，，分別是，的中點(diǎn).設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，.故選：A.、6.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離與到直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為（）A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，在正方體中，平面，平面，則，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離與到直線的距離相等，即，即點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為拋物線.【答案】A7.已知，，，為空間中不共面的四點(diǎn)，且若，，，四點(diǎn)共面，則函數(shù)的最小值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共面，所以存在，使得，故,整理得，又，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值.故選:D.8.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】取的中點(diǎn)為，連接，，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以，又底面是矩形，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由，，，得，所以，，，則，設(shè)，則，，，，因此點(diǎn)到直線的距離，故當(dāng)時(shí)，取最小值，即線段上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為．故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于非零向量，下列命題中正確的是（）A.若，則. B.若，則.C.若，則. D.若，則.【答案】BD【解析】對(duì)于A，不能得到的方向，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，B正確，對(duì)于C，向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，D正確，故選：BD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.B.方程表示雙曲線.C.到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線D.橢圓的離心率e越大，橢圓就越扁【答案】BD【解析】到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于正常數(shù),且該常數(shù)小于兩定點(diǎn)的距離的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于方程，若，則表示焦點(diǎn)在橫軸的雙曲線，若，原式可化為，則表示焦點(diǎn)在縱軸的雙曲線，故B正確；根據(jù)拋物線的定義可知:該定點(diǎn)不能在定直線上，否則軌跡不能是拋物線，故C錯(cuò)誤；橢圓的離心率是焦距與長(zhǎng)軸的比值，離心率越大說(shuō)明焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)越接近，則短軸長(zhǎng)越短，此時(shí)橢圓越扁平，故D正確.故選：BD11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.最小值為.B.平面平面.C.若是的中點(diǎn)，則二面角的余弦值為.D.若，則直線與所成角的余弦值為.【答案】ABC【解析】對(duì)A：如圖連接，，因?yàn)槭钦襟w，所以平面，平面，所以.又點(diǎn)在線段上，所以為直角三角形，所以（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取“”）.故A正確；對(duì)B：因?yàn)槭钦襟w，所以平面，又平面，所以：平面平面，故B正確；對(duì)C：當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，，所以即為二面角的平面?在中，，，，所以，所以.故C正確；對(duì)D：如圖：因?yàn)?，在上取點(diǎn)，使，連接，，則,所以即為異面直線與所成的角.中，，，.由余弦定理可得：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若Cn+17-Cn7=C【答案】n=14.解析Cn+17=Cn∴n+1=7+8，n=14.13.已知向量a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=6，則2a-b在a方向上的投影數(shù)量為.

答案1解析∵a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=6，∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×12=2∴2a-b在a方向上的投影數(shù)量為(2a?b過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)．若是中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為__________.【答案】D【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（13分）如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，記AB=a，AC=b，AD=c.（1）.若點(diǎn)E，G分別為AB和CD的中點(diǎn)，求E，G間的距離.（2）.（1）的條件下，求異面直線EG與BD所成角的余弦值.解（1）.EG=EB+BC+CG=12AB+(AC-AB)+12(AD-AC)=12a+(b-a)+=-12a+12b+1所以EG2=14a2+14b2+14c2-12a·b-12a·c+1所以|EG|=22，即E，G間的距離為（2）.由（1）知，EG=-12a+12b+12c，|EG又BD=AD-AB=c-a，所以EG·BD=12(-a+b+c)·(c-a=12(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c=12×?12又|BD|=1，則cos〈EG，BD〉=EG·BD|EG||故異面直線EG與BD所成角的余弦值為2216.（15分）求下列問(wèn)題的排列數(shù)：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.解(1)根據(jù)相鄰問(wèn)題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個(gè)元素，再和其余4名男生一起排列，共有A33A(2)根據(jù)不相鄰問(wèn)題插空法得，先將4名男生進(jìn)行全排列，再將3名女生插在5個(gè)空位上，共有A44A53(3)先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個(gè)位置上，共有A42A5517.（15分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(-3，0)的距離與它到定直線l：x=-433的距離之比為常數(shù)(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A1，12，若P是(1)中軌跡Q上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，由已知可得(x+3即x2+23x+3+y2=34化簡(jiǎn)得x24+y2即所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q的方程為x24+y(2)設(shè)B(x，y)，P(x0，y0)，由x=x由點(diǎn)P在軌跡Q上，得(2x?1)24+2y?∴線段PA的中點(diǎn)B的軌跡方程是18.（17分)如圖，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接，則，且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，由題設(shè)易知為直角梯形，且，則，，所以，即，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平?（3）如圖：取的中點(diǎn)，連接，則，由（2）知平面，則平面，所以為直線與平面所成的角.因?yàn)?，所?所以.即直線與平面所成角的正弦值為.19.設(shè)橢圓的方程為（），離心率為，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由離心率得，由得橢圓過(guò)點(diǎn)，代入橢