數(shù)學課堂探究：生活中的優(yōu)化問題舉例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一面積、體積的問題1．求面積、體積的最大值問題是生活、生產中的常見問題,解決這類問題的關鍵是根據(jù)題設確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質寫出面積或體積關于自變量的函數(shù),然后利用導數(shù)的方法來解．2．必要時，可選擇建立適當?shù)淖鴺讼?，利用點的坐標建立函數(shù)關系或曲線方程,以利于解決問題．【典型例題1】請你設計一個包裝盒,如圖所示,四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B，C，D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E,F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm.(1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大,試問x應取何值？(2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．思路分析：用x分別表示出包裝盒的底邊長和高，再求側面積和容積的最值．解：設包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm.由已知得a＝eq\r（2）x，h＝eq\f（60－2x，\r（2））＝eq\r（2)(30－x),0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x（30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當x＝15時，S取得最大值．（2)V＝a2h＝2eq\r(2）（－x3＋30x2），V′＝6eq\r(2）x（20－x）．由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝20。當x∈（0,20)時，V′＞0；當x∈（20,30)時，V′＜0。所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a）＝eq\f（1，2),即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1，2）.探究二成本最低(費用最省)問題1．求實際問題的最大（小）值時，一定要從問題的實際意義去考慮，不符合實際意義的理論值應舍去；2．在實際問題中,有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(?。┲?，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(?。┲担?．在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系式給予表示，還應確定函數(shù)關系式中自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域．【典型例題2】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位:萬元）與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f（k,3x＋5)（0≤x≤10),若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1）求k的值及f（x)的表達式;（2)隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．解：(1)隔熱層厚度為xcm,由題設，每年能源消耗費用為C(x）＝eq\f（k，3x＋5），再由C(0）＝8，得k＝40，因此C（x)＝eq\f（40,3x＋5).而建造費用為C1（x)＝6x。最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x）＝20C（x)＋C1（x）＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f（800,3x＋5）＋6x（0≤x≤10)．(2）f′（x）＝6－eq\f（2400,（3x＋5)2)，令f′(x)＝0,即eq\f（2400,(3x＋5）2）＝6，解得x＝5或x＝－eq\f（25,3）（舍去）．當0≤x＜5時，f′(x）＜0；當5＜x≤10時，f′（x)＞0,故x＝5是f（x)的最小值點,對應的最小值為f(5）＝6×5＋eq\f(800，15＋5）＝70.所以,當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小,最小值為70萬元．探究三利潤最大問題1．經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟生活中要分析生產的成本與利潤的關系及利潤增減的快慢，以產量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關系，從而可以利用導數(shù)來分析、研究、指導生產活動．2．關于利潤問題常用的兩個等量關系（1)利潤＝收入－成本．(2）利潤＝每件產品的利潤×銷售件數(shù)．【典型例題3】某工廠每天生產某種產品最多不超過40件，并且在生產過程中產品的正品率P與每日生產量x(x∈N*)件之間的關系為P＝eq\f(4200－x2，4500),每生產一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元．（注：正品率＝產品中的正品件數(shù)÷產品總件數(shù)×100％）（1)將日利潤y（元)表示成日產量x(件)的函數(shù)．(2)求該廠的日產量為多少件時,日利潤最大？并求出日利潤的最大值．思路分析：（1）求出正品件數(shù)、次品件數(shù)，利用利潤＝盈利－虧損求值；(2)利用可導函數(shù)求最值的方法來求解．解:(1)因為y＝4000×eq\f（4200－x2，4500)x－2000eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（4200－x2,4500）））x＝3600x－eq\f(4,3）x3,所以所求的函數(shù)關系式是y＝－eq\f（4，3)x3＋3600x（x∈N*，1≤x≤40）．（2)顯然y′＝3600－4x2.令y′＝0,解得x＝30。所以當1≤x＜30時，y′＞0;當30＜x≤40時，y′＜0。所以函數(shù)y＝－eq\f（4,3）x3＋3600x（x∈N*，1≤x≤40）在［1,30)上單調遞增，在（30,40]上單調遞減．所以當x＝30時，函數(shù)y＝－eq\f（4,3）x3＋3600x（x∈N＊,1≤x≤40)取得最大值，最大值為－eq\f（4,3）×303＋3600×30＝72000（元）．所以該廠的日產量為30件時，日利潤最大,其最大值為72000元．探究四易錯辨析易錯點：沒有注意問題的實際意義而出錯【典型例題4】甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度v(千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v（千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛?錯解：（1)依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為eq\f（s,v)，全程運輸成本為y＝a·eq\f（s，v）＋bv2·eq\f(s，v)＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a,v）＋bv）)，所求函數(shù)為y＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，v)＋bv)），定義域為（0，c]．(2）由題意，s，a，b，v均為正數(shù)，由y′＝seq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(b－\f（a,v2）)）＝0，得v＝eq\r(\f(a，b))或v＝－eq\r（\f(a,b）)（舍)．故為了使運輸成本最小,汽車應以eq\r(\f(a，b））千米/時的速度行駛．錯因分析：一方面在運用導數(shù)解決實際問題的過程中，忽略實際問題中函數(shù)的定義域而造成求解錯誤；另一方面由于忽視了對v＝eq\r(\f(a，b))是否在區(qū)間（0,c］內的討論,致使答案錯誤．正解：(1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為eq\f(s，v)，全程運輸成本為y＝a·eq\f(s,v）＋bv2·eq\f(s，v）＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a，v）＋bv））.所以所求函數(shù)為y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，v)＋bv）),定義域為(0，c]．（2)由題意知s，a,b，v均為正數(shù)．由y′＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(b－\f（a,v2）))＝0，得v＝eq\r(\f（a，b）).但v∈（0，c］．①若eq\r(\f(a，b））≤c，則當v＝e