數(shù)學課堂探究：演繹推理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一假言推理假言推理的規(guī)則為“如果pq,p為真，則q為真”，要想驗證q為真，若p是q的充分條件，則只要驗證p為真即可．此種推理方法可以將所證問題進行合理遷移．有的問題需要借助p與q的關系，進行逆推進而求參．【典型例題1】已知函數(shù)f(x）＝meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x））)的圖象與函數(shù)h（x）＝eq\f(1，4)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)）)＋2的圖象關于點A(0,1)對稱．(1)求m的值；（2)若g(x)＝f(x）＋eq\f(a，4x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍．思路分析：應用假言推理，根據(jù)對稱的性質(zhì)，f(x)圖象上的點關于點A（0,1)的對稱點在h(x）的圖象上，代入h（x）即可求得．解：（1）設P(x，y）為函數(shù)h（x)圖象上的任一點，點P關于點A的對稱點為Q（x′，y′)，則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－x，,y′＝2－y。）)∵點Q（x′,y′)在函數(shù)f（x）＝meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1，x）））的圖象上，∴y′＝meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x′＋\f（1，x′））).將x′＝－x，y′＝2－y代入上式，得2－y＝meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－x－\f(1，x））)。整理，得y＝meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，x）））＋2。又點P(x，y）滿足h(x）＝eq\f(1,4)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x）））＋2，即y＝eq\f（1,4)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x))）＋2，∴m＝eq\f（1，4).（2）由（1）知，g（x)＝eq\f（1,4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1,x)）)＋eq\f（a，4x)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1＋a，x)）).設x1,x2是區(qū)間（0，2]上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則g(x1)－g（x2)＝eq\f(1，4）（x1－x2)·eq\f(x1x2－(1＋a），x1x2)＞0對一切x1，x2∈（0，2］恒成立．∴x1x2－（1＋a)＜0對一切x1，x2∈(0，2］恒成立．∵x1x2的最大值為4，∴1＋a＞4，∴a的取值范圍是（3，＋∞)．探究二三段論推理三段論推理用集合的觀點來講，就是:若集合M中的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P?！镜湫屠}2】已知△ABC中,∠A＝30°，∠B＝60°,求證：a＜b.證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.∴a＜b.其中,畫線部分是演繹推理的（)A．大前提B．小前提C．結論D．三段論答案：B點評演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，如果大前提是顯然的，則可以省略．探究三傳遞性關系推理傳遞性關系推理的推理規(guī)則是“若aRb，bRc，則aRc”．要注意與三段論推理的形式及實質(zhì)區(qū)別開來，三段論推理中的每一步都是一種邏輯上的銜接，且有大前提、小前提、結論三個部分，而傳遞性關系推理要用a，b，c之間的關系來銜接．【典型例題3】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1,求證：eq\r(a＋\f（1，2）)＋eq\r（b＋\f(1，2)）≤2。思路分析：本題屬于條件不等式的證明，直接用條件a＋b＝1來推理,方向不夠明確,但只要注意所求證式子的特點,我們不難想到利用傳遞性關系推理進行證明．證明：∵a＞0,b＞0，且1＝a＋b≥2eq\r（ab），∴ab≤eq\f（1,4）?！鄀q\f（1,2)(a＋b)＋ab＋eq\f(1，4）≤1.∴eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2））)\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，2））)）≤1?！?＋2eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2））)\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，2））)）≤4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，2)））＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2））)＋2eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1，2）)）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2）））)≤4.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a＋\f(1，2)）＋\r（b＋\f(1,2)）)）2≤4?！鄀q\r（a＋\f(1，2)）＋eq\r（b＋\f(1，2))≤2.探究四完全歸納推理完全歸納推理要求把所有研究對象都要進行歸納，從而得到一個結論,完全歸納推理可以用來證明命題；而歸納推理實際上是不完全歸納推理,它是合情推理的一種形式，能產(chǎn)生一些結論，但需嚴格證明后方知真假，不完全歸納推理不能用來證明命題．【典型例題4】(教材改編題)設f（n)＝n2＋n＋41，n∈{1，2,3,…，10}，試證明f（1）,f(2)，f(3），…，f（10）都是質(zhì)數(shù)．思路分析:令n取1,2,3，…，10得出f（1),f(2)，…，f（10）再判斷即可．解：f（1）＝12＋1＋41＝43，f（2)＝22＋2＋41＝47，f（3）＝32＋3＋41＝53，f(4）＝42＋4＋41＝61，f（5)＝52＋5＋41＝71,f(6）＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97,f（8）＝82＋8＋41＝113,f(9）＝92＋9＋41＝131,f（10）＝102＋10＋41＝151.由上可知,n∈{1，2,3，…，10}時,f(n)＝n2＋n＋41均為質(zhì)數(shù)．點評若將本例題中的“n∈｛1,2，3,…，10｝”改為“n∈N＋”結論就不成立了，可舉反例f（40）來說明．探究五易錯辨析易錯點:在應用三段論推理來證明問題時，首先應明確什么是問題中的大前提和小前提．在應用三段論進行推理的過程中，大前提、小前提或推理形式任何一個出現(xiàn)錯誤,都可能導致結論錯誤．【典型例題5】如圖，在△ABC中，AC＞BC,CD是AB邊上的高．求證:∠ACD＞∠BCD.錯解：證明：在△ABC中,因為CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD。錯因分析:上面的證明過程中，小前提由AD＞BD