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特征值分解矩陣的特征值分解和奇異值分解2008-04-0720:17定理:（奇異值分解）設(shè)A為m*n階復(fù)矩陣，則存在m階酉陣U和n階酉陣V，使得:

A=U*S*V’

其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0

(i=1,…,r)，r=rank(A)。

推論：設(shè)A為m*n階實(shí)矩陣，則存在m階正交陣U和n階正交陣V，使得

A=U*S*V’

其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0

(i=1,…,r)，r=rank(A)。

1、奇異值分解非常有用，對于矩陣A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，滿足A=U*S*V’。U和V中分別是A的奇異向量，而S是A的奇異值。AA'的正交單位特征向量組成U，特征值組成S'S，A'A的正交單位特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成SS'。因此，奇異值分解和特征值問題緊密聯(lián)系。

2、奇異值分解提供了一些關(guān)于A的信息，例如非零奇異值的數(shù)目（S的階數(shù)）和A的秩相同，一旦秩r確定，那么U的前r列構(gòu)成了A的列向量空間的正交基。

關(guān)于奇異值分解中當(dāng)考慮的對象是實(shí)矩陣時(shí):S對角元的平方恰為A'A特征值的說明.(對復(fù)矩陣類似可得)

從上面我們知道矩陣的奇異值分解為:A=USV,其中U,V是正交陣(所謂B為正交陣是指B'=B-1,即B'B=I),S為對角陣.

A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V-1S2V

上式中,一方面因?yàn)镾是對角陣,S'S=S2,且S2對角元就是S的對角元的平方.另一方面注意到A'A是相似與S2的,

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