機械制圖-第二章-點、直線及平面的投影

第二章點、直線及平面的投影

目的要求:

I）建立中心投影與平行投影的明確概念

2）掌握點、線、面在第一角中各種位置的投影特性和作圖方法

3）掌握直線上點的投影特性以及在平面上作點和直線的方法

4）掌握直線與直線的相對位置及其投影特性

5）了解直角定理的原理及其運用

6）掌握直線與平面、平面與平面相交的作圖及可見性的判斷

1）熟練的運用點、線、面在各種位置的投影規(guī)律進行作圖

2）掌握和正確運用直線上的點和平面上的點和直線的投影規(guī)律

3）熟練求出直線與平面、平面與平面相交的交點、交線并完成及可見性的判斷

毅錦博時：6學時

存章五要作囹佳行：

1）已知點的兩投影，完成其第三投影，或已知點的三坐標，完成其三面投影和軸測

投影；

2）判斷兩點的相對位置和作重影點的投影，并判斷重影點的可見性。

3）完成直線的三面投影及找出直線上點的投影。

4）判斷兩直線的位置關系，利用直線的相對位置關系完成直線的投影作圖，并作出

交又直線的重影點的投影。

5）直角投影定理的應用，兩直線是否垂直的判斷。

6）完成平面的三投影并判斷平面相對投影面的位置關系。

7）已知點或直線在平面上，而且已知其一個投影，完成其另外兩投影及判斷點或直

線是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。

8）求直線與平面、平面與平面的交點和交線并判斷可見性。

授薛南容；

§2-1投影法基本知識

一、投影法及其分類

I、投影法的建立

在一定投影條件卜，求得空間形體在投影面上的投影的方法，稱為投影法。

投影中心、投影面、投射線、投影

2、投影法的分類

中心投影法（投射線相交于一點，投影隨物體與投影中心和投影面的距離變化而改變大

小，故不反映空間形體表面的真實大小和形狀，但富有真實感）

平行投影法（投射線相互平行，當物體平行移動時，投影的形狀和大小不改變）一斜

投影和正投影。

本課程研究平行投影且主要是正投影，以后“投影”指正投影。

圖2-1中，投影法及平行投影法

二、正投影的基本性質

1、實形性

當線段或平面圖形平行于投影面時，其投影反映實長或實形。

2、積聚性

當直線或平面圖形垂直于投影面時，其投影積聚成點或直線。

3、類似性

當直線或平面圖形既不平行也不垂直于投影面時，直線的投影仍然是直線，平面圖形的

投影是原圖形的類似形，但直線或平面圖形的投影小于實長或實形。

此外，正投影還有平行性（即空間平行線段的投影仍然平行）；定比性（即空間平行線

段的長度比在投影中保持不變）；從屬性（即幾何元素的從屬關系在投影中不會發(fā)生改變，

如屬于直線的點的投影必屬于直線的投影，屬于平面的點和線的投影必屬于平面的投影）等

性質。

圖2-2正投影的基本性質

三、工程中常用的兩種作圖方法

1、多面正投影圖：采用相互垂直的兩個或兩個以上的投影面，在每個投影面上分別用

止投影法獲得物體的投影，它有良好的度量性，作圖簡便，但直觀性差。由這些投影能確定

幾何形體的空間位置貨物形狀。

2、軸測圖：將物體連同其參考直角坐標系，沿不平行于任一坐標面的方向，用平行投

影法將其投射在單一投影面上所得的具有立體感的圖形。它能反映長、寬、高的形狀，但作

圖較繁且度量性差，作輔助圖樣。

§2-2三面投影體系與三視圖

只根據物體的一個投影，是不能確定物體形狀的。要反映物體的完整形狀，必須增加由

不同投影方向得到的幾個視圖，互相補充，才能把物體表達清楚。

一、三投影面體系

由正立投影面V,水平投影面H和側立投

影面卬三個相互垂直的投影面構成的投影面體

系稱為三投影面體系。正立投影面簡稱為正面或

V面、水平投影面簡稱為水平面或H面、側立

投影面簡稱為側面或卬面。一:投影面兩兩相交

產生的交線。X、OK0Z,稱為投影軸，簡稱X

軸、丫軸、z軸。

圖2-3三面投影體系

二、三視圖的形成

將物體放在三投影面體系中，用正投影法，分別向三個投影面投影可得到物體的三視圖。

國標規(guī)定的視圖名稱是：

主視圖一一由前向后投影，在正面上所得的視圖；

俯視圖一一由?卜.向下投影，在水平面上所得的視圖：

左視圖一一由左向右投影，在側面上所得的視圖.

三、三視圖的投影規(guī)律

1、三視圖的位置關系

三視圖的位置關系為：主視圖在上，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右

方.按照這種位置配置視圖時，國家標準規(guī)定一律不加任何標注.

2、投影對應關系及其投影規(guī)律

每個視圖只能反映物體長、寬、高中的兩個方向的大?。?/p>

主視圖反映物體的長（x）和高（z）；

俯視圖反映物體的長（外和寬（y）；

左視圖反映物體的寬（y）和高（z）。

從物體的投影和投影面的展開過程中，還可看到：

主、左視圖反映了物體上、下方向的同樣高度（等高）；物體上各個面和各條線在主、

左視圖上的投影，應在高度方向上分別平齊。簡稱“高平齊”：

主、俯視圖反映了物體左、右方向的同樣長度（等及）；物體上各個面和各條線在主、

俯視圖上的投影，應在長度方向分別對正。簡稱“長對正”；

俯、左視圖反映了物體前、后方向的同樣寬度（等寬）；物體上各個面和各條線在俯、

左視圖上的投影，應在寬度方向上相等。簡稱“寬相等”。

上述三條投影規(guī)律，尤其是最后一條，必須在初步理解的基礎匕經過畫圖和看圖的反

復實踐，逐步達到熟練和融會貫通的程度。

3、物體的方位關系

主視圖反映了物體上下、左右的方位關系；

俯視圖反映了物體左右、前后的方位關系;

左視圖反映了物體上下、前后的方位關系。

初學者應特別注意對照直觀圖和平面圖，熟悉展開和還原過程，以便在平面圖上準確判

斷物體不同的方位關系，尤其是前后方位。

A

圖2-4三視圖的形成及其投影規(guī)律

§2-3點的投影

一、點的三面投影及投影規(guī)律

點的投影仍為一點，且空間點在一個投影面上有惟一的投影。但已知點的一個投影，

不能惟一確定點的空間位置。

將點A放在三投影面體系中分別向三個投影面V直、H面、W面作正投影，得到點A

的水平投影。、正面投影〃'、側面投影?！ā＃P于空間點及其投影的標記規(guī)定為：空間點

用大寫字母4、B、C…表示，水平投影相應用a、b、c…表示,正面投影相應用、

b’、…表示，側面投影相應用?！?、b"、c〃…表示。）

z

圖2-5點的投影及其投影規(guī)律

將投影面體系展開，去掉投影面的邊框，保留投影地，便得到點八的三面投影圖,

由圖2-5可以得出點在三投影面體系的投影規(guī)律是：

（1）點A的丫面投影和〃面投影的連線垂直于0X軸，即a'aJ_OX；（長對正）

（2）點A的V面投影和W面投影的連線垂直于0Z軸，即。'a〃_L0Z；（高平齊）

（3）點A的〃面投影到0X軸的距離等于點A的W面投影到0Z軸的距離，即4以=a〃

?z（寬相等），可以用圓弧或45°線來反映該關系。

二、點的三面投影與其直角坐標的關系

水平投影由X與Y坐標確定；正面投影由X與Z坐標確定；側面投影由Y與Z坐標確

定。點的任何兩個投影可反映點的三個坐標，即確定該點的空間位置?？臻g點在三面投影體

系中有唯一確定的一組投影。

三、點的軸測投影

點的軸測投影圖即根據點的投影圖繪制的直觀圖?？梢园淹队懊娈斪髯鴺嗣?，把投影軸

當作坐標軸，這時0點即為坐標原點。

規(guī)定X軸從O點向左為正，Y軸從0點向前為正，Z軸從O點向上為正。

X（Y,Z）坐標用A點到W（V,H）面的距離表示。

四、兩點的相對位置

在投影圖上判斷空間兩個點的相勸位置，就是分析兩點之間上下、左右和前后的關系。

由正面投影或側面投影判斷上下關系（Z坐標差）；

由正面投影或水平投影判斷左右關系（X坐標差）；

由水平投影或側面投影判斷前后關系（Y坐標差）。

五、重影點及其投影的可見性

當空間兩點位于某一投影面的同上條投射線（即其有兩對坐標值分別相等），則此兩點

在該投影面上的投影重合為一點，此兩點稱為對該投影面的重影點。為區(qū)分重影點的可見性,

規(guī)定觀察方向與投影面的投射方向一致，即對V面由前句后，對H面由上向下，對W面由

左向右。因此，距觀察者近之點的投影為可見，反之為不可見。

當空間兩點有兩對坐標值分別相等時，則該兩點必有重合投影，其可見性由重影點的一

時不等的坐標值來確定，坐標值大者為可見，小者為不可見。

圖2-7重影點

§2-4直線的投影

一、直線的投影圖

作直線投影圖，只需作出直線上任意兩點的投影，并連接該兩點在同一投影面上的投影

即可。

三面投影面體系中，空間形體距投影面的遠近不影響投影的形狀大小，所以不畫投影圖。

空間直線在某一投影面上的投影長度，與直線對該投影面的傾角大小有關。

二、各種位置直線的投影特性

按照直線對三投影面的相對位置，可以將直線分為三種：

一般位置直線一一與三投影面都傾斜的直線；

投影面平行線一一平行于一個投影面，傾斜于另兩投影面的直線；

投影面垂直線一一垂直于一個投影面，平行于另兩投影面的直線。

投影面平行線和投影面垂直線又稱為特殊位置直線。

I、一般位置直線

一般位置直線的投影特性如下（圖2-15）：

（1）三面投影都傾斜于投影軸；

（2）投影長度均比實長短，且不能反映與投影面傾角的真實大小。

2、投影面平行線

投影面平行線又可分為三種：

（1）平行于V面的直線稱為正平線；

（2）平行于月面的直線稱為水平線；

（3）平行于W面的直線稱為側平線。

投影特性：在它所不平行的兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸，不反映實長；

在它所平行的投影面上的投影反映實長，其與投影軸的夾角，分別反映該直線對另兩投影面

的真實傾角。

3、投影面垂直線

投影面垂直線同樣可以分為三種：

（1）垂直于正面的直線稱為正垂線：

（2）垂直于水平面的直線稱為鉛垂線；

（3）垂直于側面的直線稱為側垂線。

投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一點；在另兩個投影面上的投影垂直于相

應的投影軸，反映實長。

三、直線上的點

點在直線上，則點的各個投影必在該直線的同面投影上，且點分直線的兩線段長度之比

等于其投影長度之比：反之亦然C

四、兩直線的相對位置

空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉三種。

1）兩直線平行：其同面投影必平行，旦兩平行線段長度之比等于其投影長度之比。注

意：當直線為某投影面平行線時，應檢查在該投影面上的投影是否平行。

2）兩直線相交：其同面投影必相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。

3）兩直線交叉：異面兩直線。

注意：當交叉直線的投影的交點為重影點時，應判別其可見性。

I11

YH

圖2-7直線位置關系的判斷

舉例：見圖2-7,判斷所示兩直線位置關系，可以有三種方法：1）定比性；2）補投影;

3）將AD與BC相連，判斷其是否相交，進而判斷AB與CD是否平行。

五、直角的投影

直角投影定理

空間垂直的兩直線（相交或交叉），若其中的一直線平行于某投影面時，則二直線在該

投影面上的投影仍為直角，反之，若兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平

行于該投影面時，則該兩直線在空間必互相垂直。

圖2-8?角投影定理

應用直角投影定理可以解決空間成直角的情況在投影圖上的作圖，例如求距離、直角

三角形、等腰三角形、長方形、正方形、菱形等的投影作圖問題。圖2-9就是一個求距離的

例子。

圖2-9求兩交叉直線間的距離

§2-5平面的投影

一、平面的表示法

由幾何學可知，平面可由下列幾何元素確定：不在同一條直線上的三點；一直線及直線

外一點；兩相交直線：兩平行直線；任意的平面圖形。

二、各種位置平面的投影特性

平面對投影面的位置有三種：

一般位置平面一一與三個投影面都傾斜的平面；

投影面垂直面一一垂直于一個投影面，與另外兩個投影面傾斜的平面；

投影面平行面一一平行于一個投影面，垂直于另兩個投影面的平面。

1、般位置平面

傾斜于匕H、W面，是一般位置平面。

一般位置的平面的投影特性：它的三個投影仍是平面圖形，而且面積縮小，平面與三個

投影面的傾角也不能在投影上反映出來。

圖2T0一般位置平面的投影

2、投影面垂直面

投影面垂直面可分為三種:

（1）垂直于V面的平面稱為正垂面；

（2）垂直于H面的平面稱為鉛垂面；

（3）垂直于W面的平面稱為側垂面。

投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，此投影與相應投影軸的夾角分

別反映該平面與另兩個投影面的傾角；該平面在另兩個投影面上的投影均為類似性。

判定：若平面的三個投影中有一個投影是斜直線，則它一定是該投影面的垂直面。

3、投影面平行面

投影面平行面又可分為三種：

（1）平行于U面的平面稱為正平面；

（2）平行于〃面的平面稱為水平面；

（3）平行于W面的平面稱為側平面。

投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實形，其它兩個投影都積聚成直線且平行于

相應的投影軸。

判定：若平面的三個投影中有一個投影積聚成直線，并與該投影面的投影軸平行或垂直,

則它一定是某個投影面的平行面。

小結：

平面垂直于投影面時，它的投影積聚成一條直線一積聚性。

平面平行于投影面時，它的投影反映實形——實形性（真實性）

平面傾斜于投影面時，它的投影為類似圖形——類似性

平面圖形的三個投影中，至少有一個投影是封閉線框。反之，投影圖上的一個封閉線框

一般表示空間的一個面的投影。

三、平面內的點和直線

1）平面內的直線

直線在平面內的幾何條件：若一直線通過平面上的兩點或通過平面內的一點，并且平

行于平面上的另一直線，則此直線必在該平面內。

2）平面內的點

點在平面內的幾何條件；若點位于平面內任一直線上，則此點在該平面內。即平面內取

點，必先在平面內作輔助線，然后在該直線上取點。

圖2T1平面上的點和直線

四、直線與平面、平面與平面平行

直線與平面平行的幾何條件是：直線平行于平面內的任一直線。

平面與平面平行的幾何條件是：一平面內的兩相交直線平行于另一平面內的兩相交直

線。

圖2T2宣線與平面平面與平面平行

五、直線與平面、平面與平面相交

直線與平面、平面與平面的相對位置，凡不符合平行幾何條件的，則必然相交。在此只

討論平面處于與投影面垂直的特殊位置，即平面的投影具有積聚性的情況。

I、直線與平面相交

直線與平面相交的交點是走線與平面的共有點，當需判斷直線投影的可見性時，交點

又是直線各投影可見與不可見的分界點。

A

圖2-13一般位置直線與特殊位置平面相交

（2）平面與平面相交

兩平面相交的交線是兩平面的共有線，當需要判斷立面投影的可見性時，交線又是平面

圖2-14投影面垂■面與一般位置平面相交

各投影可見