簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃教案5 人教課標(biāo)版

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問(wèn)題,

它是一種重要的數(shù)學(xué)模型.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)自變量的線性

規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。涉及更多個(gè)變量的線性規(guī)劃問(wèn)題不能

用初等方法解決。

本節(jié)課為該單元的第課時(shí)，主要內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關(guān)概念和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

問(wèn)題的解法.重點(diǎn)是如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題準(zhǔn)確建立目標(biāo)函數(shù)，并依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾

何含義運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解。

與其它部分知識(shí)的聯(lián)系，表現(xiàn)在：

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

本課時(shí)的目標(biāo)是：

.了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最

優(yōu)解等相關(guān)概念.

O了解線性規(guī)劃模型的特征：一組決策變量（XJ）表示一個(gè)方案；約束條件

是一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)是線性的，求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.

（）熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區(qū)域（可行域）.

（）弄清可行域與可行解、可行域與最優(yōu)解、可行解與最優(yōu)解的關(guān)系.

.掌握實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題建立線性規(guī)劃模型并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行求解的基本思

想和步驟.

（）能從實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中抽象、識(shí)別出線性規(guī)劃模型.

（）能理解目標(biāo)函數(shù)的幾何表征（一族平行直線）.

O能依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解和線性目標(biāo)函數(shù)

的最大（小）值，其基本步驟為建、畫、移、求、答.

.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.

_2z

對(duì)模型中的最小值的求解，通過(guò)對(duì)式子z=2x+3y的變形，變?yōu)?一"十耳，

z2

利用數(shù)形結(jié)合思想，把5看作斜率為一弓的平行直線系在軸上的截距，同時(shí)考慮點(diǎn)

（X/）在可行域內(nèi)變動(dòng)，通過(guò)觀察圖象，得出直線經(jīng)過(guò)（，）時(shí)，截距最大，即利

潤(rùn)最大.數(shù)形結(jié)合思想是尋求線性規(guī)劃模型的解的有效途徑.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

線性規(guī)劃問(wèn)題的難點(diǎn)表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是將實(shí)際問(wèn)題抽象為線性規(guī)劃模型；

二是線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的幾何表征；三是線性規(guī)劃最優(yōu)解的探求.其

中第一個(gè)難點(diǎn)通過(guò)第課時(shí)已基本克服；第二個(gè)難點(diǎn)線性約束條件的幾何意義也在

第課時(shí)基本解決，本節(jié)將繼續(xù)鞏固；第三個(gè)難點(diǎn)的解決必須在二元一次不等式（組）

表示平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用數(shù)形結(jié)合的思想方法把目標(biāo)函數(shù)直觀化、可視

化，以圖解的形式解決之.

將決策變量，以有序?qū)崝?shù)對(duì)（，）的形式反映，溝通問(wèn)題與平面直角坐標(biāo)系的

聯(lián)系，一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)就是一個(gè)決策方案.借助線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確理

解線性目標(biāo)函數(shù)在軸上的截距與的最值之間的關(guān)系；以數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合得到求解線性規(guī)劃問(wèn)題的過(guò)程。

?可行解（含最優(yōu)解）的幾何表征

?可行域（約束條件）的幾何表征

?目標(biāo)函數(shù)的幾何表征

四、學(xué)習(xí)行為分析

通過(guò)前兩課時(shí)，學(xué)生對(duì)于物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題、產(chǎn)品安排問(wèn)題、下料問(wèn)題等已初步學(xué)

會(huì)了如何分析實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，能根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)假設(shè)變量，從中抽象出二元一次不

等式（組）作為約束條件；能聯(lián)想其幾何意義，用相應(yīng)的平面區(qū)域行表示它們.

在鞏固二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，使學(xué)生能從實(shí)際優(yōu)化

問(wèn)題中抽象出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；對(duì)于目標(biāo)函數(shù)學(xué)生未必能一下子想到相應(yīng)的

直線系，教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生把看成常數(shù)，把=+看成關(guān)于，的二元一次方

程；然后引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注與直線=+的縱截距的關(guān)系，借助直線的截距概念，把較

為復(fù)雜的線性規(guī)劃問(wèn)題變成易于理解和易于操作的圖形變換，直觀地運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合方法求出最優(yōu)解和線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲?；

這種從點(diǎn)與數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，線與方程的對(duì)應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對(duì)應(yīng)的過(guò)

渡和提升，能使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)及其重要性.

五、教學(xué)支持條件分析

考慮到學(xué)生的知識(shí)水平和消化能力，教師可借助計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器，從激勵(lì)

學(xué)生探究入手，講練結(jié)合，精準(zhǔn)的直觀演示能使教學(xué)更富趣味性和生動(dòng)性.

通過(guò)讓學(xué)生觀察、討論、辨析、畫圖，親身實(shí)踐，調(diào)動(dòng)多感官去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模、

用模的思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題間

的密切聯(lián)系.

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

.問(wèn)題引入

引例：某工廠用、兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用個(gè)配

件，耗時(shí)；每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用個(gè)配件，耗時(shí).已知該廠每天最多可從配件廠

獲得個(gè)配件和個(gè)配件，按每天工作計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

問(wèn)題：該廠生產(chǎn)什么？怎么生產(chǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生讀題，完成實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程.承前一課時(shí)，使學(xué)生

進(jìn)一步熟練如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出不等式組(約束條件)并用平面區(qū)域表示.

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn)，件，生產(chǎn)甲產(chǎn)品需滿足生產(chǎn)

乙產(chǎn)品需滿足生產(chǎn)時(shí)間需滿足x+從而得出二

元一次不等式組：

'x+2y<3,

4x<16,

,仙之12,

xeN,

."N.()

問(wèn)題：可能的日安排，什么意思？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解日生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)符號(hào)表示,不等式組O的整數(shù)解卜

的實(shí)際意義，并順勢(shì)給出“可行解”、“可行域”概念.

教學(xué)中，可以結(jié)合圖形，讓學(xué)生“讀出”可行解，即可行域中的個(gè)整點(diǎn)：

(,),(,),(,).

問(wèn)題：若每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，如何安排

生產(chǎn)利潤(rùn)最大？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)添加最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)入對(duì)新知識(shí)的探究，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)生成的

自然和線性規(guī)劃模型的價(jià)值.

.問(wèn)題的深入

利潤(rùn)函數(shù)模型的建立.設(shè)生產(chǎn)利潤(rùn)為（萬(wàn)元），則=+.

這是一個(gè)二元函數(shù)，甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量共同影響生產(chǎn)利潤(rùn)，不是學(xué)生熟悉

的問(wèn)題.

教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生分別求各種可能安排的利潤(rùn)（列舉）：=?

問(wèn)題：如何看待利潤(rùn)函數(shù)的解析式=+?

設(shè)計(jì)意圖：得出利潤(rùn)函數(shù)=+后，學(xué)生多會(huì)與一元函數(shù)求最值的問(wèn)題進(jìn)行類比,

考慮定義域（這里是可行域）的作用，求最值的代數(shù)的或幾何的方法.在學(xué)生活

躍的思維中，尋求數(shù)形結(jié)合的契機(jī).

由利潤(rùn)函數(shù)的解析式=+,視為常數(shù)，則=+就是關(guān)于，的二元一次方程，在

2z

平面直角坐標(biāo)系中，方程=+表示斜率為一耳，在軸上的截距為弓的一組平行直線

（直線2x+3y=°是其中的一個(gè)代表）.

由于=+中的（，），來(lái)自于可行域，所以直線=+與可行域有公共點(diǎn).

可追問(wèn)以下問(wèn)題：

當(dāng)直線=+經(jīng)過(guò)可行域中的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，最大？

2zz

y———x+——

當(dāng)直線33經(jīng)過(guò)可行域中的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，3最大？

2z

y=——x4~一

當(dāng)直線33經(jīng)過(guò)可行域中的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，與軸的交點(diǎn)最高？

ZZ

故求的最大值，可轉(zhuǎn)化為求5的最大值，而5是直線=+在軸上的截距，只要

看直線系=+與軸的交點(diǎn)I3J的最高即可.

從（一元）函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，是以直線=+與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為自變量的（一

元）函數(shù).

由于的系數(shù)為正，故是直線的縱截距的增函數(shù)，即當(dāng)直線的縱截距最大（與軸

的交點(diǎn)最高）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值.（熟練之后，就不必化直線方程為斜截式

了！）

問(wèn)題：怎樣求解線性規(guī)劃問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)具體例子，讓學(xué)生梳理問(wèn)題解決的思路，歸納最優(yōu)化問(wèn)題

的求解思路：

第步：依題意，列出不等式組

x+2”8,

4x<16,

,4^212,

yeN.

第步：畫出可行域（實(shí)際上也就找到了可行解）.

第步：依題意，求出目標(biāo)函數(shù)

z=2x+3y

第步：作出目標(biāo)函數(shù)所表示的某條直線（通常選作過(guò)原點(diǎn)的直線）,

平移此直線并觀察此直線經(jīng)過(guò)可行域的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有

最大（?。┲?

第步：求（寫）出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大（小）值.

%=4,

由［x+21y=8,解得點(diǎn)的坐標(biāo)（，）.

當(dāng)=,=時(shí)，最大,=X+X=（萬(wàn)元）.

教師可作以下示范解答

x+2”8,

<16,

<4^>12,

xeN,

yeN

解：設(shè)……，依題意，得不等式組:■作平面區(qū)域（如圖），

設(shè)……，依題意，得目標(biāo)函數(shù)=+.

作直線十=,平移之，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（？）時(shí)，最大.

由=,+=得點(diǎn)的坐標(biāo)（，）.

因此，當(dāng)=,=時(shí)，最大，=X+X=（萬(wàn)元）.

.線性規(guī)劃概念組

問(wèn)題：什么是線性規(guī)劃問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已經(jīng)獲得感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，給出線性規(guī)劃的相關(guān)概念.

在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃

問(wèn)題.線性規(guī)劃問(wèn)題的模型由目標(biāo)函數(shù)和可行域組成，其中可行域是可行解的集

合，可行解是滿足約束條件的解?使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做

這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.

結(jié)合本例，讓學(xué)生思考最優(yōu)解、可行解、可行域有怎樣的關(guān)系？

教師總結(jié)，最優(yōu)解一定是可行解，可行解的集合即可行域；最優(yōu)解一般位于可

行域的邊界上.并進(jìn)一步概括解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟，可簡(jiǎn)化為個(gè)字：建、畫、

移、求、答.

建：建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型（約束條件和目標(biāo)函數(shù)）

畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；

移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有

公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；

答：回歸問(wèn)題，寫出答案.

.問(wèn)題的變式

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的不同變式，讓學(xué)生熟悉最優(yōu)解的求法，尤其是的系

數(shù)為負(fù)的情況.借助“幾何畫板”軟件集中呈現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的圖形變化，能提高課

堂效率，建立精準(zhǔn)的數(shù)形聯(lián)系.

問(wèn)題：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，如何安

排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？

目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y,直線z=3x+2y與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為［’萬(wàn)］

作出直線分+2丁=0,并平移，觀察知，當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）時(shí)，

直線z=3x+2y與軸的交點(diǎn)最高，即=,=時(shí)，取最大值，且=.

問(wèn)題：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，如何安

排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？

目標(biāo)函數(shù)為z=2x+4y,直線z=2x+4y與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〔

作出直線2x+"=0,并平移，觀察知，當(dāng)直線z=2x+41y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）或（，）

時(shí)，直線z=2x+4y與軸的交點(diǎn)最高，即=,=或=,=時(shí)，取最大值，且=.

問(wèn)題：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，如何安

目標(biāo)函數(shù)為2=芯+4y，直線z=x+4y與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為［口）

作出直線x+4y=0,并平移，觀察知，當(dāng)直線z=x+4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）時(shí)，直

線z=x+4y與軸的交點(diǎn)最高，即=,=時(shí)，取最大值，且=.

問(wèn)題：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品虧損萬(wàn)元，如何安

排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？

讓學(xué)生先猜測(cè)；注意：的最大值一直線=—在軸上的截距一的最小值.

目標(biāo)函數(shù)為z=3x-2y,直線z=3x-2y與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為13人

作出直線3x-21y=0,并平移，觀察知，當(dāng)直線z=3x-2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）時(shí),

直線z=3x-2y與軸的交點(diǎn)最低，即=,=時(shí)，取最大值，且=.

猜測(cè)與實(shí)際運(yùn)算結(jié)果相符嗎？問(wèn)題出在哪？

教師可借助針對(duì)對(duì)所有可行解，求出生產(chǎn)利潤(rùn).

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教學(xué)時(shí)，對(duì)于每一種變式，都需要學(xué)生首先明確：

（）問(wèn)題滿足的不等式組是什么？對(duì)應(yīng)怎樣的可行域?

（）目標(biāo)函數(shù)是什么？對(duì)應(yīng)怎樣的直線（系）？

()求目標(biāo)函數(shù)的最大值，還是最小值？關(guān)