山東省青島萊西第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（1）-A4

答案第=page1212頁(yè)，共=sectionpages1212頁(yè)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)模擬試題（1）考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)位置填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)。3．所有答案都必須做在答題卷指定的位置上，務(wù)必注意試題序號(hào)和答題序號(hào)相對(duì)應(yīng)。4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷。一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或22．已知直線：，曲線：，則“與相切”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則滿足條件的不同有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．已知，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知曲線，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱C．曲線與圓有三個(gè)公共點(diǎn)D．曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離是7．有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（

）A．12 B．11 C．10 D．98．如圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，取各邊的中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新三角形，依次做下去得到一系列三角形.則前個(gè)三角形的外接圓面積之和為（

）

A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬(wàn)人參加，其中男生有20萬(wàn)人.現(xiàn)為了了解該次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取350人，其中名男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?7分，名女生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分.已知35萬(wàn)人的數(shù)學(xué)成績(jī)，近似為樣本均值，則下列正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A．B．總體是35萬(wàn)人C．樣本均值為73.5D．估計(jì)該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學(xué)成績(jī)低于66分的約有7980人10．設(shè)是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（

）A．相互獨(dú)立 B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若，且，則函數(shù)的最小正周期為C．若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為3D．若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，的長(zhǎng)為.13．如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，底面半徑為，高為，B是母線SA上一點(diǎn)，且．現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路；當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，則公路上坡路段長(zhǎng)為千米．14．如圖，在中，是正三角形，點(diǎn)是的中心，若，則.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且.(1)求B；(2)若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．如圖，在等腰梯形中，，，，為AD中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，DE的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面（如圖）．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，已知，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線交線段PM于點(diǎn)N，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．

(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)0,4且斜率為k的直線l與曲線C交于D，E兩點(diǎn)，求面積的最大值（O為原點(diǎn)）．19．已知關(guān)于x的函數(shù)，與x軸相切．(1)求的表達(dá)式；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，證明：．【期末模擬答案】1．C【詳解】當(dāng)時(shí),方程變?yōu)?，解得，滿足集合有且只有一個(gè)元素.當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程.因?yàn)榧嫌星抑挥幸粋€(gè)元素，所以.解得.綜上，實(shí)數(shù)的值為或.2．D【詳解】易知曲線：可化為，表示圓心為，半徑的上半圓；易知直線可化為，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，此時(shí)與下半圓相切，如下圖所示，不合題意，即必要性不成立；若與相切，可知，解得或；檢驗(yàn)可知只有當(dāng)時(shí)，直線與相切，即可得，所以充分性不成立；所以“與相切”是“”的既不充分也不必要條件.3．D【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)，最后應(yīng)用復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)平面的點(diǎn)判斷即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.4．A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)，所以，解得或，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以（舍去），因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，冪指數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，冪指數(shù)，為奇函數(shù)，符合題意；所以滿足條件的為.5．B【分析】易得在R上遞增，且是奇函數(shù)，再由，得到，然后利用“1”的代換，用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以在R上遞增，又，所以是奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是，6．D【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示圓的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分，其圖象如圖所示：

A.因?yàn)槭堑容S雙曲線的漸近線，曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，故正確；B.將方程中的互換后方程不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；C.圓的圓心為，又，即當(dāng)時(shí)，曲線與圓相切，所以有三個(gè)公共點(diǎn)，故正確；D.作與直線平行的直線與曲線切于點(diǎn)上的點(diǎn)到直線的最大距離是，故錯(cuò)誤；7．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)概念，求出分位數(shù)，也求出平均值，構(gòu)造方程計(jì)算即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)一共有個(gè)，，，則.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第個(gè)數(shù)，即.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于它們的平均數(shù)，所以.解得.8．B【詳解】設(shè)邊長(zhǎng)為的正三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得R=設(shè)第個(gè)三角形的外接圓半徑為，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)第個(gè)三角形的外接圓面積為，而，而所求即為的前項(xiàng)和，易得，故，而，故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，故B正確.9．AD【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的特征可判斷A；根據(jù)總體的定義可判斷B；根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的均值可計(jì)算并判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的定義可判斷D.【詳解】由分層隨機(jī)抽樣的特征可知：，故A正確；總體是35萬(wàn)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的均值知樣本均值，故C錯(cuò)誤；∵，，，∴小于66分的人數(shù)約為人，故D正確．10．ABD【詳解】對(duì)于A，由題意可知，則，因此，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，，所以，因此，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此，即，故D正確．故選：ABD．11．ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，若，則，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增；對(duì)于B，若，且，則當(dāng)且僅當(dāng)，故B正確；對(duì)于C，若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，若的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則，注意到，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)，即的取值范圍為.故選：ABD.12．【詳解】設(shè)，則，依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)的度數(shù)最大，所以.13．【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合圖象，求長(zhǎng)度.【詳解】由題意，半徑為，山高為，則母線,底面圓周長(zhǎng)，所以展開(kāi)圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合題意，,由點(diǎn)S向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)S和線段上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，則，即，得上坡路段長(zhǎng)度為.故答案為：14．/【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)锳B是的角平分線，所以，設(shè)是與的交點(diǎn)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，又，所以，即.15．(1)(2)【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，在銳角中，，則，由正弦定理得，于是，而，則，即，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.16．(1)(2)【詳解】（1）令，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，兩式相減得，即，所以，所以，即，所以，又，符合上式，所以；（2），則，，兩式作差得，即，所以．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【詳解】（1）證明：因，且，則四邊形是平行四邊形.，則，又四邊形為等腰梯形，則，結(jié)合可得是等邊三角形.又為中點(diǎn)，則；如圖連接CE，注意到，，則四邊形是平行四邊形.結(jié)合是等邊三角形，可得四邊形是菱形，則是等邊三角形，又為中點(diǎn)，則.因?yàn)槠矫妫?，所以；?）因平面平面，平面平面，平面，，則平面.又由（1）可得，則如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則.則.設(shè)平面的法向量為n=x則，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，則.又，得，則.又由題可得，結(jié)合，為DE的中點(diǎn)，可得.則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以為平面的一個(gè)法向量.要使平面，則，又，則.故在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且.

18．(1)(2)【分析】（1）利用中垂線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化，再結(jié)合橢圓的定義，即可求橢圓方程；（2）首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)表示三角形的面積，再結(jié)合斜率的范圍，以及基本不等式求最值.【詳解】（1）AI

如圖，易知圓的圓心為，半徑為4，由題得，，所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以M、Q為焦點(diǎn)的橢圓，不妨設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距為，其中，所以的方程為（2）由題意得直線，由，，