上海市金山區(qū)2024屆高三上學期一模試題 數(shù)學 含解析

2023學年第一學期質量監(jiān)控高三數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1已知集合，，則________．2.在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則的共軛復數(shù)=________.3.不等式的解集為_________．4.雙曲線的離心率為____．5.已知角，的終邊關于原點O對稱，則______．6.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中的值______．7.設圓臺的上底面和下底面的半徑分別為和，母線長為，則該該圓臺的高為_________.8.從1，2，3，4，5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同數(shù)，則所抽到的兩個數(shù)的和大于6的概率為__________（結果用數(shù)值表示）．9.已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且其圖像關于點對稱，則的值為________．10.若，則________．11.若函數(shù)的圖像關于直線對稱，且該函數(shù)有且僅有7個零點，則的值為________．12.已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是________．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.對于實數(shù)，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.已知事件A和B相互獨立，且，則（）A B. C. D.15.如圖，在正方體中，E、F為正方體內（含邊界）不重合的兩個動點，下列結論錯誤的是（）．A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則面D.若，，則16.設集合，、均為的非空子集（允許）．中的最大元素與中的最小元素分別記為，則滿足的有序集合對的個數(shù)為（）．A. B. C. D.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為中點，為與的交點．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐體積．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的值；（2）若數(shù)列為嚴格增數(shù)列，其中是常數(shù)，求的取值范圍．19.網絡購物行業(yè)日益發(fā)達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉角處的平面設計示意圖．圖1圖2（1）為避免冰箱內部制冷液逆流，要求運送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個頂點與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進客戶家門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由．（2）由于客戶選擇以舊換新服務，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設，當冰箱被卡住時(即點、分別在射線、上，點在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請幫助小金得出結論：按此種方式推運的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結果精確到）20.已知三條直線（）分別與拋物線交于點、，為軸上一定點，且，記點到直線的距離為，△的面積為．（1）若直線的傾斜角為，且過拋物線的焦點，求直線的方程；（2）若，且，證明：直線過定點；（3）當時，是否存在點，使得，，成等比數(shù)列，，，也成等比數(shù)列？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21.設函數(shù)的定義域為，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點”．（1）試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請求出其“均值點”；如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設分點的橫坐標從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設等分點的橫坐標從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．2023學年第一學期質量監(jiān)控高三數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1.已知集合，，則________．【答案】【解析】分析】根據(jù)交集直接計算即可.【詳解】由題可知：，，所以故答案為：2.在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則的共軛復數(shù)=________.【答案】##

【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得，結合共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意知，該復數(shù)為，則.故答案為：.3.不等式的解集為_________．【答案】或【解析】【分析】將分式不等式轉化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得結果.【詳解】根據(jù)分式不等式解法可知等價于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集為或.故答案為：或4.雙曲線的離心率為____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得：考點：雙曲線離心率5.已知角，的終邊關于原點O對稱，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角，的終邊關于原點O對稱得，即可得到的值.【詳解】角，的終邊關于原點O對稱，，.故答案為：.6.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中的值______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖可求得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，進而構造方程求得的值.【詳解】由莖葉圖可知：乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，即，解得：.

故答案為：.7.設圓臺的上底面和下底面的半徑分別為和，母線長為，則該該圓臺的高為_________.【答案】【解析】【分析】作出圓臺軸截面，求出軸截面的高，即得答案.【詳解】作出圓臺的軸截面，如圖示為等腰梯形，梯形的高即為圓臺的高，即高為，故答案為：8.從1，2，3，4，5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)，則所抽到的兩個數(shù)的和大于6的概率為__________（結果用數(shù)值表示）．【答案】##0.4【解析】【分析】求出所有的基本事件個數(shù)以及符合題意的基本事件個數(shù)，利用古典概型求概率即可.【詳解】根據(jù)題意，從1，2，3，4，5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)共有，所抽到兩個數(shù)的和大于6共有，，，共4種，所以所抽到的兩個數(shù)的和大于6的概率為.故答案為：9.已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且其圖像關于點對稱，則的值為________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)增函數(shù)和對稱中心特征，求出范圍，進而得到答案.【詳解】因為，則，函數(shù)()在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，所以，即；又因為的圖像關于點對稱，則（），則（），所以（），解得（），結合，所以或.故答案為：或.10.若，則________．【答案】【解析】【分析】采用賦值法，令即可求得結果.【詳解】令，則，所以，故答案為：.11.若函數(shù)的圖像關于直線對稱，且該函數(shù)有且僅有7個零點，則的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得的圖形過點，得到的圖象過點，結合，，聯(lián)立方程組，求得的值，得出，再根據(jù)題意，得到必為函數(shù)的一個零點，結合，求得的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則函數(shù)的圖形過點，因為函數(shù)的圖象關于對稱，則函數(shù)的圖象過點，可得，且，可得，又由，且，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以，因為函數(shù)圖像關于直線對稱，且該函數(shù)有且僅有7個零點，則必為函數(shù)的一個零點，即，可得，解得，所以.故答案為：.12.已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是________．【答案】.【解析】【分析】利用平面向量坐標表示與數(shù)量積計算，結合雙曲線的定義與性質計算即可.【詳解】根據(jù)題意不妨設，為坐標原點，則，即點到的距離比到點的距離大2，根據(jù)雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線的一支，以2為長軸，4為焦距，則，又，易知C點軌跡為，顯然C點軌跡為點軌跡雙曲線的漸近線，如上圖所示，由圖形的對稱性不妨設，則，由題意，當時，此時點橫坐標最小，由點到直線的距離公式可知，而雙曲線在漸近線下方，則，與雙曲線方程聯(lián)立，即，則，聯(lián)立，即，由雙曲線的性質可知滿足的點橫坐標無上限，故的取值范圍是.故答案為：【點睛】難點點睛：本題難點在于利用平面向量的坐標表示及數(shù)量積的運算判定向量終點軌跡，再利用雙曲線的性質結合點到直線的距離計算即可.二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.對于實數(shù)，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由于不等式的基本性質，“a＞b”?“ac＞bc”必須有c＞0這一條件．解：主要考查不等式的性質．當c=0時顯然左邊無法推導出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B考點：不等式的性質點評：充分利用不等式的基本性質是推導不等關系的重要條件．14.已知事件A和B相互獨立，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相互獨立事件的概率乘法公式可得答案.【詳解】依題意可．故選：A15.如圖，在正方體中，E、F為正方體內（含邊界）不重合的兩個動點，下列結論錯誤的是（）．A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則面D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體特征及線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定可判定A、B選項；利用正方體的特征及面面平行的判定與性質可判定C、D選項.【詳解】如圖所示，對于選項A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于選項B，易知，所以平面，因為平面，所以平面平面，顯然平面即平面，故B正確；如上圖所示，對于C項，由正方體的特征可知，因為平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，顯然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正確；對于D項，顯然時，與不平行，故D不正確.故選：D16.設集合，、均為的非空子集（允許）．中的最大元素與中的最小元素分別記為，則滿足的有序集合對的個數(shù)為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)子集的個數(shù)，先求解的有序集合對的個數(shù)，然后用總個數(shù)減去即可求解.【詳解】對于給定的,集合是集合的任意一個子集與的并，故有種不同的取法，又,所以的任意一個非空子集，共有種取法，因此，滿足的有序集合對的個數(shù)為，由于有序對有個，因此滿足的有序集合對的個數(shù)為故選：B三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點，為與的交點．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線定理證明，再由判定證明即可；（2）求出點到平面的距離，再由體積公式求解.【小問1詳解】證明：四邊形為正方形，為與的交點，是的中點，又是的中點，，又平面平面，//平面．【小問2詳解】平面是的中點，到平面的距離，四邊形是正方形，，三棱錐的體積．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的值；（2）若數(shù)列為嚴格增數(shù)列，其中是常數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算性質可得，即可判斷為等比數(shù)列，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項求解，（2）利用作差法可得對正整數(shù)恒成立，即可求解.小問1詳解】由，得，故，即.又，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.從而，.所以.【小問2詳解】設數(shù)列滿足，因為數(shù)列為嚴格增數(shù)列，故對正整數(shù)恒成立，即對正整數(shù)恒成立，當時，取到最小值.所以.19.網絡購物行業(yè)日益發(fā)達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉角處的平面設計示意圖．圖1圖2（1）為避免冰箱內部制冷液逆流，要求運送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個頂點與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進客戶家門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由．（2）由于客戶選擇以舊換新服務，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設，當冰箱被卡住時(即點、分別在射線、上，點在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請幫助小金得出結論：按此種方式推運的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結果精確到）【答案】19.冰箱能夠按要求運送入客戶家中，理由見解析；20.最小值為米，此情況下能推運冰箱高度的最大值為米.【解析】【分析】（1）過A，D作水平線，作，由可得；（2）延長與直角走廊的邊相交于、，由表示出，設進行換元，利用單調性即可求解.【小問1詳解】過A，D作水平線，作如圖，當傾斜角時，冰箱傾斜后實際高度（即冰箱最高點到地面的距離），故冰箱能夠按要求運送入客戶家中．【小問2詳解】延長與直角走廊的邊相交于、，則，，，又，則，．設，因為，所以，所以，則，再令，則，易知，在上單調遞增，所以單調遞減，故當，即，時，取得最小值.由實際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為米．20.已知三條直線（）分別與拋物線交于點、，為軸上一定點，且，記點到直線的距離為，△的面積為．（1）若直線的傾斜角為，且過拋物線的焦點，求直線的方程；（2）若，且，證明：直線過定點；（3）當時，是否存在點，使得，，成等比數(shù)列，，，也成等比數(shù)列？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在點滿足題意【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線交點，結合直線的點斜式即可求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標運算求解，（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長公式求解，根據(jù)點到直線距離求解，進而根據(jù)等比中項即可代入化簡求解.【小問1詳解】焦點，斜率，故直線的方程為．【小問2詳解】聯(lián)立消去，整理，得．易，即，設、，則，.由，即，得，由于，所以，直線，故直線過定點.【小問3詳解】當時，．由于，所以，設，則.由，得，即．①聯(lián)立消去，整理，得.由，得．于是．由，，且，得，從而，即，化簡，得．②①②相減，整理，得．而，即，故，即．又當時，比如取，，滿足題意，故存在點滿足題意．.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進參數(shù)法：先引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.技巧：若直線方程為,則直線過定點;若直線方程為(為定值),則直線過定點21.設函數(shù)的定義域為，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點”．（1）試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請求出其“均值點”；如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設分點的橫坐標從小