統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習選修4-5不等式選講第一節(jié)絕對值不等式學生用書

第一節(jié)肯定值不等式·最新考綱·1．理解肯定值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．會利用肯定值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.·考向預料·考情分析：肯定值不等式的解法，肯定值不等式的性質，與肯定值相關的參數(shù)問題，將是高考考查的熱點，題型仍將是解答題．學科素養(yǎng)：通過肯定值不等式的求解及肯定值不等式性質的應用考查數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端一、必記2個學問點1．含有肯定值的不等式定理(1)定理：對隨意實數(shù)a和b，有________________________________________________________________________，其中等號成立的條件為ab≥0.(2)定理中的b以－b代替，則有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等號成立的條件為____________．(3)對隨意實數(shù)a和b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．肯定值不等式的解法(1)含肯定值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a________________________|x|＞a________________________(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．①利用肯定值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類探討的思想．③通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．二、必明3個常用結論1．肯定值不等式的性質||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，等號成立的條件：當ab≥0時，左側不等式成立；當ab≤0時，右側不等式成立．2．兩個等價關系(1)|x|<a(a>0)?－a<x<a.(2)|x|>a(a>0)?x<－a或x>a.推廣：①|x|<f(x)?－f(x)<x<f(x)；②|x|>f(x)?x<－f(x)或x>f(x)．3．好用口訣解含肯定值的不等式：“找零點，分區(qū)間，逐個解，并起來．”提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一含肯定值不等式的解法[基礎性、應用性][例1][2024·全國甲卷]已知函數(shù)f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)畫出y＝f(x)和y＝g(x)的圖象；(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范圍．聽課筆記：反思感悟解肯定值不等式的基本方法【對點訓練】[2024·全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)畫出y＝f(x)的圖象；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．考點二肯定值不等式性質的應用[基礎性、應用性][例2]已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求證：f(聽課筆記：反思感悟對肯定值三角不等式定理的理解留意以下三點(1)等號成立的條件在解題時常常用到，特殊是用此定理求函數(shù)的最大(小)值時．(2)該定理可推廣為|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可強化為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它們常常用于含肯定值的不等式的推論．(3)當ab≥0時，|a＋b|＝|a|＋|b|；當ab≤0時，|a－b|＝|a|＋|b|；當b(a＋b)≤0時，|a|－|b|＝|a＋b|；當b(a－b)≥0時，|a|－|b|＝|a－b|.【對點訓練】已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤1求證：|x＋5y|≤1.考點三肯定值不等式的綜合應用[應用性、創(chuàng)新性][例3][2024·惠州市高三調研考試]已知f(x)＝|x＋1|＋|ax－a＋1|.(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若x≥1時，不等式f(x)≥x＋2恒成立，求a的取值范圍．聽課筆記：反思感悟兩招解不等式問題中的含參問題(1)第一招是轉化．①把存在性問題轉化為求最值問題；②不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題；③不等式的解集為?的對立面也是不等式的恒成立問題，此類問題都可轉化為最值問題，即f(x)<a恒成立?a>fxmax，f(x)>a恒成立?a<f((2)其次招是求最值．含肯定值的函數(shù)求最值時，常用的方法有三種：①利用肯定值的幾何意義；②利用肯定值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零點分區(qū)間法．【對點訓練】1．[2024·全國乙卷]已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范圍．2．設函數(shù)f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈-32，1使不等式a＋1>f(x選修4—5不等式選講第一節(jié)肯定值不等式積累必備學問一、1．(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(2)ab≤02．(1){x|－a＜x＜a}??{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R提升關鍵實力考點一例1解析：(1)由已知得g(x)＝-4，xf(x)＝x-2，x≥22-x，x＜2，所以y＝f(x)與y＝g(2)y＝f(x＋a)的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度或向右平移|a|(a<0)個單位長度得到的，依據(jù)圖象可知向右平移不符合題意，向左平移到y(tǒng)＝f(x＋a)的圖象的右支過y＝g(x)的圖象上的點12此時y＝f(x＋a)的圖象的右支對應的函數(shù)解析式為y＝x＋a－2(x≥2－a)，則4＝12＋a－2，解得a＝11因為f(x＋a)≥g(x)，所以a≥112，故a的取值范圍為11對點訓練解析：(1)由題設知f(x)＝-x-3，x≤-y＝f(x)的圖象如圖所示．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象．y＝f(x)的圖象與y＝f(x＋1)的圖象的交點坐標為-7由圖象可知當且僅當x<－76時，y＝f(x)的圖象在y＝f(x故不等式f(x)>f(x＋1)的解集為-∞，-7考點二例2解析：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，即x≥12，2x-1得12≤x<2或0<x<1故不等式f(x)<|x|＋1的解集為{x|0<x<2}．(2)證明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13+1故不等式f(x)<1得證．對點訓練證明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由肯定值不等式的性質，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×1即|x＋5y|≤1.考點三例3解析：(1)當a＝1時，不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x|≥3.當x<－1時，－x－1－x≥3，解得x≤－2，所以x≤－2；當－1≤x<0時，x＋1－x≥3，無解；當x≥0時，x＋1＋x≥3，解得x≥1，所以x≥1.綜上，不等式f(x)≥3的解集為(－∞，－2]∪(2)當x≥1時，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.令g(x)＝a(x－1)＋1，則g(x)的圖象為過定點(1，1)且斜率為a的一族直線，數(shù)形結合可知，當a≥0時，|ax－a＋1|≥1在[1，＋∞)上恒成立．所以，所求a的取值范圍為[0，＋∞)．對點訓練1．解析：(1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，故f(x)≥6即|x－1|＋|x＋3|≥6，當x≤－3時，1－x－x－3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4；當－3<x≤1時，1－x＋x＋3≥6，即4≥6，不等式不成立，此時無解；當x>1時，x－1＋x＋3≥6，解得x≥2，又x>1，所以x≥2.綜上，不等式f(x)≥6的解集為{x|x≤－4或x≥2}．(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|3＋a|，當且僅當x在a與－3之間(包括兩個端點)時取等號，若f(x)>－a，則|3＋a|>－a，即3＋a>－a或3＋a<a，解得a>－