湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page18湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題時量：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合的并集計算即可.【詳解】，，故選：B2.若單位向量，的夾角為，則?=（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由向量的數(shù)量積的定義，代入可得選項.【詳解】因為單位向量，的夾角為，所以．故選：B．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.某校高一?高二?高三的住校生人數(shù)分別為120，180，150，為了解他們對學(xué)校宿舍的滿足程度，按人數(shù)比例用分層抽樣的方法抽取90人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一?高二?高三被抽到的住校生人數(shù)分別為（）A.12，18，15 B.20，40，30 C.25，35，30 D.24，36，30【答案】D【解析】【分析】由題意求出抽樣比，依據(jù)抽樣比求高一?高二?高三被抽到的住校生人數(shù)即可.【詳解】三個年級的住校生一共有人，∴抽樣比為，故三個年級抽取的人數(shù)分別為，，.故選：D.4.設(shè)，則等于（）A.1 B.0 C.2 D.-1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)解析式，先求，再依據(jù)其值大小球即可.【詳解】故，.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，屬簡潔題.5.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以的虛部為，故選：B6.橢圓的左、右焦點為、，始終線過交橢圓于、，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義可求得的周長.【詳解】在橢圓中，，則的周長為.故選：B.7.在正方形中，為兩條對角線的交點，為邊上的動點.若，則的最小值為（）A.2 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】以點為原點，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，求出已知點的坐標(biāo)，然后設(shè)出點的坐標(biāo)，代入已知關(guān)系式，即可求出，的關(guān)系式，然后依據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】如圖所示，以點為原點，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則，，，，則依據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，設(shè)點的坐標(biāo)為，則由，可得，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最小值為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題有兩個關(guān)鍵點，其一，是聯(lián)想到利用坐標(biāo)法分析求解，坐標(biāo)法和基底法是解決向量問題常用的策略，要敏捷選擇；其二，是利用常量代換結(jié)合基本不等式求函數(shù)的最值.8.數(shù)列為正項等比數(shù)列，且；等差數(shù)列的首項，且，；記，數(shù)列的前項和為，，恒成立，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，從而可得，再由數(shù)列的錯位相減法求和，可得，求得的最大值和最小值，結(jié)合不等式成立思想可得所求的最小值【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，得，化為，解得或（舍去），則，所以，所以，所以，兩式相減可得，得，由，可得，因為數(shù)列的前項和為恒成立，所以可得，所以的最小值為8，的最大值為2，的最小值為6故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，b和平面，若，，則直線b與平面的位置關(guān)系可能是（）A. B.b與相交 C. D.【答案】AC【解析】【分析】畫出圖形，發(fā)覺直線b與平面的位置關(guān)系有兩種【詳解】如圖，直線b與平面的位置關(guān)系有兩種，即或或故選：AC10.下列函數(shù)中，在定義域上既是增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)各項函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分別對選項進(jìn)行推斷即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，而函數(shù)在其定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故A不符合題意；函數(shù)的定義域為，由冪函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故B符合題意；由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在其定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故C不符合題意；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，所以函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)；令設(shè)隨意的，則，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D符合題意.故選：BD.11.直線與曲線恰有一個交點，則實數(shù)b可取下列哪些值（）A. B. C.1 D.【答案】AC【解析】【分析】先畫直線與曲線圖象，再結(jié)合題意推斷實數(shù)b的取值范圍即可解題.【詳解】解：曲線，整理得，，畫出直線與曲線的圖象，如圖，直線與曲線恰有一個交點，則故選：AC.【點睛】本題考查依據(jù)直線與半圓的交點個數(shù)求參數(shù)，是基礎(chǔ)題.12.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與C交于兩點，若為正三角形，則（）A. B.C的焦距為C.C的離心率為 D.的面積為【答案】BC【解析】【分析】由題可得，依據(jù)雙曲線定義可求出，即可得出，再依次推斷即可.【詳解】由題可得，由雙曲線定義可得，解得，則，解得，故A錯B對；，C對；，D錯.故選：BC.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若點在角的終邊上，則_______．【答案】【解析】【分析】利用隨意角三角函數(shù)定義求解即可.【詳解】因為點在角終邊上，所以.故答案為：.14.在正方體中，直線與所成角的大小為_______．【答案】####【解析】【分析】畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解與所成角.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為a，則，則，，所以，故直線與所成角為90°.故答案為：15.已知數(shù)列的前項的和為，并且滿足，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由，，，能求出．【詳解】數(shù)列的前項的和為，且滿足，，，．故答案為：．16.在有且僅有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】令有，令知：時，有兩個值對應(yīng)；時，有一個值對應(yīng)；問題轉(zhuǎn)化為的零點必有一個在，另一個在，進(jìn)而探討零點分布求的范圍.【詳解】令，則上有，令，則，∴：∵時，有兩個值對應(yīng)；時，有一個值對應(yīng)；∴要使由三個零點，則的零點分布如下：1、，：將代入有，此時，不合要求；2、由對稱軸，若則、，不合要求；3、，：有，即.綜上，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用零點有，換元法令，將問題轉(zhuǎn)化為在上零點分布狀況分析.四、解答題：本題共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在等比數(shù)列中，已知，．求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前4項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出等比數(shù)列的公比，再依據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可得解；（2）利用等比數(shù)列前項和公式即可得出答案.【小問1詳解】解：由題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，則，解得，故，；【小問2詳解】解：由（1）知，，故數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，．18.已知、、分別為內(nèi)角、、的邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合余弦定理即可求解；（2）利用面積公式得，再依據(jù)余弦定理可得，從而求出周長．【小問1詳解】因為由正弦定理得，則由余弦定理得，又，故；【小問2詳解】由的面積為，所以由余弦定理，因為，所以所以故的周長為19.直三棱柱中，為正方形，，，M為棱上隨意一點，點D、E分別為AC、CM的中點．（1）求證：平面；（2）當(dāng)點M為中點時，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取BC中點為，連接，，由面面平行的推斷定理證明平面平面，從而即可證明平面；（2）證明平面，即平面，從而有，依據(jù)三棱錐的體積公式即可求解.【小問1詳解】證明：取BC中點為，連接，，因為點、分別為，的中點，所以，，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；【小問2詳解】因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以，又為正方形，，，所以，且，，，又，所以平面，即平面，所以當(dāng)點為中點時，三棱錐的體積.20.已知直線恒過拋物線的焦點F．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程．【小問1詳解】解：將直線化，可得直線恒過點，即拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線的方程為．【小問2詳解】解：由題意明顯,聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，因為，所以，解得，所以或，所以直線的方程為或．21.學(xué)生考試中答對但得不了滿分的緣由多為答題不規(guī)范，詳細(xì)表現(xiàn)為：解題結(jié)果正確，無明顯推理錯誤，但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等，記此類解答為“類解答”．為評估此類解答導(dǎo)致的失分狀況，某市考試院做了項試驗：從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取若干屬于“類解答”的題目，掃描后由近千名數(shù)學(xué)老師集體評閱，統(tǒng)計發(fā)覺，滿分12分的題，閱卷老師所評分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如下表所示：老師評分（滿分12分）11109各分?jǐn)?shù)所占比例某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采納“雙評＋仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩名老師獨(dú)立評分，稱為一評和二評，當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的肯定值小于等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的肯定值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的肯定值相同時，取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．（假設(shè)本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響；考生最終所得到的實際分?jǐn)?shù)依據(jù)上述規(guī)則所得分?jǐn)?shù)計入，不做四舍五入處理）．（1）本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題（滿分12分）的解答屬于“類解答”，求甲同學(xué)此題最終所得到的實際分?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）本次數(shù)學(xué)考試有6個解答題，每題滿分12分，同學(xué)乙6個題的解答均為“類解答”．①記乙同學(xué)6個題得分為的題目個數(shù)為，，計算事務(wù)“”的概率．②同學(xué)丙的前四題均為滿分，第5題為“類解答”，第6題得6分．以乙、丙兩位同學(xué)解答題總分均值為依據(jù)，談?wù)勀銓Α邦惤獯稹钡南嘧R．【答案】（1）分布列見解析；期望為；（2）①；②答案見解析．【解析】【分析】（1）依據(jù)題中規(guī)則：規(guī)則如下：兩名老師獨(dú)立評分，稱為一評和二評，當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的肯定值小于等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的肯定值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的肯定值相同時，取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．可得隨機(jī)變量的取值為9，9.5，10，10.5，11，利用表格中的概率值，求出各種狀況下的概率，即可得到分布列，以及數(shù)學(xué)期望；（2）①事務(wù)發(fā)生的次數(shù)，“”相當(dāng)于事務(wù)恰好發(fā)生3次，那么就可以求出其概率；②分別求出乙，丙同學(xué)的均值，比較大小即可.【詳解】（1）依據(jù)題意，隨機(jī)變量的取值為9，9.5，10，10.5，11．設(shè)一評、二評、仲裁所打的分?jǐn)?shù)分別是，，，，，，，故的分布列為99.51010511．（2）①方法一事務(wù)“”可分為，；，；，；，四種狀況，其概率為．方法二記“或”為事務(wù)，6次試驗中，事務(wù)發(fā)生的次數(shù)，“”相當(dāng)于事務(wù)恰好發(fā)生3次，故概率為：．②由題意可知：乙同學(xué)得分的均值為，丙同學(xué)得分的均值為：．明顯，丙同學(xué)得分均值更高，所以“會而不對”和不會做一樣都會丟分，在做題過程中要規(guī)范作答，盡量避開“類解答”的出現(xiàn)．22.對于正實數(shù)有基本不等式：，其中，為的算術(shù)平均數(shù)，，為的幾何平均數(shù)．現(xiàn)定義的對數(shù)平均數(shù)：（1）設(shè)，求證：：（2）①證明不等式：：②若不等式對于隨意的正實數(shù)恒成立，求正實數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②2【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷出，上單調(diào)遞減，由（1），即可證明；（2）①用分析法證明：轉(zhuǎn)化為證明，令，由（1）有，即可證明；②先把題意轉(zhuǎn)化為恒成立.令，求出導(dǎo)函數(shù)，對k分類探討：，不符合題意；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，恒有（1），符合題意．即可求出正實數(shù)的最大值．【小問1詳解】令，則，，得在，上單調(diào)遞減，又（1），故當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，；【小問2詳解】（2）①證明：要證，，，只要證，只要證，即證，令，由（1）有，即得，因此，；②由，，，恒成立，得恒成立，即得恒成立，令，有恒成立，得恒成立，恒