湖南省湘潭市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page18湖南省湘潭市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一?單選題：（本大題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1已知全集，集合，集合，則集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】,,則,故選B.考點(diǎn)：本題主要考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算.2.已知為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可得對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行求解.【詳解】由,所以在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A3.在等差數(shù)列{an}中，若，則.A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【詳解】a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80,所以.4.已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，則|2+|=（）A. B.4 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)求出x的值，再利用向量的運(yùn)算求出的坐標(biāo)，最終利用模長公式即可求出答案．【詳解】因?yàn)椋越獾?，所以，因此，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)預(yù)算以及模長求解，還有就是關(guān)于向量垂直的判定與性質(zhì)．5.某種兼職工作雖然以計(jì)件的方式計(jì)算工資，但是對于同一個(gè)人的工資與其工作時(shí)間還是存在肯定的相關(guān)關(guān)系，已知小孫的工作時(shí)間（單位：小時(shí)）與工資（單位：元）之間的關(guān)系如下表：若與的線性回來方程為，預(yù)料當(dāng)工作時(shí)間為小時(shí)時(shí)，工資大約為（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】由樣本中心點(diǎn)可求得，將代入回來直線即可求得結(jié)果.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，，線性回來方程為，，即當(dāng)工作時(shí)間為小時(shí)時(shí)，工資大約為元.故選：B.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將兩邊同時(shí)平方得到，進(jìn)而可以縮小角的范圍，得到，從而得到，然后結(jié)合二倍角以及同角的平方關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】將兩邊同時(shí)平方，，所以，因此，異號，故，且，則，因此，而，，所以，故選：D.7.如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，是的中點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)可證得平面，由此可得；由勾股定理可證得，由線面垂直的判定可知平面，由此可得，依據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證得即為三棱錐的外接球球心，半徑為，代入球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，；，，為中點(diǎn)，，，，又，平面，平面，平面，，均為以為斜邊的直角三角形，為斜邊中點(diǎn)，，為三棱錐的外接球球心，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球表面積.故選：B.8.已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，依據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，由于，，且，所以．故選：A．二?多選題（本題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.以下關(guān)于函數(shù)的命題，正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心C.直線的函數(shù)圖象的一條對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】AD【解析】【分析】整理可得，代入周期公式，可推斷A的正誤，依據(jù)可推斷B的正誤，依據(jù)可推斷C的正誤，求得平移后的解析式，可推斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得，所以最小正周期，所以A對．，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以B錯(cuò)．，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，所以C錯(cuò)．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，是奇函數(shù)，所以D對．故選：AD．10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（）A. B.C. D.的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義和幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知,由，，所以，.故選：AC．11.已知函數(shù)，若是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的值域與的值域相同B.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則是函數(shù)的微小值點(diǎn)C.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，就可以得到函數(shù)的圖象D.函數(shù)和在區(qū)間上都是增函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】A.利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解推斷；B.利用函數(shù)的極值點(diǎn)定義求解推斷；C.利用三角函數(shù)的平移變換推斷；D.利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解推斷；【詳解】因?yàn)?，所以，A.因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，的值域是，故正確；B.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則，解得，k為奇數(shù)，而，所以不是函數(shù)的微小值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)和都是增函數(shù)，故正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：探討三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.12.在棱長為1的正方體中，O為正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.點(diǎn)B到平面的距離為 D.直線BO與直線的夾角為【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，可推斷A;連接BD,交AC于E,連接，證明，依據(jù)線面平行的判定定理，可推斷B;利用等體積法，求得點(diǎn)B到平面的距離，推斷C;采納作平行線的方法，求出直線BO與直線的夾角，可推斷D.【詳解】對于A，如圖，連接,則交于點(diǎn)O,正方體中，平面平面,故,而平面,故平面,故平面，而平面,故，即，故A正確；對于B，連接BD,交AC于E,連接,則,故四邊形是平行四邊形，故平面不在平面ACD1,故平面，故B正確；對于C，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d,因?yàn)?故，解得，故C正確；對于D,連接,則即為直線BO與直線的夾角或其補(bǔ)角，在中，,所以,則,故D錯(cuò)誤，故選：ABC三?填空題（每題5分，共20分）13.的綻開式中的系數(shù)是___________.【答案】；【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，簡潔計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：的通項(xiàng)公式為，令所以的系數(shù)是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，駕馭公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14.如圖，直線是曲線在處的切線，則___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)直線所過點(diǎn)可得斜率，即為，結(jié)合即可得到結(jié)果.【詳解】直線過點(diǎn)，，直線斜率，又直線是在處的切線，，又，.故答案為：.15.已知為圓上隨意一點(diǎn)，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】由題意，表示圓上的點(diǎn)與圓外的點(diǎn)連線的斜率.當(dāng)過點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)，取最值，即得最大值.【詳解】把圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心，半徑.則表示圓上的點(diǎn)與圓外的點(diǎn)連線的斜率.設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，即.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取最值.由，解得或.的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查斜率的幾何意義，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.16.已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率是___________.【答案】##【解析】【分析】由可得，結(jié)合拋物線方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程后，可配湊出關(guān)于離心率的方程，結(jié)合可解方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：是橢圓的焦點(diǎn)，；軸，或，代入橢圓方程得：，，又橢圓的離心率，，解得：，又，.故答案為：.四?解答題（本大題共6小題，共70分，解題應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿意，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由變形得：，可得證明.

（2）由（1）知：,∴,用裂項(xiàng)相消可求和,從而可證明.【詳解】（1）由變形得：又，故∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知：∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列，考查用裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若b=4，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，結(jié)合正弦定理，化簡計(jì)算作答.（2）利用余弦定理，結(jié)合均值不等式求出a+c的最大值【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，中，由正弦定理得，，而，即，整理得，即，又，解得，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，而，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取“=”，因此，當(dāng)a=c=4時(shí)，a+c取最大值8，從而a+b+c取最大值12，所以周長的最大值為12.19.年月日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據(jù)此，學(xué)校社會實(shí)踐小組隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)位奶茶愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.（1）估計(jì)奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）估計(jì)奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的概率；（3）以頻率替代概率進(jìn)行計(jì)算，若從該地區(qū)全部奶茶愛好者中任選人，求人中年齡在歲以下的人數(shù)的分布列和期望.【答案】（1）歲（2）（3）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法干脆計(jì)算即可；（2）依據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到的頻率，用頻率估計(jì)概率即可；（3）依據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到年齡在歲以下的頻率，可得，由二項(xiàng)分布概率公式可求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；依據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖估計(jì)奶茶愛好者的平均年齡為：（歲）.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的頻率為，由頻率估計(jì)概率可知：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的概率為.【小問3詳解】由頻率分布直方圖得：從該地區(qū)全部奶茶愛好者中任選人，年齡在歲以下概率為，；則全部可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望.20.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，.為上的點(diǎn)，且平面；（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、平行關(guān)系和線面垂直性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）依據(jù)線面垂直性質(zhì)可得，依據(jù)角度和長度關(guān)系可證得為中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.小問1詳解】，，，，又，；平面，平面，；，平面，平面.【小問2詳解】平面，平面，，，，，即，，為中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，；即二面角的正弦值為.21.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程．（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離相等?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在．【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)線距離公式及即可求得，從而求得雙曲線的方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立方程得到，，再由點(diǎn)到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.【小問1詳解】由題意得，，故，又因?yàn)殡p曲線的漸近線為，故是雙曲線C的一條漸近線，所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，解得，所以，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】假設(shè)存在，設(shè)，，由題意知，直線斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，則，，且，，因?yàn)槭沟命c(diǎn)F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線，則，即，則，整理得，故，即，因?yàn)?，所以，故存在?2.已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，求出，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單