黑龍江省牡丹江市普通高中第二共同體2023-2024學年高三上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題

黑龍江省牡丹江市普通高中第二共同體2023-2024學年高三上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A={x∣x?2x+1<0}，x∈AA．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≤?1 D．a(chǎn)≥?12．已知z=1+iA．z的虛部為35i C．z?z=253．點(0，3)到雙曲線A．125 B．85 C．654．7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（）種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．10565．已知圓錐的底面半徑為4，其側(cè)面展開圖為一個四分之一圓，則該圓錐的母線長為（）A．12 B．14 C．16 D．186．4sin40°cos40°cos20°A．1 B．2 C．3 D．27．已知點A(?1，0)，B(?4，0)，A．[1，16] B．[6，14] C．8．已知函數(shù)f(x)A．a(chǎn)?b>1 B．ea+lnb<2 C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知向量a=(1，x)，bA．0 B．－1 C．1 D．－210．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AAA．直線CD1與直線BD所成角為45° B．MN⊥C．MN⊥NC D．線段DN長度的最大值為3311．下列不等式正確的是（）A．已知a，b為正實數(shù)，a+b=3，則1B．y=xC．已知正數(shù)x，y滿足x+y=2，則D．若對任意x>0，x3+512．已知拋物線y2=4px(p>0)，傾斜角為銳角α的直線過其焦點F并與拋物線交于兩點A．拋物線上的點到點(4p，0)的距離最小值為B．三角形AOB（為原點）面積最小值為16C．拋物線在點(p，2p)處的切線方程為D．若AF=2BF，則sin2α=三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．某學校考試數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(95，σ2)，且P(X<70)=0.14．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a115．已知函數(shù)y=2sin(wx+π4)(w>0)在(0，π16．函數(shù)f(x)=x3?3ax+2(x>0)2四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中，sin2C=3（1）求∠C；（2）若b=6，且△ABC的周長為63+6，求18．已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且a1=3，（1）求數(shù)列{an}（2）若cn=bn+log19．近期，一些地方中小學生“課間10分鐘”問題受到社會廣泛關注，國家號召中小學要增加學生的室外活動時間．但是進入12月后，天氣漸冷，很多學生因氣溫低而減少了外出活動次數(shù)．為了解本班情況，一位同學統(tǒng)計了一周（5天）的氣溫變化和某一固定課間該班級的學生出樓人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：溫度xi（零下℃710111517出樓人數(shù)y201617107（1）利用最小二乘法，求變量x，附：用最小二乘法求線性回歸方程y=b=i=1（2）預測當溫度為?8℃時，該班級在本節(jié)課間的出樓人數(shù)（人數(shù)：四舍五入取整數(shù)）．（3）為了號召學生能夠增加室外活動時間，學校舉行拔河比賽，采取3局2勝制（無平局）．在甲、乙兩班的較量中，甲班每局獲勝的概率均為35，設隨機變量X表示甲班獲勝的局數(shù)，求X20．如圖，矩形ABCD中AB=2AD=4，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE，使D（1）求證：BM∥平面A（2）求證：平面A1DE⊥（3）求二面角C?A21．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右焦點分別為F1，F(xiàn)2（1）求C的方程．（2）若A，B兩點的縱坐標的乘積大于0，M、N是橢圓的左右頂點，且∠AF2M=∠B22．已知函數(shù)f(x)=（1）求f(x)單調(diào)區(qū)間（2）已知m為整數(shù)，關于x的不等式f(xlnx+2x?1)>f(m(x?1))在x>1時恒成立，求m的最大值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】已知集合A={x∣x?2x+1<0}，x∈A，所以A=x-1<x<2，

又因為集合A={x∣x?22．【答案】C【解析】【解答】已知z=1+i2?i=(1+i)(2+i)(2?i)(2+i)=2+i+2i+i24-i2=1+3i5=15+35i，3．【答案】A【解析】【解答】因為點(0，3)到雙曲線y29?x216=1兩條漸近線的距離相等，

又因為雙曲線其中一條漸近線為y=34x，即34x-y=0，

4．【答案】D【解析】【解答】當甲站在每一排的兩端時，有4種站法，此時乙的位置確定，剩下的人隨便排，

有4A55=480種站法；

當甲不站在每一排的兩端時，有3種站法，此時乙和甲相鄰有兩個位置可選，丙和甲不相鄰有4個位置可選，剩下的人隨便排，有3C215．【答案】C【解析】【解答】設圓錐的母線為l，

因為圓錐的底面半徑為4，其側(cè)面展開圖為一個四分之一圓，

所以2πr=π2l，所以l=4r=4×4=16，

6．【答案】C【解析】【解答】4sin40°cos40°cos20°?tan20°=2sin80°cos7．【答案】B【解析】【解答】設P(x，y)，由動點P，Q滿足|PA||PB|=|QA||QB|=12，得出PB=2PA，

所以2(x+1)2+y2=(x+4)2+y2，化簡得出x2+y2=4，

即動點P在圓x2+y8．【答案】C【解析】【解答】由f(x)=0，g(x)=0得ex=2?x，因為y=ex與y=ln在同一坐標系下，畫出y=ex，y=lnx，如圖所示：則y=xy=2?x?C(1，1)，A(a，ea所以a+b=2，ea因為a>0，b>0，a≠b，所以ab<(a+b)因為f(x)=ex+x?2，f'(x)=f(0)=e0?2<0，f(又因為點(a，ea)在直線y=2?x上，且a2因為ea=b，所以設h(x)=xex(0<x<12)所以h(x)<h(1即ab<1故答案為：C

【分析】由f(x)=0，g(x)=0得ex=2?x，lnx=2?x，由y=ex與y=9．【答案】C,D【解析】【解答】已知向量a=(1，x)，b=(x?2，x)，則a→+b→=(x-1，2x)，a→?b→=(3-x，0)，

10．【答案】B,D【解析】【解答】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，以C為原點，CD，CB，CC1所在的直線為x軸，y軸和z軸，從而建立空間直角坐標系，

則C(0，0，0)，D(4，0，0)，A1(4，4，4)，B1(0，4，4)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，D1(4，0，4)，M(x，4，0)，N(0，4，z)，

其中x，z∈(0，4)，D1M→=(x-4，4，-4)，MN→=(-x，0，z)，而D1M⊥MN，

則D1M→·11．【答案】A,C,D【解析】【解答】對于A，因為a，b為正實數(shù)，所以(a+1+b+2)(1a+1+1b+2)≥1+a+1b+2+b+2a+1+1≥2+2a+1b+2·b+2a+1=2+2=4，

又因為a+b=3，所以1a+1+1b+2的最小值為23，當且僅當a+1b+2=b+2a+1時等號成立，所以A對；

對于B，y=x2+2+1x2+2≥2x12．【答案】C,D【解析】【解答】對于A，設拋物線上的點的坐標為(x，y)，

因為y2=4px(p>0)，則拋物線上的點(x，y)到點(4p，0)的距離為(x-4p)2+y2=(x-4p)2+4px=x2-4px+16p2=(x-2p)2+12p2，

因為(x-2p)2+12p2≥23p，當x=2p時取等號，

即拋物線上的點(x，y)到點(4p，0)的距離最小值為23p，不為4p，所以A錯；

對于B，由于傾斜角為銳角α的直線過其焦點F(p，0)，所以直線的斜率k=tanα，

設直線的方程為y=tanα(x-p)，

聯(lián)立直線與拋物線方程，即y=tanα(x-p)y2=4px，

整理得出y2-4ptanα-y-4p2=0，?=13．【答案】0.68【解析】【解答】由已知條件結(jié)合P(X<70)=0.16，X=95是對稱軸，則P(X>120)=0.16，所以成績在[70，120]的概率為1-0.16-0.16=0.68.14．【答案】16【解析】【解答】設正項等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，

已知a1a2a3=4，a4a5a6=8，

所以a1a1qa1q2=a15．【答案】(【解析】【解答】因為0<x<π3，又因為ω>0，所以0<ωx<π3ω，

所以π4<ωx+π4<π3ω+π16．【答案】(1【解析】【解答】當a>0時，x>0時，f(x)=x3-3ax+2，f'(x)=3x2-3a，

當0<x<a時，f'(x)<0；當x>a時，f'(x)>0；

所以函數(shù)f(x)=x3-3ax+2在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增，

所以當x=a時，函數(shù)f(x)=x3-3ax+2取到最小值，

函數(shù)f(x)=x3?3ax+2(x>0)2x+1?a(x≤0)有且只有3個零點，

又因為f(x)=2x+1-a在(-∞，0]上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)=x3-317．【答案】（1）解：因為C∈(0，π)，則sinC>0，由已知可得可得cosC=32（2）解：周長a+b+c=6c2由①②得a=43所以【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合三角形中角C的取值范圍得出角C的正弦的取值范圍，再結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦函數(shù)值，進而得出角C的值.

（2）利用已知條件結(jié)合三角形的周長公式得出a，c的第一個方程，再利用余弦定理得出a，c的第二個方程，再聯(lián)立a，c的兩個方程得出a，c的值，再結(jié)合三角形的面積公式得出三角形△ABC的面積.18．【答案】（1）解：∵∵{an}遞增，∴d=2∴a（2）解：cnS∴【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等比中項公式和等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列的單調(diào)性，進而得出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列{an}的通項公式，利用數(shù)列{an}的通項公式和等比數(shù)列的通項公式，進而得出公比的值，再結(jié)合等比數(shù)列的通項公式得出數(shù)列{bn}的通項公式。

（2）由（1）得出的數(shù)列{an}和19．【答案】（1）解：xi=1i=1b=i=1回歸直線方程為y（2）解：當x=8時，y=?所以，預測當溫度為?8℃時，該班級在本節(jié)課間的出樓人數(shù)為19人（3）解：隨機變量x可取0，1，2PPP所以x的分布列為：x012p42481所以X的數(shù)學期望為E(X)=0×【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合平均數(shù)公式和最小二乘法，進而得出線性回歸直線方程。

（2）利用（1）得出的線性回歸方程結(jié)合代入法，從而預測出當溫度為?8℃時，該班級在本節(jié)課間的出樓人數(shù)。

(3)利用已知條件得出隨機變量X的可能的取值，再結(jié)合獨立事件求概率公式和互斥事件求概率公式，進而得出隨機變量X的分布列，再結(jié)合隨機變量X的分布列求數(shù)學期望公式，進而得出隨機變量X的數(shù)學期望。20．【答案】（1）證明：取CD中點H，連接MH，BH，∵M和H分別是∴MH∥A1D，又MH?平面A1DE，∵E是AB的中點∴DH=EB且DH∥EB∴四邊形DEBH為平行四邊形∴DE∥HB，又HB?平面A1DE，DE?平面又∵MH∩HB=H，MH∴平面MHB∥平面A1DE，又BM?平面MHB∴BM∥（2）證明：∵DE=EC=DE⊥ECDA1⊥EC（3）證明：取DE中點F，連接AA1F⊥DE以D為坐標原點，DA，DC所在直線分別為x軸，過點D做A1F的平行線為B(2設平面A1CB的法向量為n則n令z=3，則y=設平面A1EB的法向量為m則m令z=3，則x=設二面角C?A1則cosθ=|cos?∴sinθ=∴二面角C?A1【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合中點作中位線的方法和中位線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，從而證出線線平行，再結(jié)合線線平行證出線面平行，即HB∥平面A1DE，再利用面面平行的性質(zhì)定理證出線面平行，從而證出BM∥平面A1DE.（2）利用已知條件結(jié)合勾股定理證出線線垂直，再結(jié)合線線垂直證出線面垂直，再由線面垂直證出面面垂直，從而證出平面A1DE⊥平面BCDE.

（3）利用等腰三角形三線合一證出線線垂直，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，從而建立空間直角坐標系，進而得出點的坐標和向量的坐標，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系，從而由數(shù)量積的坐標表示得出平面A21．【答案】（1）解：依題意可得bc=2ca=255（2）解：由題意可知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立x25+設A，B的坐標分別為(Δ=100k且x1設直線F2A因為∠AF2M=∠BF2N則y1x即(kx所以2k所以2k×5m2則直線AB的方程為y=kx?52k=k(x?5【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合橢圓的離心率公式和三角形的面積公式以及橢圓中a，b，c三者的關系式，進而解方程組得出a，b，c的值，從而得出橢圓C的標準方程.

（2）由題意可知直線AB的斜率存在，從而設出直線AB的方程為y=kx+m，再聯(lián)立直線與橢圓相交結(jié)合判別式法得出m的取值范圍，再結(jié)合韋達定理得出A，B兩點的橫坐標與m的關系式，再利用∠AF2M=∠BF2N，且22．【答案】（1）解：f(x)的定義域是(0f令f'(x)=0，x=1所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+∞)