一 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

DepartmentofMathematics湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)系復(fù)變函數(shù)與積分變換對象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級數(shù)表示法、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射。復(fù)數(shù)與復(fù)平面、解析函數(shù)、前言學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別，特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。背景

復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引進(jìn)的.為使負(fù)數(shù)開方有意義,需要再一次擴(kuò)大數(shù)系,使實數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域.但在十八世紀(jì)以前,由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚,用它們進(jìn)行計算又得到一些矛盾,所以,在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”.直到十八世紀(jì),J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義,澄清了復(fù)數(shù)的概念,并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題.復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受,復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展.

復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的.Cauchy(1789-1866)和Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù),Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì).他們是這一時期的三位代表人物.經(jīng)過他們的巨大努力,復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論,且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支,同時,它在熱力學(xué)、流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用.二十世紀(jì)以來,復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面,與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切.要求課前預(yù)習(xí)（平均每次課要講1-2小節(jié)）；課后復(fù)習(xí)，獨立作業(yè)，多做習(xí)題；作業(yè)按課本題序抄寫，不要自行編號；請學(xué)習(xí)委員將作業(yè)交至理科樓613辦公室聯(lián)系方式：

QQ：2802706201教材及主要參考書教材：

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，高教出版社主要參考書:《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，復(fù)旦大學(xué)出版社《復(fù)變函數(shù)》，西安交大（第四版）

《積分變換》，東南大學(xué)（第四版）

CH1復(fù)數(shù)和復(fù)平面

§1.1復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù):形如z=x+yi,

(i是虛單位,i2=-1)稱為復(fù)數(shù)。Imz≠0,則稱z為虛數(shù)；§1.1.1復(fù)數(shù)的概念僅當(dāng)x,y都是實數(shù)時注：1

實部與虛部都是實數(shù)y=Imz=0,則z為一個實數(shù).2

x,y即使不為實數(shù),z=x+yi依然是復(fù)數(shù)3

復(fù)數(shù)的初設(shè)或最終結(jié)果通常應(yīng)表

成z=x+yi,而其中x,y為實數(shù)Imz≠0,Rez=0,則稱z為純虛數(shù)；對于復(fù)數(shù)

以上各概念必須有x,y為實數(shù)作為前提；

兩個復(fù)數(shù)一般不能比較大小。

3.共軛復(fù)數(shù)(conjugate)定義：若z=x+iy,x,y

R時，稱z=x-iy

為z的共

軛復(fù)數(shù).2.復(fù)數(shù)相等的定義§1.1.2復(fù)數(shù)的運算1.四則運算設(shè)z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，規(guī)定z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)1)和與差---相當(dāng)于代數(shù)中多項式運算2)積z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)3)商商被規(guī)定為積的逆運算，可得

復(fù)數(shù)遵從四則運算,故多項式中合并同類項,提取公因式,完全平方,立方和,立方差公式，因式分解可照樣進(jìn)行。

復(fù)數(shù)在四則運算這個代數(shù)結(jié)構(gòu)下,構(gòu)成一個復(fù)數(shù)域

(對加、減、乘、除(分母不為0)運算封閉),記為C,復(fù)數(shù)域可看成實數(shù)域的擴(kuò)張。

2.共軛運算與性質(zhì)

只需設(shè)z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,z=x+yi,可驗證：1復(fù)平面2復(fù)數(shù)的各種表示3復(fù)數(shù)三角形式的運算§1.2

復(fù)平面，復(fù)數(shù)的表示方法三角形式運算1、復(fù)平面2、復(fù)數(shù)的各種表示(1)代數(shù)表示

z=x+yi(2)點的表示

復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z與點z同義,z=1與x=1意義完

全不同。(3)

向量表示法，復(fù)數(shù)的模與輻角oxyz=x+yiP(x,y)xyoxyz=x+yiP(x,y)xy

(a)輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，(b)把其中滿足-π<θ0≤π的θ0稱為z的輻角主值，記作θ0=argz。oxy(z)

zAzB

zA+zB=zCzB-zAoxy(z)

zAzB

zA+zB=zCzB-zAoxy

(z)

z1z2

z1+z2z2-z1(4)三角表示法(5)指數(shù)表示法3復(fù)數(shù)三角形式的運算(1)復(fù)數(shù)三角形式的積定理1

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的積，其輻角等于它們的輻角的和。證設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1,z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)積的模與輻角公式：|z1z2|=|z1||z2|，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2注：輻角公式不是恒等式,而是一個選擇性公式.要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。

定理1可推廣到n個復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z22)復(fù)數(shù)三角形式的商定理2

兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2,則Argz=Argz2-Argz1（z1≠0）∵|z||z1|=|z2|及

1+

=

2,所以公式:幾何意義將分子z2按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz1，再將其伸縮到1/|z1|倍。oxy(z)z2z1設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。3)復(fù)數(shù)的乘冪定義n個相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。特別

當(dāng)|z|=1時，有棣模佛(DeMoivre)公式。(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ注1:復(fù)數(shù)積,商,冪的模等于復(fù)數(shù)模的積,商,冪.2:對復(fù)數(shù)的高次方或多個因子相乘。用三角形式或指數(shù)形式.問題給定復(fù)數(shù)，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。4)復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算

當(dāng)z≠0時，有n個不同的ω值與相對應(yīng)，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，

當(dāng)k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo4.

復(fù)數(shù)問題的處理1)代數(shù)方式2)幾何方式*注：正確使用復(fù)數(shù)的各種表示法，幾何意義，共軛與模的關(guān)系以解決不同問題.作業(yè)P27習(xí)題一:1.1，1.3，1.7,1.8，1.9，1.10.

1.平面點集

2.簡單曲線（或Jordan曲線)3.單連通域與多連通域§1.3復(fù)平面點集1.開集鄰域設(shè)G是一平面上點集內(nèi)點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點。開集若G內(nèi)的每一點都是內(nèi)點，則稱G是開集。G-區(qū)域內(nèi)點外點P邊界、邊界點已知點P及集合G，若點P的任何鄰域中都包含G中的點及不屬于G的點，則稱P是G的邊界點；G的所有邊界點組成G的邊界，記作

G。孤立點設(shè)z0

G，若存在z0的某個鄰域除z0外不含G的點。G的孤立點必是邊界點。閉集開集的余集Gc稱為閉集。2.區(qū)域連通是指區(qū)域稱G是一個區(qū)域，如果G是一個開集，且G是連通的。閉區(qū)域區(qū)域G與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域。記為有界集與無界集若存在R>0,對任意z∈G,均有|z|<R，則G是有界集；否則為無界集。鄰域必是開集鄰域的余集必是閉集鄰域的邊界集也是區(qū)域也是閉區(qū)域是閉集3.平面曲線z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;或：z=z(t)，a≤t≤b(4)光滑曲線(5)簡單曲線與閉曲線定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jordan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線4單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)

任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個區(qū)域G，如果G內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在G內(nèi)，就稱G為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域二連域多連通域單連通域舉例：利用復(fù)數(shù)模和向量的幾何意義，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示確定區(qū)域或曲線。一、幾何方式例4：判斷區(qū)域或曲線形狀(1)(2)(3)(4)(5)二、代數(shù)方式例5：判斷區(qū)域或曲線形狀①②由①式，由②式，

判斷區(qū)域或曲線的形狀:(1)利用復(fù)數(shù)差及模的幾何意義；(2)設(shè)z=x+iy，把x,y關(guān)系找出來。例6*

求過復(fù)平面C上不同兩點a,b的直線L,直線L左上方,直線L右下方的表示式。解不妨設(shè)Imb>Ima,由復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義§1.4無窮大與復(fù)球面1.無窮遠(yuǎn)點2.擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.對于復(fù)數(shù)來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.3.復(fù)球面1).南極、北極的定義

球面上的點,除北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.我們可以用球面上的點表示復(fù)數(shù).

球面上的每一個點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.2).復(fù)球面的定義我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng),記作.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.復(fù)平面上無窮遠(yuǎn)點的唯一性用復(fù)球面解釋很自然.復(fù)球面的優(yōu)越性:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點明顯地表示出來.作業(yè)P28習(xí)題一1.11(2)(3)(5)(6)，1.12(2)(3)(4)1.131.復(fù)變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射§1.3復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的概念(1)定義

(2)復(fù)變函數(shù)與實變元函數(shù)的關(guān)系例1例2oxy(z)ouv(w)EGw=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域

值域(3)復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w(4)反函數(shù)或逆映射例

6設(shè)z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為E,函數(shù)值集合為G則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù).作業(yè)P29習(xí)題一：

1.141.函數(shù)的極限

2.運算性質(zhì)

3.函數(shù)的連續(xù)性４