數(shù)學(xué)自我小測：絕對值不等式（第課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．已知x為實數(shù)，且|x－5｜＋｜x－3|＜m有解，則m的取值范圍是（)A．m＞1B．m≥1C．m＞2D．m≥22．已知h＞0,a，b∈R，命題甲:|a－b|＜2h；命題乙：｜a－1|＜h且|b－1|＜h,則甲是乙的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．已知｜a｜≠|(zhì)b|，m＝eq\f(|a|－|b|，|a－b|），n＝eq\f（|a｜＋｜b|,|a＋b|)，則m,n之間的大小關(guān)系是()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≤n4．設(shè)｜a|＜1，|b｜＜1,則|a＋b|＋｜a－b|與2的大小關(guān)系是()A．｜a＋b｜＋|a－b|＞2B．｜a＋b｜＋|a－b｜＜2C．｜a＋b|＋|a－b｜＝2D．不能比較大小5．下列不等式中恒成立的個數(shù)是（）①x＋eq\f(1,x）≥2(x≠0);②eq\f(c，a）＜eq\f(c,b)(a＞b＞c＞0)；③eq\f(a＋m,b＋m）＞eq\f（a,b)（a，b，m＞0,a＜b)；④｜a＋b|＋|b－a｜≥2aA．4B．3C．2D．16．若不等式|x＋1｜＋｜x－2|＜a無實數(shù)解,則a的取值范圍是________．7．函數(shù)y＝｜x－4|＋｜x－6｜的最小值為________．8．下列四個不等式：①logx10＋lgx≥2（x＞1)；②｜a－b｜＜｜a|＋｜b|；③eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（b，a）＋\f（a,b)）)≥2(ab≠0）；④|x－1｜＋｜x－2|≥1,其中恒成立的是________(把你認(rèn)為正確的序號都填上）．9．已知函數(shù)f（x）＝log2(｜x－1|＋｜x－5｜－a）．（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的最小值；(2）當(dāng)函數(shù)f（x)的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍．10．如果結(jié)論“eq\f（｜a|＋|b|,1＋｜a|＋｜b|)≥eq\f(｜a＋b｜，1＋|a＋b｜)”成立，請問不等式eq\f（|a＋b|，1＋｜a＋b|）≤eq\f（|a|,1＋｜a|)＋eq\f(｜b｜,1＋｜b|）成立嗎？eq\f(|a＋b＋c|，1＋|a＋b＋c|)≤eq\f（|a｜，1＋｜a|)＋eq\f（｜b｜，1＋|b｜）＋eq\f(｜c|,1＋｜c|）成立嗎？說明理由．

參考答案1．解析：∵｜x－5｜＋|x－3｜≥|x－5＋3－x｜＝2,∴｜x－5｜＋|x－3|的最小值為2.∴要使|x－5｜＋|x－3｜＜m有解,則m＞2.答案：C2．解析:顯然a與b的距離可以很近，滿足|a－b|＜2h,但此時a，b與1的距離可以很大,因此甲不能推出乙；若|a－1｜＜h，｜b－1｜＜h，則｜a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故乙可以推出甲．因此甲是乙的必要不充分條件．答案：B3．解析：由絕對值三角不等式，知|a｜－｜b|≤|a±b|≤|a|＋|b｜.∴eq\f（|a|－|b|,|a－b|)≤1≤eq\f（｜a｜＋|b|,｜a＋b｜)。答案：D4．解析：當(dāng)（a＋b）(a－b）≥0時,|a＋b|＋｜a－b|＝|(a＋b）＋(a－b）｜＝2｜a|＜2，當(dāng)(a＋b）(a－b）＜0時,|a＋b|＋｜a－b｜＝｜(a＋b)－(a－b）｜＝2｜b｜＜2.綜上可知,｜a＋b|＋｜a－b｜＜2。答案:B5．解析：①不成立，當(dāng)x＜0時不等式不成立；②成立，a＞b＞c＞0eq\f（a,ab)＞eq\f(b,ab)即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，又由于c＞0，故有eq\f（c，b)＞eq\f（c,a）；③成立,因為eq\f（a＋m，b＋m)－eq\f(a,b）＝eq\f（（b－a）m,b（b＋m))＞0(a，b，m＞0，a＜b)，故eq\f（a＋m，b＋m)＞eq\f(a,b）；④成立，由絕對值不等式的性質(zhì)可知:｜a＋b|＋｜b－a|≥|（a＋b)－（b－a）｜＝|2a｜≥2答案：B6．a(chǎn)≤37．解析:y＝|x－4｜＋｜x－6|≥|x－4＋6－x｜＝2，當(dāng)且僅當(dāng)4≤x≤6時，等號成立．答案：28．解析：∵x＞1,∴l(xiāng)ogx10＋lgx＝eq\f(1，lgx）＋lgx≥2，①正確；ab≤0時，｜a－b|＝|a|＋｜b｜，②不正確；∵ab≠0,eq\f(b,a)與eq\f（a,b)同號，∴eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（b,a)＋\f（a,b)））＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f(b,a))）＋eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(a，b)））≥2，③正確；由｜x－1|＋｜x－2|的幾何意義知｜x－1|＋｜x－2｜≥1恒成立，④也正確；綜上①③④正確．答案:①③④9．解：(1)函數(shù)的定義域滿足｜x－1|＋｜x－5|－a＞0，即｜x－1|＋|x－5|＞a,設(shè)g(x）＝|x－1｜＋|x－5｜,由|x－1｜＋｜x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知g（x）min＝4，∴f（x）min＝log2（4－2）＝1.(2)由（1）知，g(x）＝｜x－1｜＋|x－5｜的最小值為4?！撸黿－1｜＋|x－5|－a＞0，∴a＜g(x）min時，f（x）的定義域為R.∴a＜4，即a的取值范圍是（－∞，4)．10．解：兩個不等式都成立．因為eq\f(｜a＋b|,1＋|a＋b|)＝1－eq\f(1，1＋|a＋b｜)≤1－eq\f(1，1＋|a|＋|b｜)＝eq\f（|a|＋｜b|，1＋|a｜＋｜b｜)＝eq\f(|a｜，1＋｜a｜＋|b|)＋eq\f(｜b｜,1＋|a｜＋｜b|)≤eq\f（｜a｜，1＋|a｜）＋eq\f(｜b|，1＋|b|)故eq\f(|a＋b|,1＋｜a＋b｜）≤eq\f(|a|,1＋｜a|)＋eq\f（｜b｜，1＋｜b｜)成立．因為eq\f（｜a＋b＋c｜,1＋|a＋b＋c|）＝1－eq\f（1,1＋｜a＋b＋c|)≤1－eq\f（1,1＋｜a|＋|b|＋｜c|)＝eq\f(｜a｜＋｜b｜＋｜c｜，1＋｜a|＋｜b|＋|c|）＝eq\f（|a|，1＋｜a｜＋|b|＋|c｜)＋eq\f（｜b｜,1＋|a|＋|b｜＋|c｜）＋eq\f(｜c|，