2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第05講空間向量及其應(yīng)用(十六大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第05講空間向量及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算 2題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用 3題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 3題型四：三點(diǎn)共線問題 4題型五：多點(diǎn)共面問題 5題型六：證明直線和直線平行 6題型七：證明直線和平面平行 7題型八：證明平面與平面平行 8題型九：證明直線與直線垂直 9題型十：證明直線與平面垂直 11題型十一：證明平面和平面垂直 12題型十二：求兩異面直線所成角 13題型十三：求直線與平面所成角 14題型十四：求平面與平面所成角 15題型十五：求點(diǎn)面距、線面距、面面距 17題型十六：點(diǎn)到直線距離、異面直線的距離 1902重難創(chuàng)新練 2003真題實(shí)戰(zhàn)練 25題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算1．如圖，已知空間四邊形，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B．C． D．3．（2024·高三·山東臨沂·期末）正方體中，M是棱的中點(diǎn)．記，，，用，，表示為（

）A． B．C． D．4．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）在平行六面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用5．如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上6．（2024·河北·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，，若三點(diǎn)共線，則.7．（2024·高三·上海·期中）已知向量，，若，則的值為．8．已知，，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算9．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正三棱柱中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．11．（多選題）已知空間向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與夾角為銳角，則12．已知向量，若，則．題型四：三點(diǎn)共線問題13．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．

14．在長方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn).求證：，E，N三點(diǎn)共線.15．如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點(diǎn)共線；(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．題型五：多點(diǎn)共面問題16．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．

是否存在實(shí)數(shù)，使四點(diǎn)共面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；17．已知，若三向量共面，則等于（）A． B．9 C． D．18．已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．419．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．20．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．21．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）在四棱柱中，，．

(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)證明：四點(diǎn)共面；題型六：證明直線和直線平行22．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是棱上的一個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn))．(1)求證：；題型七：證明直線和平面平行23．如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點(diǎn).

求證：平面；24．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．求證：平面；25．（2024·天津河北·二模）如圖，四棱錐中，側(cè)棱平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是直角梯形，.(1)求證：平面；題型八：證明平面與平面平行26．如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.27．在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.28．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；(2)平面平面.題型九：證明直線與直線垂直29．已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．求證：；30．如圖，在三棱柱中，平面分別是的中點(diǎn)．求證：．31．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面是的中點(diǎn)，.

(1)求證：.(2)若?面直線與所成的角為，求四棱錐的體積.題型十：證明直線與平面垂直32．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，且．求證：平面；

33．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．求證：平面．34．如圖，在長方體中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；題型十一：證明平面和平面垂直35．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．求證：平面平面；36．（204·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；37．已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；題型十二：求兩異面直線所成角38．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．39．（2024·遼寧·一模）如圖，四邊形是正方形，平面，且，是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為.40．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC(1)記平面平面，證明：平面；(2)點(diǎn)Q是直線上的點(diǎn)，若直線與所成角的余弦值為，求線段長.題型十三：求直線與平面所成角41．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段的中點(diǎn)，，，四邊形為矩形.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.42．（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）在四棱錐中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.43．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．(1)求證：平面；(2)若，，，是棱上的點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)的位置．題型十四：求平面與平面所成角44．（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．45．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，多面體中，已知面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，，，平面平面．(1)求證：；(2)求二面角的大?。?6．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，平行六面體中，底面與平面都是邊長為2的菱形，，側(cè)面的面積為.(1)求平行六面體的體積；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.47．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

(1)證明：；(2)若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.題型十五：求點(diǎn)面距、線面距、面面距48．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中．(1)求證：；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．49．如圖所示的多面體是底面為ABCD的長方體被平面所截而得的，其中，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）設(shè)過點(diǎn)平行于平面的平面為，求平面與平面之間的距離.50．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱各棱長均為2，，O是線段BD的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)O到平面的距離；(2)求直線AB與平面所成角的正弦值．51．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)．(1)證明：平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點(diǎn)G到平面DEF的距離．題型十六：點(diǎn)到直線距離、異面直線的距離52．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．53．（2024·遼寧·一模）已知空間中的三個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．54．（2024·安徽合肥·一模）棱長為1的正方體如圖所示，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最小值為．55．四棱錐中，的中點(diǎn)分別為，底面正方形的邊長為，求與間的距離．1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知，直線過原點(diǎn)且平行于，則到的距離為（

）.A． B．1 C． D．2．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）邊長為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．4．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為5．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．6．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線7．定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．8．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面的夾角的正切值為10．（多選題）（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若，，，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．11．（多選題）（2024·河北·模擬預(yù)測）已知正方體為中點(diǎn)，為BC中點(diǎn)，則（

）A．直線PD與直線平行 B．直線與直線垂直C．直線PQ與直線相交 D．直線PQ與直線異面12．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）空間內(nèi)四點(diǎn)，，，D可以構(gòu)成正四面體，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．13．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，若沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的余弦值為．14．（2024·高三·廣東深圳·期中）在長方體中，，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則的最小值為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為.15．（2024·天津薊州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，已知棱兩兩垂直，長度分別為1，2，2，若，且向量與夾角的余弦值為.(1)求實(shí)數(shù)值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值.16．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時(shí)垂直于平面與平面．(1)求(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長．17．（2024·山東淄博·二模）已知直角梯形，，，，為對(duì)角線與BD的交點(diǎn)．現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：(1)證明：平面PBM；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線AB與平面所成角的正弦值．18．（2024·黑龍江牡丹江·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．(3)設(shè)點(diǎn)在上，且判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．4．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．5．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．7．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．8．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D、E、F分別為的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．9．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．11．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．12．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．13．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．14．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．15．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．16．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，PD=DC=1，為的中點(diǎn)，且PB⊥AM．（1）求；（2）求二面角的正弦值．第05講空間向量及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算 2題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用 4題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 6題型四：三點(diǎn)共線問題 8題型五：多點(diǎn)共面問題 11題型六：證明直線和直線平行 14題型七：證明直線和平面平行 14題型八：證明平面與平面平行 17題型九：證明直線與直線垂直 20題型十：證明直線與平面垂直 22題型十一：證明平面和平面垂直 25題型十二：求兩異面直線所成角 28題型十三：求直線與平面所成角 30題型十四：求平面與平面所成角 34題型十五：求點(diǎn)面距、線面距、面面距 39題型十六：點(diǎn)到直線距離、異面直線的距離 4402重難創(chuàng)新練 4703真題實(shí)戰(zhàn)練 65題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算1．如圖，已知空間四邊形，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，.故選：B.2．如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，是的重心，則，所以，因?yàn)樗裕?，則．故選：D．3．（2024·高三·山東臨沂·期末）正方體中，M是棱的中點(diǎn)．記，，，用，，表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，三個(gè)式子相加得，.故選：A4．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）在平行六面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)則.所以，，所以.故選：C題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用5．如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上【答案】B【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，所以，則點(diǎn)在棱上，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，即，即所以點(diǎn)在線段上，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，即，所以點(diǎn)在棱上，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，所以，，所以，即，即，所以點(diǎn)在線段上，故正確．故選：．6．（2024·河北·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，，若三點(diǎn)共線，則.【答案】【解析】由題得.，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以，故答案為：7．（2024·高三·上?！て谥校┮阎蛄?，，若，則的值為．【答案】【解析】由題意，使得，即有，解得，從而.故答案為：.8．已知，，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由，得，解得，所以，故選：A.題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算9．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選：C.10．如圖，在正三棱柱中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由正三棱柱可得，，而，故.故選：A.11．（多選題）已知空間向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與夾角為銳角，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：，，即：，解得：.故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：，，解得：.故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：在上的投影向量為：，即，代入坐標(biāo)化簡可得：，無解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：與夾角為銳角，，解得：，且與不共線，即，解得：，所以與夾角為銳角時(shí)，解得：.故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.12．已知向量，若，則．【答案】【解析】設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故答案為：.題型四：三點(diǎn)共線問題13．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．

【解析】連接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三點(diǎn)共線．14．在長方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn).求證：，E，N三點(diǎn)共線.【解析】由圖作出如圖所示長方體由題可得，，，所以，所以，E，N三點(diǎn)共線.15．如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點(diǎn)共線；(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．【解析】（1）由題意，，，故,,故，由于有公共點(diǎn)A，故A、、三點(diǎn)共線；（2）由題意，點(diǎn)是平行四邊形的中心，故，故,因?yàn)橛泄颤c(diǎn)D，故、、三點(diǎn)共線．題型五：多點(diǎn)共面問題16．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．

是否存在實(shí)數(shù)，使四點(diǎn)共面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；【解析】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使四點(diǎn)共面．由正三棱柱的性質(zhì)可知為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，在平面內(nèi)，以過點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，．因?yàn)?，所以．若四點(diǎn)共面，則存在滿足，又，所以解得故存在實(shí)數(shù)，使四點(diǎn)共面．17．已知，若三向量共面，則等于（）A． B．9 C． D．【答案】D【解析】∵，，共面，∴設(shè)（為實(shí)數(shù)），即，∴，解得．故選：D.18．已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以共面，則存在使得，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為1．故選：A．19．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，三向量共面，故設(shè)，（）,即，即有，解得，故，故選：D20．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】平面外的任一點(diǎn)O，點(diǎn)共面的充要條件是，且，對(duì)于A，由，得，點(diǎn)不共面，A不是；對(duì)于B，由，得，點(diǎn)不共面，B不是；對(duì)于C，由，得，點(diǎn)不共面，C不是；對(duì)于D，由，得，點(diǎn)共面，D是.故選：D21．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）在四棱柱中，，．

(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)證明：四點(diǎn)共面；【解析】（1）四棱柱中，，因?yàn)?，所以；?）設(shè)（不為0），，則共面且有公共點(diǎn)，則四點(diǎn)共面；題型六：證明直線和直線平行22．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是棱上的一個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn))．(1)求證：；【解析】（1）因?yàn)榈酌?，且底面為正方形，且、底面，所以，，兩兩互相垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，則，，有，故；題型七：證明直線和平面平行23．如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點(diǎn).

求證：平面；【解析】底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，故，，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，在四棱臺(tái)中，，，P為AB的中點(diǎn)，故,則,所以，即，且平面，平面，故平面.24．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面?5．（2024·天津河北·二模）如圖，四棱錐中，側(cè)棱平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是直角梯形，.(1)求證：平面；【解析】（1）證明：平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，點(diǎn)是的中點(diǎn)，,，則平面，平面的一個(gè)法向量為.，平面，平面；題型八：證明平面與平面平行26．如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【解析】因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，所以，所以為正三角形.因?yàn)闉榈妊菪?，，所?取的中點(diǎn)，連接，則，所以.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平?7．在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.【解析】證明:如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則有，，，，，，于是，，，，顯然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面28．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；(2)平面平面.【解析】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.設(shè)，則，，.因?yàn)?，，，所以?所以，，即，.又平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，，，所以?所以，.因?yàn)槠矫?，所以平?又由（1）知平面，所以平面平面.題型九：證明直線與直線垂直29．已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．求證：；【解析】因?yàn)槠矫妫?，如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所以?0．如圖，在三棱柱中，平面分別是的中點(diǎn)．求證：．【解析】選取作為空間的一個(gè)基底，設(shè)．由已知條件和三棱柱的性質(zhì)，得，，，．所以，所以，即．31．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面是的中點(diǎn)，.

(1)求證：.(2)若?面直線與所成的角為，求四棱錐的體積.【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由四邊形是矩形，得.是的中點(diǎn)，.平面平面，平面平面，平面直線兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).依題意得，，.，，即.（2）由（1）可得，異面直線與所成的角為，，解得，由（1）平面，所以為四棱錐的高，且，四棱錐的體積為.題型十：證明直線與平面垂直32．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，且．求證：平面；

【解析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，則．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．因?yàn)?，所以，則．由已知，且，平面，平面，所以平面．33．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．求證：平面．【解析】如圖以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，所以，則，即，，則，即，又，平面，所以平面．34．如圖，在長方體中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；【解析】方法一：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以和是等腰直角三角形，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，且，所以平面；方法二：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，所以，所以，，又平面，且，所以平面.題型十一：證明平面和平面垂直35．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．求證：平面平面；【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0，，，，，，.設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n1=x即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，不妨令，則，，所以，因?yàn)?，所以，所以平面平面?6．（204·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；【解析】（1）設(shè)棱長為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以，則平面平面．37．已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；【解析】（1）取的中點(diǎn)，連，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)榕c底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，所以是與底面所成角，所以，所以，所以，又，所以是邊長為的等邊三角形，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，則，，平面，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，得，令，得，，，令，得，，，因?yàn)?，所以，所以平面平?題型十二：求兩異面直線所成角38．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別以為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,直線與所成角的余弦值為，.解得：,,.故選：B.39．（2024·遼寧·一模）如圖，四邊形是正方形，平面，且，是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為.【答案】【解析】因?yàn)槠矫?，則，，又四邊形是正方形，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，則，，，又是線段的中點(diǎn)，則，則，，則，設(shè)異面直線與所成角為，即，則，所以，即異面直線與所成角的正切值為.故答案為：40．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC(1)記平面平面，證明：平面；(2)點(diǎn)Q是直線上的點(diǎn)，若直線與所成角的余弦值為，求線段長.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則平面和平面交線為，即因?yàn)闉橹比庵?，所以為平行四邊形，所以為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，即平面.（2）直三棱柱中，，所以兩兩垂直.以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，所以解得，所以線段長為.題型十三：求直線與平面所成角41．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段的中點(diǎn)，，，四邊形為矩形.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）設(shè)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾橹悬c(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的正方向分別為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，，，設(shè)平面的法向量為：n=x,y,z且，令，解得：，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.則直線與平面所成角的正弦值為.42．（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）在四棱錐中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，∵，∴，又即，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，則平面.（2）連接交于，連接，∵四邊形為平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，又，則，∵平面平面，平面，面面，∴平面，又平面，∴，在中，由余弦定理可得，∴，∴，∵，∴為直角三角形，即，過點(diǎn)作的平行線，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

可得，∴，設(shè)面的法向量為，則，取得，∴

設(shè)與平面所成的角為，則∴與平面所成的角的正弦值為43．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．(1)求證：平面；(2)若，，，是棱上的點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)的位置．【解析】（1）因?yàn)槠矫妫妫裕?，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，又易知與相交，面，所以平面.（2）由（1）知平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，又，所以，則，所以，設(shè)，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，取，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，整理得到，解得或（舍），所以點(diǎn)為上的三等分點(diǎn)，且，即點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn).題型十四：求平面與平面所成角44．（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）連結(jié)，底面是邊長為2的菱形，．，．點(diǎn)為線段中點(diǎn)，．為菱形，平面，平面又平面，平面平面，在平面上的射影為，為直線與平面所成的角，即．在中，，．則．又平面平面，平面．（2）由（1）知平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，則設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則即取，則．即取則．設(shè)二面角大小為，則．，二面角的正弦值為．45．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，多面體中，已知面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，，，平面平面．(1)求證：；(2)求二面角的大?。窘馕觥浚?）由是正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，又，所以.（2）在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，得，而平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，顯然為銳角，于是，則，所以二面角的大小.46．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，平行六面體中，底面與平面都是邊長為2的菱形，，側(cè)面的面積為.(1)求平行六面體的體積；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）連接，，因?yàn)榈酌媾c平面均為菱形，且，所以與均為等邊三角形，取AB的中點(diǎn)，連接，，則，，則，因?yàn)閭?cè)面的面積為，所以的面積為，則，所以，則.在中，，則，所以，所以.因?yàn)椋矫?，所以平面，故平行六面體的體積.（2）由（1）可知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x由得取，則.設(shè)平面的法向量為，，由得取，則，于是.設(shè)平面與平面的夾角為，所以.47．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

(1)證明：；(2)若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.【解析】（1）在四棱臺(tái)中，延長后必交于一點(diǎn)，故四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，故，連接，因?yàn)榈酌嫠倪呅螢榱庑危?，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）過點(diǎn)A作的垂線，交與點(diǎn)N，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，由于，故，則，，則，，，記平面的法向量為，則，即，令，則，即，平面的法向量可取為，則.所以二面角的余弦值為.題型十五：求點(diǎn)面距、線面距、面面距48．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中．(1)求證：；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．【解析】（1）連接，因?yàn)樵诘妊苯侨切沃校?，在中，，同理得，因?yàn)?，所以，所以所以平面，所以平面．?）取中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，，所以，令，則，則，又，，所以點(diǎn)到平面的距離為．49．如圖所示的多面體是底面為ABCD的長方體被平面所截而得的，其中，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）設(shè)過點(diǎn)平行于平面的平面為，求平面與平面之間的距離.【解析】（1）由題意，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，設(shè)，因?yàn)闉槠叫兴倪呅危傻?，即，所以，即，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量為，又由，可得點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)檫^點(diǎn)平行于平面的平面為，所以平面與平面之間的距離等于但到平面的距離，即平面與平面之間的距離.50．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱各棱長均為2，，O是線段BD的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)O到平面的距離；(2)求直線AB與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，由題意，點(diǎn)為的交點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則平面，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，，則為等邊三角形，則，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點(diǎn)O到平面的距離為；（2），故，則，即直線AB與平面所成角的正弦值為．51．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)．(1)證明：平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點(diǎn)G到平面DEF的距離．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖所示：為中點(diǎn)，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，，所?因?yàn)槠矫妫抑本€與圓柱底面所成角為，所以，則有.如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，令，有，得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，.故點(diǎn)到平面的距離.題型十六：點(diǎn)到直線距離、異面直線的距離52．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．【解析】（1）由，,所以,,所以,,故四棱錐的表面積為（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,4,，,4,，，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則平面的法向量，設(shè)到平面的距離為，，由于，解得，故，點(diǎn)到直線的距離為．53．（2024·遼寧·一模）已知空間中的三個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】/【解析】由題意知，，所以，得，，所以點(diǎn)A到直線BC的距離為.故答案為：54．（2024·安徽合肥·一模）棱長為1的正方體如圖所示，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最小值為．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)PQ為兩異面直線的公垂線段時(shí)，PQ長度最短，此時(shí)PQ長度為MN的最小值,則,由，所以，所以,所以故答案為：.55．四棱錐中，的中點(diǎn)分別為，底面正方形的邊長為，求與間的距離．【解析】以正方形的中心為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，由題意，，，故，．設(shè)為與和的公垂線在同一個(gè)方向上的向量，則，，得，∴異面直線與間的距離：．1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知，直線過原點(diǎn)且平行于，則到的距離為（

）.A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由題意取，則，所以到的距離為.故選：C2．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為【答案】B【解析】A選項(xiàng)：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谄矫嫱?，所以直線與平面平行，所以B正確，對(duì)于C，，所以三棱錐的體積為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，直線BC與平面所成的角為，，所以D錯(cuò)誤，故選：B.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）邊長為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：D.4．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】D【解析】在平行六面體中，令，，，由，，得，，對(duì)于，顯然，，則，即，因此直線與所成的角為，A正確；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，，即，因此直線與所成的角為，C正確；對(duì)于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，則平面平面，連接交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，，則，即，由及選項(xiàng)C知，，則，D錯(cuò)誤.故選：D5．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為故選：A6．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線【答案】C【解析】因?yàn)闉檎襟w，設(shè)正方體邊長為2，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，同理解得平面的法向量，，故A不正確；，故B不正確；，，所以，又，所以平面，C正確；平面的一個(gè)法向量為，，故D不正確；故選：C7．定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知這三個(gè)向量共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，對(duì)A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無法推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無法推出，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則由能推出，對(duì)D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無法推出，故D錯(cuò)誤.故選：C．8．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，可得，則，可知，且，平面，可知：平面，且平面，可得，設(shè)，即，則，因?yàn)?，解得，即；同理可得：平面，，則，，又因?yàn)?，則三棱錐為正三棱錐，點(diǎn)為等邊的中心，在中，結(jié)合等邊三角形可知：，因?yàn)槠矫?，平面，則，可知，當(dāng)時(shí)，取到最小值；當(dāng)時(shí)，取到最大值；綜上所述：線段的取值范圍為.故選：C.9．（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面的夾角的正切值為【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：如圖連接交于，連接，由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面，故A正確；選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，故,又棱柱為直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正確；選項(xiàng)C：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因，故A3,0,0所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由題意平面的一個(gè)法向量為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，故，故D正確，故選：ABD10．（多選題）（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若，，，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意可知，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，又因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確．故選：AD．11．（多選題）（2024·河北·模擬預(yù)測）已知正方體為中點(diǎn)，為BC中點(diǎn)，則（

）A．直線PD與直線平行 B．直線與直線垂直C．直線PQ與直線相交 D．直線PQ與直線異面【答案】BD【解析】根據(jù)題意，設(shè)正方體的棱長為2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，對(duì)于A，,0,，,0,，由于對(duì)于任意的都不會(huì)成立，則與不平行，則直線與直線不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，,2,，,,，則有，則，即直線與直線垂直，B正確；對(duì)于C，直線與相交，故平面，直線平面，，所以PQ與直線是異面直線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，,顯然兩直線不平行，假設(shè)直線與直線相交，則在同一平面上，,故存在實(shí)數(shù)使得，即，則無解，故與直線既不相交也不平行，是異面直線，D正確．故選：BD．12．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）空間內(nèi)四點(diǎn)，，，D可以構(gòu)成正四面體，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．【答案】【解析】由已知正四面體ABCD的棱長為1，所以D的豎坐標(biāo)正四面體的高，的外接圓半徑為，所以正四面體的高為，而橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)即底面三角形ABC的重心坐標(biāo)，，所以，故答案為：.13．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，若沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的余弦值為．【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可知，沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，仍有，則，由，可得，即，即，可得．故答案為：14．（2024·高三·廣東深圳·期中）在長方體中，，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則的最小值為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為.【答案】/【解析】如圖所示，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可證平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，要使得平面，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫庶c(diǎn)的軌跡為線段，當(dāng)取最小值時(shí)，，則為的中點(diǎn)，則.以為原點(diǎn)，的方向分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，取，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：；15．（2024·天津薊州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，已知棱兩兩垂直，長度分別為1，2，2，若，且向量與夾角的余弦值為.(1)求實(shí)數(shù)值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）依題意，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，由，得，則，而，而，顯然，解得.（2）由（1）得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，又，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）令平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.16．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時(shí)垂直于平面與平面．(1)求(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長．【解析】（1）設(shè)，，，則，在中，，整理得，由題意得，則，即，解得，因此，即．（2）作中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，而，，平面，故，，，因?yàn)?，，所以四邊形、四邊形都是平行四邊形，故，，而，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在平面中也有，由于，故，，，，由勾股定理得：，，故以為原點(diǎn)，，，為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面，平面，平面，平面的法向量分別為，，，則，即，取，則，同理可得，因?yàn)槠矫嫱瑫r(shí)垂直于平面，平面，所以，，即，取，則，平面的法向量是，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，因此平面與平面夾角的正弦值為．（3）設(shè)是平面上一點(diǎn)，因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，則可以設(shè)，這是因?yàn)榇藭r(shí)，因此可設(shè)，因?yàn)楫?dāng)平面與平面相交時(shí)，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面與四棱錐的公共部分，當(dāng)時(shí)，在直線上，因此平面過直線，故平面與平面，平面交于直線，與棱，分別交于，，故只需討論平面與棱，的交點(diǎn)：設(shè)平面與棱，的交點(diǎn)分別為，，則設(shè)，，令，則，解得，即，同理可得，故平面與平面交于，平面交于，因此平面截四棱錐所得截面多邊形為四邊形，故周長為．17．（2024·山東淄博·二模）已知直角梯形，，，，為對(duì)角線與BD的交點(diǎn)．現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：(1)證明：平面PBM；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線AB與平面所成角的正弦值．【解析】（1）直角梯形中，由相似可得，因?yàn)椋?，可得，，故可得，，由，則由勾股定理逆定理得，，即，，翻折后可得，，，又因?yàn)椋谄矫鎯?nèi)，故平面（2）因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，設(shè)為h，因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)h最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而，則，當(dāng)h=1時(shí)，.（3）由（2）得，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的距離為，即平面．故，，又因?yàn)椋?，，兩兩垂直．故可以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題可得，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．（2024·黑龍江牡丹江·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．(3)設(shè)點(diǎn)在上，且判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．【解析】（1）因?yàn)槠矫?，又平面，則，又，且，，平面，故CD平面；又面，，，為中點(diǎn)，，，CD，面，面；（2）過點(diǎn)作AD的垂線交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫?，平面，所以，，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A0,0,0，，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，又，所以，故，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，即，令，則y=?1，x=?1，故，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為；（3）直線不在平面內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，又，故，則，由（2）可知，平面的法向量為，所以，所以直線不在平面內(nèi)．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑸橹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.4．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【解析】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.5．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。窘馕觥浚?）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)?，，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.6．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.7．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【解析】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D、E、F分別為的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.（2），，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3），，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.9．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，