2025年新高考數(shù)學一輪復習第1章第03講等式與不等式的性質(zhì)(五大題型)(講義)(學生版+解析)

第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：比較大小基本方法 4知識點2：不等式的性質(zhì) 4解題方法總結(jié) 5題型一：不等式性質(zhì)的應用 6題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式 7題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍 7題型四：不等式的綜合問題 8題型五：糖水不等式 904真題練習·命題洞見 1005課本典例·高考素材 1106易錯分析·答題模板 12易錯點：多次使用同向相加性質(zhì)，擴大了取值范圍 12答題模板：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍 12

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）掌握等式性質(zhì)．（2）會比較兩個數(shù)的大?。?）理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應用．2022年II卷第12題，5分高考對不等式的性質(zhì)的考查相對較少，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，單獨考查的題目雖然不多，但不等式的性質(zhì)幾乎可以滲透到高考的每一個考點，是進行不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，所以它不僅是數(shù)學中的不可或缺的工具，也是高考考查的一個重點內(nèi)容．復習目標：1、理解用作差法、作商法比較兩個實數(shù)的大小.2、理解等式與不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應用.

知識點1：比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或【診斷自測】（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．知識點2：不等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【診斷自測】（2024·陜西·模擬預測）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．解題方法總結(jié)1、應用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論．作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大?。鞑罘ㄊ潜容^兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法．題型一：不等式性質(zhì)的應用【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）設，且，則（

）A． B．C． D．【典例1-2】（多選題）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．2、充分利用基本初等函數(shù)單調(diào)性進行判斷．3、小題可以利用特殊值排除法．【變式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式1-2】（2024·北京西城·一模）設，其中，則（

）A． B．C． D．題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式【典例2-1】已知且，，，則與的大小關(guān)系為．【典例2-2】（2024·高三·河南·開學考試）已知：，則大小關(guān)系是．【方法技巧】比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．【變式2-1】已知為正實數(shù)．求證：.【變式2-2】（1）比較與的大??；（2）已知，比較與大小【變式2-3】希羅平均數(shù)（Heronianmean）是兩個非負實數(shù)的一種平均，若，是兩個非負實數(shù)，則它們的希羅平均數(shù).記，，則從小到大的關(guān)系為.（用“≤”連接）題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍【典例3-1】已知，，則ab的最大值為（

）A． B． C．3 D．4【典例3-2】已知的三邊長分別為，，，且滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能離開變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每個變量的范圍，否則會導致范圍變大，而只可以建立已知與未知的關(guān)系．【變式3-1】（多選題）已知，，則（

）A． B．C． D．【變式3-2】（多選題）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【變式3-3】已知實數(shù)a，b滿足，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：不等式的綜合問題【典例4-1】記表示這3個數(shù)中最大的數(shù)．已知，，都是正實數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）設實數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧】綜合利用等式與不等式的性質(zhì)【變式4-1】（多選題）若實數(shù)x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【變式4-2】（多選題）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．20題型五：糖水不等式【典例5-1】（多選題）生活經(jīng)驗告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（

）A．若，，則B．C．若，，為三條邊長，則D．若，，為三條邊長，則【典例5-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分數(shù)為，這個質(zhì)量分數(shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對應的一個糖水不等式.【方法技巧】糖水不等式：若，，則，或者．【變式5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個事實，則.（填“>，<，=，≥，≤”之一）.（2），，則MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.【變式5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；(2)在銳角中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：.節(jié)B型貨廂，據(jù)此安排A，B兩種貨廂的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？若每節(jié)A型貨廂的運費是0.5萬元，每節(jié)B型貨用的運費是0.8萬元，哪種方案的運費較少？4．一個大于50小于60的兩位數(shù)，其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2，試用不等式表示上述關(guān)系，并求出這個兩位數(shù)（用a和b分別表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字）.5．已知，，求的取值范圍.易錯點：多次使用同向相加性質(zhì)，擴大了取值范圍易錯分析：在多次運用不等式性質(zhì)時，其取等的條件可能不同，造成多次累積誤差，結(jié)果擴大了取值范圍．為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用不等式性質(zhì)時取等的條件是否相同；②盡量多使用等式．答題模板：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍1、模板解決思路解決本模板問題一般先用整體法建立所求代數(shù)式與已知代數(shù)式的等量關(guān)系，再通過不等式的性質(zhì)求得.2、模板解決步驟第一步：把所求代數(shù)式用條件的代數(shù)式，表示出來，即．第二步：列方程組，求出m，n的值.第三步：分別求出和的取值范圍．第四步：求出的取值范圍．【易錯題1】已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【易錯題2】已知，，求的取值范圍為.第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：比較大小基本方法 4知識點2：不等式的性質(zhì) 5解題方法總結(jié) 6題型一：不等式性質(zhì)的應用 6題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式 8題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍 11題型四：不等式的綜合問題 13題型五：糖水不等式 1504真題練習·命題洞見 1805課本典例·高考素材 1906易錯分析·答題模板 21易錯點：多次使用同向相加性質(zhì)，擴大了取值范圍 21答題模板：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍 21

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）掌握等式性質(zhì)．（2）會比較兩個數(shù)的大小．（3）理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應用．2022年II卷第12題，5分高考對不等式的性質(zhì)的考查相對較少，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，單獨考查的題目雖然不多，但不等式的性質(zhì)幾乎可以滲透到高考的每一個考點，是進行不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，所以它不僅是數(shù)學中的不可或缺的工具，也是高考考查的一個重點內(nèi)容．復習目標：1、理解用作差法、作商法比較兩個實數(shù)的大小.2、理解等式與不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應用.

知識點1：比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或【診斷自測】（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，取,則，無法得到，C錯誤，由于，則，所以，故選：D知識點2：不等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【診斷自測】（2024·陜西·模擬預測）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，對于A，，,,綜上可得，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤；故選：D.解題方法總結(jié)1、應用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論．作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。唬?）下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大?。鞑罘ㄊ潜容^兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法．題型一：不等式性質(zhì)的應用【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）設，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，取，則，故A錯誤，對于B，，則，故B錯誤，對于C，由于，故在單調(diào)遞減，故，因此，由于，所以，故，C正確，對于D,,則，故D錯誤，故選：C【典例1-2】（多選題）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】∵，∴即，∴，A正確；由基本不等式知：，當且僅當時等號成立又，∴∴即,當且僅當時等號成立；已知,故，B正確;令，，C錯誤；令，，分母為零無意義，D錯誤．故選：AB．【方法技巧】1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．2、充分利用基本初等函數(shù)單調(diào)性進行判斷．3、小題可以利用特殊值排除法．【變式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A，因為，所以，故A結(jié)論正確；對于B，當時，因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；對于C，因為，所以，而函數(shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；對于D，，因為，所以，所以，所以，故D結(jié)論錯誤.故選：D.【變式1-2】（2024·北京西城·一模）設，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，，且，綜上所述，有.故選：C.題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式【典例2-1】已知且，，，則與的大小關(guān)系為．【答案】【解析】．當時，，所以，則；當時，，所以，則．綜上可知，當且時，，即．【典例2-2】（2024·高三·河南·開學考試）已知：，則大小關(guān)系是．【答案】【解析】由，得，因此，顯然，則，所以大小關(guān)系是.故答案為：【方法技巧】比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．【變式2-1】已知為正實數(shù)．求證：.【解析】證明：因為，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以.【變式2-2】（1）比較與的大??；（2）已知，比較與大小【解析】（1）因為，所以，所以①當時，，所以，②當時，，即，所以，③當時，，即，所以，綜上所述：當，.（2），因為，所以，所以，由，所以，所以，即，故.【變式2-3】希羅平均數(shù)（Heronianmean）是兩個非負實數(shù)的一種平均，若，是兩個非負實數(shù)，則它們的希羅平均數(shù).記，，則從小到大的關(guān)系為.（用“≤”連接）【答案】【解析】由基本不等式可知，，當且僅當時等號成立；因為，當且僅當，即時等號成立，所以；因為，當且僅當，即時等號成立，所以；綜上所述，，當且僅當時等號成立.故答案為：題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍【典例3-1】已知，，則ab的最大值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】，由不等式的性質(zhì)，，所以所以，所以，當且僅當時，且已知，解得，即的最大值為.故選：A.【典例3-2】已知的三邊長分別為，，，且滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知及三角形三邊關(guān)系得，所以，則，兩式相加得，所以.故選：C【方法技巧】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能離開變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每個變量的范圍，否則會導致范圍變大，而只可以建立已知與未知的關(guān)系．【變式3-1】（多選題）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依題意，，所以，所以，所以A選項錯誤，B選項正確.所以，所以，所以C選項正確，D選項錯誤.故選：BC【變式3-2】（多選題）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.【變式3-3】已知實數(shù)a，b滿足，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：，記，，則．又，∴，∴，∴．故選：A題型四：不等式的綜合問題【典例4-1】記表示這3個數(shù)中最大的數(shù)．已知，，都是正實數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，所以，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故選：A【典例4-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）設實數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：，當時取等號，所以的最小值為.故選：B【方法技巧】綜合利用等式與不等式的性質(zhì)【變式4-1】（多選題）若實數(shù)x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于AB，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，所以A正確，B錯誤，對于C，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以C錯誤，對于D，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以D正確，故選：AD【變式4-2】（多選題）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【解析】因為，，所以，，故，當，且，而時，即等號不能同時成立，所以，故AB錯誤，CD正確.故選：CD.題型五：糖水不等式【典例5-1】（多選題）生活經(jīng)驗告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（

）A．若，，則B．C．若，，為三條邊長，則D．若，，為三條邊長，則【答案】BCD【解析】A.由糖水不等式得：，時，，故A錯誤.B.，故B正確.C.，故C正確.D.，，故D正確.故選：BCD【典例5-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分數(shù)為，這個質(zhì)量分數(shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對應的一個糖水不等式.【答案】【解析】空1：因為，所以可得：；空2：由空1可得：，即.故答案為：；【方法技巧】糖水不等式：若，，則，或者．【變式5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個事實，則.（填“>，<，=，≥，≤”之一）.（2），，則MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.【答案】【解析】（1）∵，又∵，，∴，即；（2）因為，，故.故答案為：；.【變式5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；(2)在銳角中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：.【解析】（1）若，則.證明：.因為，所以，又，故，因此.（2）在銳角三角形中，由（1）得，同理，.以上式子相加得.

1．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．2．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））若a>b，則（）A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．3．（2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（北京卷））已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是A． B．C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】設{an}的首項為a1，公比為q，當a1<0，q<0時，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正確；當q＝－1時，C選項錯誤；當q<0時，a3>a1?a3q<a1q?a4<a2，與