2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章第04講基本不等式及其應(yīng)用(十八大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第04講基本不等式及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：基本不等式及其應(yīng)用 2題型二：直接法求最值 3題型三：常規(guī)湊配法求最值 3題型四：化為單變量法 3題型五：雙換元求最值 3題型六：“1”的代換求最值 4題型七：齊次化求最值 4題型八：利用基本不等式證明不等式 4題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題 5題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值 6題型十一：三角換元法 7題型十二：多次運(yùn)用基本不等式 8題型十三：待定系數(shù)法 8題型十四：多元均值不等式 8題型十五：萬能K法 9題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題 9題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題 9題型十八：整體配湊法 1002重難創(chuàng)新練 10真題實(shí)戰(zhàn)練 12題型一：基本不等式及其應(yīng)用1．（2024·高三·安徽蕪湖·期末）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)．作交半圓于點(diǎn)．設(shè)，，則由可以直接證明的不等式為（

）A． B．C． D．2．下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，把代入得最小值為4．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．題型二：直接法求最值4．（2024·上海普陀·二模）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且滿足，則的最小值為.6．若，則的最小值為．題型三：常規(guī)湊配法求最值7．若，則的最小值是．8．若，則函數(shù)的值域是.9．若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值題型四：化為單變量法10．若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．11．（2024·高三·河南漯河·期末）設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．12．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為.13．已知，若，則的最小值為.題型五：雙換元求最值14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為．15．（2024·高三·福建龍巖·期中）已知且，則的最小值為．題型六：“1”的代換求最值16．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為.17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為18．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若直線過函數(shù)，且）的定點(diǎn)，則的最小值為.19．（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為.題型七：齊次化求最值20．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.21．已知，，，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．題型八：利用基本不等式證明不等式22．已知，，為正數(shù)，函數(shù).(1)若，求的最小值；(2)若且，，不全相等，求證：.23．不等式選講已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．24．（2024·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題25．（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（

）

A． B．C． D．26．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．1081827．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金．一位顧客到店里購(gòu)買黃金，售貨員現(xiàn)將的砝碼放在天平的左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；將天平左右盤清空后，再將的砝碼放在天平右盤中，再取出黃金放在天平的左盤中，使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．則（

）A． B．C． D．以上都有可能28．（2024·高三·北京朝陽(yáng)·期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水平的影響，用表示產(chǎn)量，表示勞動(dòng)投入，表示資本投入，表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示為，其中.當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r(shí)，下面結(jié)論中正確的是（

）A．存在和，使得不變B．存在和，使得變?yōu)樵瓉淼谋禖．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋禗．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋?9．某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名女社員分裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男?女社員人數(shù)都不足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時(shí)會(huì)不可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會(huì)損耗蔬菜共80千克，參與任務(wù)的所有女社員會(huì)損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（

）A．10 B．15 C．30 D．45題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值30．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．31．（多選題）已知位于第一象限的點(diǎn)在曲線上，則（

）A． B．C． D．32．（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)，，且滿足，則（

）A． B．C． D．33．（多選題）已知，，，則下列說法正確的是（）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為題型十一：三角換元法34．（多選題）由知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為B．的最大值為C．D．當(dāng)時(shí)，的最大值為35．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．B．的最大值為C．D．的最大值為36．（多選題）若，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．題型十二：多次運(yùn)用基本不等式37．已知，則的最小值為.38．（2024·黑龍江·二模）已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．或39．若實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．240．已知?jiǎng)t的最小值為（）A．2 B． C．4 D．5題型十三：待定系數(shù)法41．（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三4月月考數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)，，不全為0，則的最大值為（

）A． B． C． D．42．（2024·山西運(yùn)城·二模）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型十四：多元均值不等式43．已知，則的最小值為.44．函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C． D．題型十五：萬能K法45．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.46．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．47．（2024·高三·重慶·期中）已知x，，且，則的最大值為．題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題48．（2024·遼寧大連·一模）對(duì)于任意的正數(shù)m，n，不等式成立，則λ的最大值為49．（2024·高三·山東濱州·期末）若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．50．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題51．已知，向量，則的最大值為.52．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在直三棱柱中，，則該三棱柱的體積的最大值為．53．（2024·四川南充·二模）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，．則的最小值為．54．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．A．2 B． C．4 D．7．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．38．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為2 D．的最小值為10．（多選題）（2024·浙江紹興·二模）已知，，，則（

）A．且 B．C． D．11．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（

）A． B． C． D．12．（多選題）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正數(shù)滿足，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為2C．的最小值為 D．的最大值為113．（2024·湖北黃石·三模）設(shè)，，若，則的最小值為，此時(shí)的值為.14．（2024·上海靜安·二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)的四個(gè)不等式中，恒成立的是．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）①；②；③；④．15．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是.16．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為．1．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）若，則的最小值為．2．（多選題）（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．3．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．4．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖南卷））若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為A． B．2 C． D．45．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（福建卷））要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()A．80元 B．120元C．160元 D．240元6．（2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷））設(shè)a+b=2,b>0,則的最小值為.7．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（陜西卷））設(shè)，且，則的最小值為8．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（浙江卷））已知實(shí)數(shù)、、滿足，，則的最大值為.第04講基本不等式及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：基本不等式及其應(yīng)用 2題型二：直接法求最值 4題型三：常規(guī)湊配法求最值 5題型四：化為單變量法 6題型五：雙換元求最值 7題型六：“1”的代換求最值 8題型七：齊次化求最值 9題型八：利用基本不等式證明不等式 10題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題 12題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值 15題型十一：三角換元法 18題型十二：多次運(yùn)用基本不等式 21題型十三：待定系數(shù)法 22題型十四：多元均值不等式 23題型十五：萬能K法 23題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題 25題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題 26題型十八：整體配湊法 2702重難創(chuàng)新練 28真題實(shí)戰(zhàn)練 36題型一：基本不等式及其應(yīng)用1．（2024·高三·安徽蕪湖·期末）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)．作交半圓于點(diǎn)．設(shè)，，則由可以直接證明的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接，由題知，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，，所以所以由可以證明故選：D2．下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，把代入得最小值為4．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】對(duì)：基本不等式適用于兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)，均為負(fù)值，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的用法有誤，故錯(cuò)誤；對(duì)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，但，則等號(hào)取不到，故的用法有誤；對(duì)：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的用法有誤；故使用正確的個(gè)數(shù)是0個(gè)，故選：.3．下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：當(dāng)時(shí)，有，故不等式不一定成立，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)，即時(shí)，有，故不等式不一定成立，故B錯(cuò)誤；C：恒成立，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，有，故不等式不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：C題型二：直接法求最值4．（2024·上海普陀·二模）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且滿足，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.6．若，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：題型三：常規(guī)湊配法求最值7．若，則的最小值是．【答案】3【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴時(shí)取得最小值3.故答案為：3．8．若，則函數(shù)的值域是.【答案】【解析】∵.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.9．若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A題型四：化為單變量法10．若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，可消去得到，則，令，，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．故選：C．11．（2024·高三·河南漯河·期末）設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：D.12．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為.【答案】12【解析】由，可得，即，代入中，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為12.故答案為：12.13．已知，若，則的最小值為.【答案】【解析】由，且，可得，則，設(shè)，可得且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.題型五：雙換元求最值14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為．【答案】12【解析】令，，則，，且，，所以，．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：1215．（2024·高三·福建龍巖·期中）已知且，則的最小值為．【答案】8【解析】由得，即，所以，令得所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：8題型六：“1”的代換求最值16．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為.【答案】5【解析】對(duì)于函數(shù)，令，可得，可知，若點(diǎn)在直線上，則，即，則，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.故答案為：5.17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為【答案】1【解析】因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，所以，即的最小值為1.故答案為：118．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若直線過函數(shù)，且）的定點(diǎn)，則的最小值為.【答案】6【解析】時(shí)，，函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)在直線上，,由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：6.19．（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【解析】由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值是．故答案為：．題型七：齊次化求最值20．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【解析】正實(shí)數(shù)滿足，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：21．已知，，，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，即有且，將代入得，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值，即的最小值是.故選：D.題型八：利用基本不等式證明不等式22．已知，，為正數(shù)，函數(shù).(1)若，求的最小值；(2)若且，，不全相等，求證：.【解析】（1）由題意得，∴，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值4.（2）∵，，為正數(shù)，且，∴，∴要證，即證.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).又，，不全相等，∴，即.23．不等式選講已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．【解析】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，要證，只要證，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，．（2）由基本不等式得，以上三式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)同時(shí)取等號(hào)，將以上三式相加得，即．24．（2024·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【解析】（1）（2）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題25．（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角滿足，如圖，設(shè)，由題設(shè)可得圓的直徑為，故，因，為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，同理，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故四邊形周長(zhǎng)的最大值為，故選：A.26．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為米，則寬為米，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以平整這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用為元.故選：C27．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金．一位顧客到店里購(gòu)買黃金，售貨員現(xiàn)將的砝碼放在天平的左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；將天平左右盤清空后，再將的砝碼放在天平右盤中，再取出黃金放在天平的左盤中，使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．則（

）A． B．C． D．以上都有可能【答案】A【解析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，且，則有，，即，，所以，，又因?yàn)?，所?故選：A28．（2024·高三·北京朝陽(yáng)·期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水平的影響，用表示產(chǎn)量，表示勞動(dòng)投入，表示資本投入，表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示為，其中.當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r(shí)，下面結(jié)論中正確的是（

）A．存在和，使得不變B．存在和，使得變?yōu)樵瓉淼谋禖．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋禗．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋丁敬鸢浮緿【解析】設(shè)當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r(shí)，，對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若和，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，即若，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由，，可得，故D正確.故選：D.29．某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名女社員分裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男?女社員人數(shù)都不足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時(shí)會(huì)不可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會(huì)損耗蔬菜共80千克，參與任務(wù)的所有女社員會(huì)損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（

）A．10 B．15 C．30 D．45【答案】B【解析】設(shè)安排男社員名，女社員名，根據(jù)題意，可得，平均損耗蔬菜量之和為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.故選：B.題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值30．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，A正確；因?yàn)?，所以，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C錯(cuò)誤；由整理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，D正確．故選：AD．31．（多選題）已知位于第一象限的點(diǎn)在曲線上，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題意可得，且，，對(duì)A：由，即，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，故B正確；對(duì)C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，故，故，，故D正確.故選：BD.32．（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)，，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由可得：，因，故，將其代入可得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，因，故得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，設(shè)，由上分析知，，則在上單調(diào)遞增，故，即C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由，由上分析知，則，故，即，故D項(xiàng)正確.故選：AD.33．（多選題）已知，，，則下列說法正確的是（）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，得，，則，設(shè)函數(shù)，，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確；故選：AD．題型十一：三角換元法34．（多選題）由知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為B．的最大值為C．D．當(dāng)時(shí)，的最大值為【答案】AC【解析】對(duì)于A中，由不等式，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，可得，所以的最大值為，所以B不正確；對(duì)于C中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，可得，所以的最大值為，所以C正確；對(duì)于D中，由，即，設(shè)，則，設(shè)，可得，可得，因?yàn)?，可得，即，不妨設(shè)，可得則，所以又因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以無最大值，所以D不正確.故選：AC.35．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．B．的最大值為C．D．的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令且，則，其中，，又，所以的最大值為1，所以的最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由B中的分析知，，其中，，又，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，令，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取最大，故D正確.故選：ACD.36．（多選題）若，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，故D正確．故選：BCD．題型十二：多次運(yùn)用基本不等式37．已知，則的最小值為.【答案】【解析】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.38．（2024·黑龍江·二模）已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或取等號(hào)，所以或.故選：D39．若實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即或時(shí)等號(hào)成立．故選：C．40．已知?jiǎng)t的最小值為（）A．2 B． C．4 D．5【答案】C【解析】題型十三：待定系數(shù)法41．（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三4月月考數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)，，不全為0，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意實(shí)數(shù)，，不全為0，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.42．（2024·山西運(yùn)城·二模）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．題型十四：多元均值不等式43．已知，則的最小值為.【答案】【解析】依題意，，則，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：44．函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，因?yàn)?，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.題型十五：萬能K法45．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】/【解析】原方程可化為，故，故，故，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為，故答案為：46．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，所以的最大值為.故選：B.47．（2024·高三·重慶·期中）已知x，，且，則的最大值為．【答案】/【解析】設(shè)，由得，，解得，時(shí)，，故答案為：.題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題48．（2024·遼寧大連·一模）對(duì)于任意的正數(shù)m，n，不等式成立，則λ的最大值為【答案】/【解析】因?yàn)槎紴檎龜?shù)，則不等式成立，即為成立，又由，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故答案為：.49．（2024·高三·山東濱州·期末）若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式對(duì)任意恒成立，則，成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B50．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又恒成立，即.故選：A題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題51．已知，向量，則的最大值為.【答案】/0.125【解析】由題意知，故，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為，故答案為：52．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在直三棱柱中，，則該三棱柱的體積的最大值為．【答案】6【解析】如圖，，，則，由，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為6，此時(shí)三棱柱的體積最大，最大體積為.故答案為：653．（2024·四川南充·二模）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，．則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：54．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為，故選：A．題型十八：整體配湊法55．（2024·四川成都·三模）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（用表示）．【答案】【解析】因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是，所以的最大值為.故答案為：56．對(duì)于正數(shù)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知：，因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），化簡(jiǎn)可得，解得，故C正確.故選：C.57．已知，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，令，則上式為：，即，解得或（舍），所以的取值范圍為.故答案為：.58．若，則的最小值為.【答案】4【解析】由完全平方公式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：4.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若正實(shí)數(shù)滿足，則有最小值4B．若正實(shí)數(shù)滿足，則C．的最小值為D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若正實(shí)數(shù)滿足，則，而當(dāng)時(shí)，有，，從而的最小值是，故A正確；對(duì)于B，若正實(shí)數(shù)滿足，則，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得最小值是，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，有，但，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2024·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，平方得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)，故取得最小值時(shí)，.故選：A.3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)A：由，故，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，故B正確；對(duì)C：由，故，即有，又由B可得，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2024·遼寧大連·一模）若奇函數(shù)，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】若為奇函數(shù)，則，所以，則，整理得，又因?yàn)?，奇函?shù)的定義域滿足，即，結(jié)合可得，即，故所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值.故選：B.5．（2024·貴州黔東南·二模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】由題，構(gòu)造函數(shù)，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為0.故選：A.6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.7．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故選：C.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．因?yàn)?，令，則，，所以，由對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最小值，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B．9．（多選題）（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為2 D．的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)A：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)B：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)D：