2025年新高考數(shù)學一輪復習第10章第01講計數(shù)原理(三大題型)(練習)(學生版+解析)

第01講計數(shù)原理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：分類加法計數(shù)原理的應用 2題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用 2題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用 302重難創(chuàng)新練 303真題實戰(zhàn)練 6題型一：分類加法計數(shù)原理的應用1．書架的第1層放有3本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為（

）A．3 B．8 C．12 D．182．從地到地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不對3．某校有5名學生參加數(shù)學競賽，要求必須有人參加比賽，其中2名學生必須同時參加或同時不參加，其他學生可以獨立決定是否參加，求不同的參賽組合數(shù)（

）．A．10種 B．15種C．20種 D．25種題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用4．學校為豐富高中生的課外生活，開設了興趣小組，有3名學生想要報名書法、繪畫、籃球、羽毛球興趣小組，每人限報1項、則不同的報名方式種數(shù)有（

）A． B．36 C．24 D．5．如圖，只閉合兩個開關將一條電路從A處到B處接通，可構成線路的條數(shù)為（

）A．8 B．4 C．5 D．36．2024年中國足球甲級聯(lián)賽哈爾濱會展體育中心的主場火爆，一票難求，主辦方設定了三種不同的票價分別對應球場三個不同區(qū)域的座位，四位球迷相約看球賽，則四人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．24種7．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）用代表紅球，代表藍球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球，而“”表示把紅球和藍球都取出來，以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區(qū)別的紅球、3個無區(qū)別的藍球、2個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（

）A．B．C．D．8．從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，一共有多少種選法？（

）A．11 B．12 C．30 D．369．5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（

）A．9 B．20 C． D．題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用10．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡龍、牛和羊，乙同學喜歡龍和馬，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有種．11．（2024·浙江杭州·模擬預測）袋子中有數(shù)字“7”的卡片3張和數(shù)字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成個不同的四位數(shù)（用數(shù)字回答）．12．如果一個四位數(shù)各個位數(shù)上的數(shù)字之和為8，則稱這個四位數(shù)為“幸運數(shù)”，那么總共有個“幸運數(shù)”．13．用0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的偶數(shù)有個.（用數(shù)字作答）.1．（2024·海南·模擬預測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個區(qū)域填一個數(shù)字，1不在區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）A．20種 B．24種 C．36種 D．48種2．（2024·廣東深圳·模擬預測）某高校要求學生除了學習第二語言英語，還要求同時進修第三語言和第四語言，其中第三語言可從A類語言：日語，韓語，越南語，柬埔寨語中任選一個，第四語言可從E類語言：法語，德語，俄語，西班牙語，意大利語，則學生可選取的語言組合數(shù)為（

）A．20 B．25 C．30 D．353．（2024·河南周口·模擬預測）2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒·逆轉時空》異?；鸨?，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（

）A．243種 B．162種 C．72種 D．36種4．（2024·全國·模擬預測）如下圖所示，邊長為a的正方體成周期性排列，在正方體的各個角以及每個面的中心有原子分布的晶體結構，我們稱之為面心立方結構.若要將這一個立方體上的14個點染上紅黃藍三種顏色，使得被一條線段連接的兩個點不能染上同一種色，那么不同染色方案的種數(shù)是（旋轉和鏡像對稱后重合的視為同一種）（

）

A．3 B．6 C．9 D．125．（2024·天津和平·二模）為響應黨的二十大報告提出的“深化全民閱讀”的號召，某學校開展讀書活動，組織同學從推薦的課外讀物中進行選讀．活動要求甲、乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種6．（2024·江蘇南通·模擬預測）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個社區(qū)開展活動，其中1人到社區(qū)，則不同的選法有（

）A．12種 B．24種 C．30種 D．60種7．（2024·陜西銅川·模擬預測）小張同學喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋子中至少裝1種奶糖．小張同學希望5個袋子中所裝奶糖種類各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為2，那么不同的方案數(shù)為（

）炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為．14．（2024·全國·模擬預測）二階魔方是一個的正方體，由8個角塊組成，沒有中心塊和棱塊，結構相對簡單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同（即通過整體旋轉后相同）的情況只算一種，則任意二階魔方共有種不同的狀態(tài).（提示：任選其中1個角塊作為參考，則其余7塊能自由排列，在這7塊中，任意確定6塊，最后1塊也就唯一確定了）15．（2024·河南濮陽·模擬預測）第一屆全國學生（青年）運動會開幕式于2023年11月5日在廣西舉行，舉辦本屆學青會是推動新時代青少年和學校體育改革發(fā)展，增強青少年和學生體質、促進競技體育后備人才培養(yǎng)的重要措施．為了加強宣傳力度，某體育協(xié)會從甲、乙等6人中選派4人到A，B，C，D四個不同的區(qū)域參加宣傳活動，每人去一個區(qū)域，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去A區(qū)域的選派方法共有種（用數(shù)字作答）．16．（2024·高二·吉林長春·期末）有4人到甲、乙、丙三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為.（用數(shù)字作答）17．（2024·福建泉州·模擬預測）圍棋在中國古時稱"弈"，是一種策略性二人棋類游戲．圍棋棋盤由縱橫各19條等距離、垂直交叉的平行線構成．則圍棋棋盤上的矩形數(shù)量為．（用數(shù)字作答）1．（2001年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（全國卷））如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)絡聯(lián)系，連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

A．26 B．24 C．20 D．192．（1993年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（舊高考））同室人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則張賀年卡不同的分配方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．（2005年普通高等學校春季招生考試數(shù)學（文）試題（北京卷））從0，1，2，3這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)的系數(shù)，可組成不同的一次函數(shù)共有個，不同的二次函數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）4．（2005年普通高等學校春季招生考試數(shù)學（理）試題（北京卷））從，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有個，其中不同的偶函數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）5．（2001年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（全國卷））圓周上有個等分點，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為．6．（2003年普通高等學校春季招生考試數(shù)學試題（上海卷））8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有場比賽．第01講計數(shù)原理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：分類加法計數(shù)原理的應用 2題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用 3題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用 502重難創(chuàng)新練 603真題實戰(zhàn)練 13題型一：分類加法計數(shù)原理的應用1．書架的第1層放有3本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為（

）A．3 B．8 C．12 D．18【答案】A【解析】書架的第1層放有3本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為.故選：B.2．從地到地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不對【答案】A【解析】由題意可知，可以乘汽車、火車、輪船三種交通工具，汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，則由分類加法計數(shù)原理可得共有種不同走法.故選：B.3．某校有5名學生參加數(shù)學競賽，要求必須有人參加比賽，其中2名學生必須同時參加或同時不參加，其他學生可以獨立決定是否參加，求不同的參賽組合數(shù)（

）．A．10種 B．15種C．20種 D．25種【答案】A【解析】某校有5名學生參加數(shù)學競賽，其中2名學生必須同時參加或同時不參加，所以設這兩名同學為甲乙，當甲乙同時參加時，剩下的三名同學可能有：沒有同學參加有種情況，恰有一名同學參加有種情況，恰有兩名同學參加有種情況，三名同學都參加有種情況，所以共有種組合；當甲乙同時不參加時，剩下的三名同學可能有：恰有一名同學參加有種情況，恰有兩名同學參加有種情況，三名同學都參加有種情況，所以共有種組合；所以不同的參賽組合數(shù)為：種，故選：B題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用4．學校為豐富高中生的課外生活，開設了興趣小組，有3名學生想要報名書法、繪畫、籃球、羽毛球興趣小組，每人限報1項、則不同的報名方式種數(shù)有（

）A． B．36 C．24 D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，每名學生都可以在書法、繪畫、籃球和羽毛球興趣小組中任選1個，都有4種選法，由分步計數(shù)原理得，共有種不同的選法.故選：D.5．如圖，只閉合兩個開關將一條電路從A處到B處接通，可構成線路的條數(shù)為（

）A．8 B．4 C．5 D．3【答案】A【解析】根據(jù)題意根據(jù)分步計數(shù)原理，一條電路從A處到B處接通，處并聯(lián)電路開關閉合一個，有2種方法，處并聯(lián)電路開關閉合一個，只能閉合下面兩個中的一個，有2種方法，共有種方法.故選：B6．2024年中國足球甲級聯(lián)賽哈爾濱會展體育中心的主場火爆，一票難求，主辦方設定了三種不同的票價分別對應球場三個不同區(qū)域的座位，四位球迷相約看球賽，則四人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．24種【答案】B【解析】要使四人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：第一步，先從四人中任選三人，有種方法；第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；第三步，將另外一人從余下的兩個區(qū)域里任選，有種方法.由分步乘法計數(shù)原理，共有種方法.故選：D.7．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）用代表紅球，代表藍球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球，而“”表示把紅球和藍球都取出來，以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區(qū)別的紅球、3個無區(qū)別的藍球、2個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】第一步，從3個無區(qū)別的紅球中取出若干球，則有；第二步，從3個無區(qū)別的藍球中都取出或都不取出，要滿足題意，只有；第三步，從2個有區(qū)別的黑球中取出若干個，則有.根據(jù)分步計數(shù)原理，則要滿足題意的取法有：.8．從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，一共有多少種選法？（

）A．11 B．12 C．30 D．36【答案】C【解析】由題意，共有種選法.故選：C．9．5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（

）A．9 B．20 C． D．【答案】B【解析】因為每名同學都有4種選擇，所以由分步乘法計數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：．故選：D.題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用10．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡龍、牛和羊，乙同學喜歡龍和馬，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有種．【答案】50【解析】第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種方法，第二種情況是甲選?；蝰R，甲有2種方法，乙也有2種方法，那么丙有10種方法，則共有種方法，所以共有種方法.故答案為：5011．（2024·浙江杭州·模擬預測）袋子中有數(shù)字“7”的卡片3張和數(shù)字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成個不同的四位數(shù)（用數(shù)字回答）．【答案】【解析】如果取一張數(shù)字7的卡片，則數(shù)字2、3、5的卡片都要取出，則組成個不同的四位數(shù)；如果取兩張數(shù)字7的卡片，則數(shù)字2、3、5的卡片要取出兩張，則組成個不同的四位數(shù)；如果取三張數(shù)字7的卡片，則數(shù)字2、3、5的卡片要取出一張，則組成個不同的四位數(shù)；所以最多能組成個不同的四位數(shù).故答案為：.12．如果一個四位數(shù)各個位數(shù)上的數(shù)字之和為8，則稱這個四位數(shù)為“幸運數(shù)”，那么總共有個“幸運數(shù)”．【答案】【解析】①若有個，則為，共個；②若有個，則另外兩個數(shù)為，，，，則有個；③若有個，則另外三個數(shù)為，，，，，則有個；④若沒有，則為，，，，，則有個；綜上一共有個.故答案為：13．用0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的偶數(shù)有個.（用數(shù)字作答）.【答案】46【解析】依題意，若這四位數(shù)為偶數(shù)，則個位一定是0,2,4這三個之一；若這四位數(shù)能被3整除，則這四位數(shù)之和為3的倍數(shù).當個位數(shù)為0時，剩下的三位數(shù)為1，2，3或2,3,4或3,4,5，此時共有：個；當個位數(shù)為2時，剩下的三位數(shù)為0,1,3或0,3,4或1,4,5，當剩下的三位數(shù)含有0時，0不能在千位數(shù)，此時有個；當個位數(shù)為4時，剩下的三位數(shù)為0,2,3或0,3,5或1,2,5，當剩下的三位數(shù)含有0時，0不能在千位數(shù)，此時有個；總共有：個.故答案為：46.1．（2024·海南·模擬預測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個區(qū)域填一個數(shù)字，1不在區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）A．20種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】A【解析】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，與1同列的只能是3或4，有2種方法，最后兩個區(qū)域，填兩個數(shù)字有2種方法，所以不同填法種數(shù)是.故選：B2．（2024·廣東深圳·模擬預測）某高校要求學生除了學習第二語言英語，還要求同時進修第三語言和第四語言，其中第三語言可從A類語言：日語，韓語，越南語，柬埔寨語中任選一個，第四語言可從E類語言：法語，德語，俄語，西班牙語，意大利語，則學生可選取的語言組合數(shù)為（

）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】C【解析】第三語言可從A類語言4個中任選一個，有4種方法，第四語言可從E類語言5個中任選一個，有5種方法，所以共有種.3．（2024·河南周口·模擬預測）2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒·逆轉時空》異常火爆，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（

）A．243種 B．162種 C．72種 D．36種【答案】A【解析】先安排甲、乙兩人，有種方法，再安排其余3人，每人有3種安排方法，故共有（種）方法.故選：B.4．（2024·全國·模擬預測）如下圖所示，邊長為a的正方體成周期性排列，在正方體的各個角以及每個面的中心有原子分布的晶體結構，我們稱之為面心立方結構.若要將這一個立方體上的14個點染上紅黃藍三種顏色，使得被一條線段連接的兩個點不能染上同一種色，那么不同染色方案的種數(shù)是（旋轉和鏡像對稱后重合的視為同一種）（

）

A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】不妨設正方體的邊長為1，記紅黃藍三種顏色為a，b，c，我們首先假設正方體的一對對頂點是在和，若將染成色，那么，，三個點必然都是色，而，，必然都是色．如此遞推可以恰好染完整個正方體.而當色固定的時候通過旋轉就可以得到互換的正方體.從而只有三種不同的方案，也就是將面的中間分別染上紅黃藍三種顏色.故選：A5．（2024·天津和平·二模）為響應黨的二十大報告提出的“深化全民閱讀”的號召，某學校開展讀書活動，組織同學從推薦的課外讀物中進行選讀．活動要求甲、乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：首先選取種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．故選：B．6．（2024·江蘇南通·模擬預測）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個社區(qū)開展活動，其中1人到社區(qū)，則不同的選法有（

）A．12種 B．24種 C．30種 D．60種【答案】C【解析】求不同選法種數(shù)需2步，先從5人中選1人去社區(qū)，再從余下4人中選2人去社區(qū)，所以不同的選法有（種）.故選：C7．（2024·陜西銅川·模擬預測）小張同學喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋子中至少裝1種奶糖．小張同學希望5個袋子中所裝奶糖種類各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為2，那么不同的方案數(shù)為（

）A．3000 B．3360 C．1440 D．1560【答案】C【解析】依次記四種奶糖為，則每個字母出現(xiàn)2次，先分堆．若是“”，則其中的“4”必須是，故有1種可能；若是“”，則考慮，故有種可能；若是“”，則考慮，故有種可能，所以不同的方案數(shù)為種．故選:A．8．（2024·陜西西安·三模）方程的非負整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．12【答案】C【解析】因為，所以的因數(shù)有個，故方程的非負整數(shù)解的組數(shù)為40．故選：A9．（多選題）（2024·全國·模擬預測）將這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，記第i項為，則下列說法正確的是（

）A．若，，則這樣的數(shù)列共有360個B．若該數(shù)列恰好先增后減，則這樣的數(shù)列共有64個C．若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有144個D．若，，，則這樣的數(shù)列共有71個【答案】CCD【解析】對于A：由于為奇數(shù)，根據(jù)對稱性可知這樣的數(shù)列有個，故A正確；對于B：從中選出個數(shù)排在的右側，其余排在的左側，得到先減后增的數(shù)列有個；從中選出2個數(shù)排在的右側，其余排在的左側，得到先減后增的數(shù)列有個；從中選出3個數(shù)排在的右側，其余排在的左側，得到先減后增的數(shù)列有個；從中選出4個數(shù)排在的右側，其余排在的左側，得到先減后增的數(shù)列有個；從中選出5個數(shù)排在的右側，其余排在的左側，得到先減后增的數(shù)列有個；故滿足條件的總個數(shù)為：個，故B錯誤．對于C：若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，則有個，故C正確；對于D：若，則先從其余6個數(shù)中任選2個數(shù)作為且，有種方法，剩余4個數(shù)中最大的為，剩下的3個數(shù)任取2個作為且，有種方法，則這樣的數(shù)列有個，若，則先從除去1之外的5個數(shù)中任選2個數(shù)作為且，有種方法，剩余4個數(shù)中最大的為，，剩下的2個數(shù)任取1個作為或即可，有種方法，則這樣的數(shù)列有個，若，則先從除去1、2之外的4個數(shù)中任選2個數(shù)作為且，有種方法，剩余4個數(shù)位置固定的一種排法，其中，則這樣的數(shù)列有個，所以滿足條件的這樣的數(shù)列共有個，故D正確；故選：ACD.10．（多選題）（2024·高二·山東德州·階段練習）帶有編號、、、、的五個球，則（

）A．全部投入個不同的盒子里，共有種放法B．放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C．將其中的個球投入個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法D．全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】CC【解析】對于A：由分步計數(shù)原理，五個球全部投入個不同的盒子里共有種放法，故A正確；對于B：由排列數(shù)公式，五個不同的球放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法，故B錯誤；對于C：將其中的個球投入一個盒子里（另一個球不投入）共有種放法，故C正確；對于D：全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法，故D錯誤．故選：AC11．（多選題）（2024·重慶·模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（

）A．可以圍成20個不同的正方形B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個不同的三角形D．可以圍成16個不同的等邊三角形【答案】CBC【解析】不妨設兩個釘子間的距離為1，對于選項A，由圖知，邊長為1的正方形有個，邊長為的正方形有個，邊長為3的正方形有1個，邊長為的正方形有個，邊長為的有2個，共有20個，所以選項A正確，對于選項B，由圖知，寬為1的長方形有個，寬為2的長方形有個，寬為3的長方形有5個，寬為的有2個，共有24個，所以選項B正確，對于選項C，由圖知，可以圍成個不同的三角形，所以選項C正確，對于選項D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：ABC.12．（多選題）（2024·高二·山東濱州·期末）某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結論正確的是（

）A．所有不同分派方案共種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種【答案】ACD【解析】選項A：所有不同分派方案共種.判斷錯誤；選項B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，先把4名醫(yī)生分成3組（2人，1人，1人）再分配.則所有不同分派方案共（種）.判斷正確；選項C：若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則企業(yè)可以只有醫(yī)生甲，也可以有醫(yī)生甲和另一名醫(yī)生，則所有不同分派方案共（種）.判斷正確；選項D：若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則企業(yè)可以有1名醫(yī)生和沒有醫(yī)生兩種情況,則不同分派方案共（種）.判斷正確.故選：BCD13．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為．【答案】10【解析】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：種；安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：種，由分步計數(shù)乘法原理，不同的傳遞方案種數(shù)為：種.故答案為：1014．（2024·全國·模擬預測）二階魔方是一個的正方體，由8個角塊組成，沒有中心塊和棱塊，結構相對簡單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同（即通過整體旋轉后相同）的情況只算一種，則任意二階魔方共有種不同的狀態(tài).（提示：任選其中1個角塊作為參考，則其余7塊能自由排列，在這7塊中，任意確定6塊，最后1塊也就唯一確定了）【答案】【解析】任選其中1個角作為參考，考慮其余7塊排列情況.在這7塊中，任意確定6塊，1．（2001年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（全國卷））如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表