教育統(tǒng)計(jì)學(xué)（第5版）課件：概率及概率分布

概率及概率分布第一節(jié)概率的基本概念第二節(jié)二項(xiàng)分布第三節(jié)正態(tài)分布第一節(jié)概率的基本概念

一、概率的定義概率的尋求方法不同1、后驗(yàn)概率的定義以隨機(jī)事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的穩(wěn)定頻率值作為隨機(jī)事件A概率的估計(jì)值。這種概率是用隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率估計(jì)的，故稱為后驗(yàn)概率或統(tǒng)計(jì)概率。小貼士

事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果

擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機(jī)事件：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小貼士簡(jiǎn)單事件：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”必然事件：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6事件的概率

事件A的概率是一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值，用以度量試驗(yàn)完成時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.7502550751001252、先驗(yàn)概率的定義滿足倆個(gè)條件：其一，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的；其二，每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。若所有可能結(jié)果的總數(shù)為N，隨機(jī)事件A包括M個(gè)可能結(jié)果，則事件A的概率為

P=M/N先驗(yàn)概率是在特定條件下直接計(jì)算出來的，是隨機(jī)事件的真實(shí)概率，不是由頻率估計(jì)出來的。試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)充分大時(shí)，后驗(yàn)概率也接近先驗(yàn)概率二、概率的性質(zhì)

1.非負(fù)性對(duì)任意事件A，有P(A)

02.規(guī)范性一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于0與1之間的值，即對(duì)于任意事件A，有0P(A)1必然事件的概率為1；P(

)=1；不可能事件的概率為0。即P(

)=0

三、概率的加法和乘法

1.概率的加法規(guī)則若兩個(gè)事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件各自的概率之和，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)互斥事件

在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件AB

互斥事件的文氏圖

互斥事件及其概率(例題分析)【例6.1】在一所城市中隨機(jī)抽取600個(gè)家庭，用以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：

A：600個(gè)家庭中恰好有265個(gè)家庭擁有電腦

B：恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對(duì)事件是否為互斥事件，并說明你的理由

(1)A與B

(2)A與C

(3)B與C互斥事件及其概率(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事件。因?yàn)槟阌^察到恰好有265個(gè)家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

(2)事件A與C不是互斥事件。因?yàn)閺埲苍S正是這265個(gè)家庭之一，因而事件與有可能同時(shí)發(fā)生

(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2)互斥事件概率的加法規(guī)則

(例題分析)

解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有

6個(gè)互斥事件，而且每個(gè)事件出現(xiàn)的概率都為1/6

根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得

【例6.2】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)或4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率.2.概率的乘法

A事件出現(xiàn)的概率不影響B(tài)事件出現(xiàn)的概率，則稱事件A與B事件獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即

P(AB)=P(A)·P(B)若事件A1,A2,,An相互獨(dú)立，則

P(A1,A2,

,An)=P(A1)·P(A2)·

·P(An)獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析)【例6.8】一個(gè)旅游經(jīng)景點(diǎn)的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個(gè)游客都照相留念的概率

解：設(shè)A=第一個(gè)游客照相留念

B=第二個(gè)游客照相留念在沒有其他信息的情況下，我們可以假定事件A

和事件B是相互立的，所以有

P(AB)=P(A)·P(B)=0.80×0.80=0.64獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析)【例6.9】假定我們是從兩個(gè)同樣裝有3個(gè)紅球2個(gè)藍(lán)球的盒子摸球。每個(gè)盒子里摸1個(gè)。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設(shè)A=

從第一個(gè)盒子里摸到紅球

B=

從第二個(gè)盒子里摸到紅球

依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×3/5=0.36第三節(jié)正態(tài)分布xf(x)小貼士由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作為描述誤差相對(duì)頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的概率分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如：二項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)

一、正態(tài)曲線

1、正態(tài)曲線函數(shù)

f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=正態(tài)隨機(jī)變量X的均值

=正態(tài)隨機(jī)變量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-

<x<

)小貼士1.圖形是關(guān)于x=

對(duì)稱鐘形曲線，且峰值在x=

處2.均值

和標(biāo)準(zhǔn)差

一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)完整的“正態(tài)分布族”3.均值

可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正態(tài)曲線扁平；

越小，正態(tài)曲線越高陡峭4.當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與之相交5.正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1

和對(duì)正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB

=1/2

1

2

=12.正態(tài)曲線的特點(diǎn)第一，曲線在Z=0處為最高點(diǎn)。第二，曲線以Z=0處為中心，雙側(cè)對(duì)稱。第三，曲線從最高點(diǎn)向左右緩慢下降，并無限延伸，但永不與基線相交。第四，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。第五，曲線從最高點(diǎn)向左右延伸時(shí)，在正負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，既向下又向內(nèi)彎。二、正態(tài)分布的面積與縱線1.累積正態(tài)分布函數(shù)abxf(x)2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積的求法

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化(標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù))為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的概念：原始數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)之差除以標(biāo)準(zhǔn)差之商，用符號(hào)Z表示。含義：以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)數(shù)據(jù)在團(tuán)體中的位置，例如，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為1，表明原始數(shù)據(jù)在平均數(shù)以上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置。標(biāo)準(zhǔn)分的性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)分的平均數(shù)為零，標(biāo)準(zhǔn)差為1。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在改組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Xms一般正態(tài)分布

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用（1）已知Z分?jǐn)?shù)，求概率P（2）從概率求Z分?jǐn)?shù)（3）已知概率或Z分?jǐn)?shù)，求概率密度函數(shù)值0ZxP累積正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積的求法：利用教材323頁的附表1。附表1的特點(diǎn)：第一，表內(nèi)僅列有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積。第二，表內(nèi)僅載有從Z=0到右邊Z值之間的面積。第三，表中間的數(shù)值均表示Z=0至某個(gè)Z值之間的面積。附表1中第一列為Z值，第二列Y值，第三列為P值。（1）已知Z值求面積第一，求Z=0到某一Z值之間的面積第二，求倆個(gè)Z值之間的面積第三，求某一Z值以上或以下的面積求考試成績(jī)中特定區(qū)間的人數(shù)某年級(jí)200名學(xué)生考試成績(jī)呈正態(tài)分布，平均分為85分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，學(xué)生甲的成績(jī)微70分，全年級(jí)成績(jī)比學(xué)生甲低的學(xué)生人數(shù)是多少？在平均分上下多少分中間包括85%的學(xué)生？某次升學(xué)考試，學(xué)生成績(jī)符合正態(tài)分布，1000名考生英語平均60分，標(biāo)準(zhǔn)差15分，試求70—80分之間有多少人？90分以上有多少人？在平均分上下多少分中間包括90%的學(xué)生？（2）已知面積求Z值第一，求Z=0以上或以下某一面積對(duì)應(yīng)的Z值第二，求與正態(tài)曲線上端或下端某一面積相對(duì)應(yīng)的Z值第三，求與正態(tài)曲線下中央部位某一面積相對(duì)應(yīng)的Z值（3）正態(tài)曲線的縱線第一，已知Z值求縱線高度第二，已知面積求縱線高度三、正態(tài)分布在測(cè)驗(yàn)記分方面的應(yīng)用1、將原始分轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分2、確定錄取分?jǐn)?shù)線例如，某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)生成績(jī)呈正態(tài)分布，參賽學(xué)生200人，平均分66.78分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.19分，若表揚(yáng)前20名，其最低分應(yīng)是多少？某生得80分，他在參賽者中排列第幾名？3、確定等級(jí)評(píng)定的人數(shù)例如，某年級(jí)智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)呈正態(tài)分布，準(zhǔn)備按分?jǐn)?shù)高低將學(xué)生分為人數(shù)相同的三組，全體學(xué)生智力平均分100分，標(biāo)準(zhǔn)差15分，三組學(xué)生的分?jǐn)?shù)上下限各是多少？93.55分106.45分4、品質(zhì)評(píng)定數(shù)量化一、二項(xiàng)試驗(yàn)一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”這里“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗(yàn)“成功”的概率為p＝P(A)，失敗的概率為q=1-p，且概率p對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次在n次試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X第二節(jié)二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布函數(shù)

用n次方的二項(xiàng)展開式表達(dá)在n次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)不同次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布。設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x的概率為二項(xiàng)分布(例題分析)

【例6.10】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個(gè)。求5個(gè)產(chǎn)品中：

(1)沒有次品的概率是多少？

(2)恰好有1個(gè)次品的概率是多少？

(3)有3個(gè)以下次品的概率是多少？從男生占2/5的學(xué)校中隨機(jī)抽取6個(gè)男生，問正好抽到4個(gè)男生的概率上多少？至多抽到2個(gè)男生的概率是多少？三、二項(xiàng)分布圖當(dāng)p=q,不管n多大，二項(xiàng)分布呈對(duì)稱形。當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布。當(dāng)n趨近于無限大時(shí)，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限。當(dāng)p不