山西省大同市2025屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

山西省大同市2025屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，其中為虛部單位，則實數(shù)()A．3 B． C． D．2．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．3．記為等差數(shù)列的前項和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－134．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B．C． D．5．函數(shù)（），當(dāng)時，的值域為，則的范圍為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．7．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時，最大，則（）A． B． C． D．8．設(shè)M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為()A．1 B． C． D．9．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．410．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是___________14．已知雙曲線的左右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.15．已知，則滿足的的取值范圍為_______．16．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱椎中，四邊形為菱形，，，，，，分別為，中點..（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．（12分）設(shè)為實數(shù),在極坐標(biāo)系中,已知圓（）與直線相切,求的值．19．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線.（1）求B；（2）若，，且，求BD的長度.20．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.21．（12分）萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會（簡稱“十四冬”）于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕，期間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表；并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)；（2）在全?！氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，22．（10分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機構(gòu)從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)（單位：萬件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計，開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展?fàn)I銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利多少萬元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用乘法運算化簡復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.2、D【解析】

討論的取值范圍，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，，故切線的斜率變小，當(dāng)時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當(dāng)時，，故切線的斜率變大，當(dāng)時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.3、B【解析】

由題得，，解得，，計算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，考查了學(xué)生運算求解能力.4、A【解析】

由的解集，可知及，進(jìn)而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因為，所以，若值域為，所以只需，∴.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).6、C【解析】

設(shè)，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選：A．【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.8、B【解析】

設(shè)，通過，再利用向量的加減運算可得，結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè)，則有.又，所以，有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.9、C【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．10、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．11、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．12、B【解析】

化簡復(fù)數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對應(yīng)的點的坐標(biāo)．【詳解】是純虛數(shù)，則，，，對應(yīng)點為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先還原幾何體，再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【點睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題14、【解析】

由已知可得，結(jié)合雙曲線的定義可知，結(jié)合，從而可求出離心率.【詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系，分析出.關(guān)于圓錐曲線的問題，一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計算量.15、【解析】

將f（x）寫成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x|x|＝，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x﹣1）+f（x）≥0?f（2x﹣1）≥﹣f（x）?f（2x﹣1）≥f（﹣x）?2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范圍為[，+∞）；故答案為：[，+∞）．【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析f（x）的奇偶性與單調(diào)性．16、【解析】由分層抽樣的知識可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應(yīng)填答案．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明，得到平面，得到證明.（2）以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）因為四邊形是菱形，且，所以是等邊三角形，又因為是的中點，所以，又因為，，所以，又，，，所以，又，，所以平面，所以，又因為是菱形，，所以，又，所以平面，所以.（2）由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，，平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18、【解析】

將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得．將直線化成普通方程為．因為相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得．【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)共線得到，利用正弦定理化簡得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）∵與共線，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.則或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【點睛】本題考查了向量共線，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當(dāng)時，.∵，∴當(dāng)時，，即②.綜上①②可得，.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題．，21、（1）列聯(lián)表見解析，有把握；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表，求出，從而有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)．（2）在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名，則抽中男教工：人，抽中女教工：人，從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座．記其中女職工的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）由題意得下表：男女合計冰雪迷402060非冰雪迷202040合計6040100的觀測值為所以有的把握認(rèn)為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關(guān).（2）由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工，2名女職工