湖北省長(zhǎng)陽縣第一高級(jí)中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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湖北省長(zhǎng)陽縣第一高級(jí)中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),.設(shè)在上的最大值為(),且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}4.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.5.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.7.如圖,棱長(zhǎng)為的正方體中,為線段的中點(diǎn),分別為線段和棱上任意一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.8.一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.9.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.7811.設(shè),,,則()A. B. C. D.12.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)變量,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為______.14.設(shè)全集,,,則______.15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y16.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,求的值.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在某外國(guó)語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)附表及公式:其中,.20.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),求證:;(Ⅲ)若對(duì)于恒成立,求的最大值.21.(12分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.22.(10分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、C【解析】

由已知先求出,即,進(jìn)一步可得,再將所求問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí),則,,所以,,顯然當(dāng)時(shí),,故,,若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立,即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立,即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),,令,解得,令,解得,考慮到,故有當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),有單調(diào)遞減,故數(shù)列的最大值為,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識(shí),是一道較為綜合的數(shù)列題.3、C【解析】

根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念,可得結(jié)果.【詳解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集,補(bǔ)集的概念,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則,考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

取中點(diǎn),過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時(shí),最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點(diǎn),過作面,如圖:則,故,而對(duì)固定的點(diǎn),當(dāng)時(shí),最?。藭r(shí)由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.8、A【解析】

將正四面體補(bǔ)成正方體,通過正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長(zhǎng)都是4,∴正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.9、D【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以故選:D【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.11、A【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到,化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-8【解析】

通過約束條件,畫出可行域,將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題,通過圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示:令,則即為在軸截距的最大值由圖可知:當(dāng)過時(shí),在軸截距最大本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問題,關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問題.14、【解析】

先求出集合,,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椴淮嬖谀婢仃?,,所?矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求得切線的斜率,則切線方程得解;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),對(duì)參數(shù)分類討論,求得函數(shù)的單調(diào)性,以及最值,即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則.所以.又,故所求切線方程為,即.(Ⅱ)依題意,得,即恒成立.令,則.①當(dāng)時(shí),因?yàn)?,不合題意.②當(dāng)時(shí),令,得,,顯然.令,得或;令,得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),,,所以,只需,所以,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題,屬綜合中檔題.19、(Ⅰ),;(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于列式可解得;(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,從而可得列聯(lián)表,再計(jì)算出,與臨界值比較可得.【詳解】解:(Ⅰ),.(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,列聯(lián)表如下:女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)因?yàn)?所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生,男生有關(guān).”【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn),以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問題,熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想,以及平均數(shù)的計(jì)算方法即可,屬于??碱}型.20、(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以在上為增函數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進(jìn)而可證;(Ⅲ)條件等價(jià)于對(duì)于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)(a),,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則,所以,又因?yàn)?,所以在上為增函?shù),因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,則,且,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,,由,得,所以,由于,,從而;(Ⅲ)因?yàn)閷?duì)于恒成立,即對(duì)于恒成立,不妨令,因?yàn)椋?,所以的解為,則當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),所以的最小值為,則,不妨令(a),,則(a),解得,所以當(dāng)時(shí),(a),(a)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),(a),(a)為減函數(shù),所以(a)的最大值為,則的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法,意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.21、(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】

(1)分

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