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2025屆北京市第十九中高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿(mǎn)足,且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.2.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)3.二項(xiàng)式展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.5.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,銳角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點(diǎn),則()A. B. C. D.7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.8.下列不等式正確的是()A. B.C. D.9.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.011.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.12.已知,,是平面內(nèi)三個(gè)單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知盒中有2個(gè)紅球,2個(gè)黃球,且每種顏色的兩個(gè)球均按,編號(hào),現(xiàn)從中摸出2個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別),則恰好同時(shí)包含字母,的概率為_(kāi)_______.14.在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬.如圖,若四棱錐為陽(yáng)馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為,內(nèi)切球半徑為,則__________.15.如圖,直三棱柱中,,,,P是的中點(diǎn),則三棱錐的體積為_(kāi)_______.16.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則其單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),AEBD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。(Ⅰ)求證:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫(xiě)出結(jié)果,不要求過(guò)程).18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如:該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.19.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最大值為,且,求的最小值.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)點(diǎn)在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若對(duì)任意x0,f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1x2),證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng),進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時(shí),取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時(shí),取到最小值,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.2、C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,得到a滿(mǎn)足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.3、D【解析】
寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
由程序語(yǔ)言依次計(jì)算,直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過(guò)程為當(dāng)n=2時(shí),時(shí),,此時(shí)輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】
選取中間值和,利用對(duì)數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.6、A【解析】
根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點(diǎn)在于公式的計(jì)算,識(shí)記公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項(xiàng),又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題,其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿(mǎn)足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿(mǎn)足的關(guān)系.11、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿(mǎn)足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.12、A【解析】
由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號(hào)可取到.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況,其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同;故其概率是故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率,解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑,由此能求出,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,從而內(nèi)切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽(yáng)馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為,該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑,,,側(cè)棱底面,且底面為正方形,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,內(nèi)切球半徑為,故.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題,補(bǔ)形法的運(yùn)用,以及數(shù)學(xué)文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補(bǔ)形法(構(gòu)造法),通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體(正方體),球心位置即為體對(duì)角線的中點(diǎn);(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心,再找出過(guò)外心且與不共線三點(diǎn)確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.15、【解析】
證明平面,于是,利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】平面,平面,,又.平面,是的中點(diǎn),.
故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式,再求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,解得;所以,其中;所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】
(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,AE⊥BD于E,能證明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫(xiě)出答案即可.【詳解】(Ⅰ)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE?平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由題意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=BD=DC=AD=2,
則BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),
F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個(gè)法向量為,設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量,則,取x=1,得,∴,∴二面角A-DC-B的平面角為銳角,故余弦值為.
(Ⅲ)三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為:1:5.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明、幾何體體積計(jì)算、二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,屬于中等題.18、(1),,,(2)【解析】
(1)根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值;(2)首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解:(1),,(2)設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)(每一步長(zhǎng)度為1),則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,(其中為不超過(guò)的最大整數(shù))總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下),即等價(jià)于求中含項(xiàng)的系數(shù),為其中含項(xiàng)的系數(shù)為故.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類(lèi)討論的思想.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,又平面的一個(gè)法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.20、(1)(2)【解析】
(1)化簡(jiǎn)得到,分類(lèi)解不等式得到答案.(2)的最大值,,利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,故或或解得或,故不等式的解集?(2)畫(huà)出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像可知的最大值.因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
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