河北省石家莊市2025屆高三數(shù)學(xué)新高考考前模擬試題含解析

河北省石家莊市2024屆高三數(shù)學(xué)新高考考前模擬試題滿分150分，用時120分鐘留意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上相應(yīng)的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案用0.5毫米及以上黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.參考公式：錐體的體積公式（其中S為錐體的底面積，h為錐體的高）.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解二次不等式得，再依據(jù)集合運(yùn)算法則算即可【詳解】由題，，則，故選：A2.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定推斷.【詳解】因為命題：，，所以：，，故A，C，D錯誤.故選：B.3.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿意：，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用計算得，即可得答案【詳解】解：由可得，所以，故選：A4.已知函數(shù)，且?，則下列陳述不正確的是（）A.函數(shù)?的最小正周期為?B.?為?的一個對稱軸C.函數(shù)?在區(qū)間?上單調(diào)D.函數(shù)?在區(qū)間?上有兩個零點【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)已知求出的值，由此得到函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，對A、B、C、D四個選項逐個進(jìn)行求解即可.【詳解】，.又，對A，函數(shù)的最小正周期，故A正確；對B，由得，為的一個對稱軸，故B選項正確；對C，由，所以為的一個對稱軸，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以選項C不正確；對D，令得，即令，或，函數(shù)區(qū)間上有兩個零點，故選項D正確.故選：C5.戰(zhàn)國時期銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意作圖，然后分別計算三棱錐和圓柱的體積，再相加即可.【詳解】由題意，銅鏃的直觀圖如圖所示，三棱錐的體積，因為圓柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，所以圓柱的底面圓的半徑，所以圓柱的體積所以此銅鏃的體積為故選：A.6.設(shè)是雙曲線的左，右焦點，過的直線交雙曲線的左支于兩點，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a＝2，再由雙曲線的定義可得得到，再依據(jù)兩點的位置特征得到答案．【詳解】如圖，依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，由雙曲線的定義可得：可得：過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線的左支于兩點，當(dāng)是雙曲線的通經(jīng)時最小．解得，則故選【點睛】本題考查兩條線段和的最小值的求法，解題時要合理運(yùn)用雙曲線的簡潔性質(zhì)，是中檔題．7.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事務(wù)；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事務(wù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.事務(wù)與事務(wù)B相互獨立C. D.【答案】D【解析】【分析】A選項，依據(jù)題意求出，推斷A選項；B選項，利用全概率公式求出，得到，推斷事務(wù)事務(wù)與事務(wù)B不相互獨立，得到D選項正確；C選項，利用條件概率公式求解即可.【詳解】由題意得，所以A錯誤；因為，，所以，即，故事務(wù)事務(wù)與事務(wù)B不相互獨立，所以B錯誤，D正確；，所以C錯誤；故選：D8.設(shè)函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.為奇函數(shù)C.在上是減函數(shù) D.方程僅有6個實數(shù)解【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)可得關(guān)于、對稱且周期為8，利用對稱性和周期性求、推斷奇偶性及在上的單調(diào)性，由與交點狀況，數(shù)形結(jié)合推斷根的個數(shù).【詳解】由題設(shè)，則關(guān)于對稱，即，，則關(guān)于對稱，即，所以，則，故，所以，即，故，所以的周期為8，，A正確；由周期性知：，故為奇函數(shù)，B正確；由題意，在與上單調(diào)性相同，而上遞增，關(guān)于對稱知：上遞增，故上遞增，所以在上是增函數(shù)，C錯誤；的根等價于與交點橫坐標(biāo)，依據(jù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得：，，所以如下圖示函數(shù)圖象：函數(shù)共有6個交點，D正確.故選：C二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.中國網(wǎng)絡(luò)文學(xué)歷經(jīng)年的發(fā)展，取得了引人注目的成就.以往反響較大的玄幻類題材影響力起先下降，謳歌祖國、謳歌人民和英雄、傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、頌揚(yáng)當(dāng)代美妙生活的優(yōu)秀作品漸漸贏得讀者的青睞﹐下圖是2013—2024年中國網(wǎng)絡(luò)文學(xué)市場規(guī)模狀況，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.這年網(wǎng)絡(luò)文學(xué)市場規(guī)模的中位數(shù)為B.2013年至2015年的同比增長相對2017年至2024年，波動性更大C.這年網(wǎng)絡(luò)文學(xué)市場規(guī)模的極差為D.這年同比增長的平均數(shù)超過【答案】ACD【解析】【分析】由條形圖、折線圖及中位數(shù)的定義干脆推斷A、B；依據(jù)極差、平均數(shù)的求法求極差和平均數(shù)推斷C、D.【詳解】由條形圖知﹐這7年網(wǎng)絡(luò)文學(xué)市場規(guī)模的中位數(shù)為，故A錯誤﹔由折線圖知：2013年至2015年的同比增長相對2017年至2024年，波動性更大，故B正確，這年網(wǎng)絡(luò)文學(xué)市場規(guī)模的極差為故C錯誤，這年同比增長的平均數(shù)為故D錯誤.故選：ACD.10.設(shè)是兩個非零向量，則下列命題中正確的有（）A.若，則存在實數(shù)使得B.若，則C.若，則在方向上的投影向量為D.若存在實數(shù)使得，則【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)平面對量的模、及線性運(yùn)算的概念即可推斷.【詳解】當(dāng)時，的方向相反且，則存在負(fù)實數(shù)，使得，故A正確D錯誤；若，則以為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，所以，故B正確；若則的方向相同．在方向上的投影向量為，故C正確．故選：ABC.11.如圖所示，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，，則下列說法正確的是（）A.的長度為B.扇形的面積為C.當(dāng)與重合時，D.當(dāng)時，四邊形面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】利用弧長公式推斷A，利用扇形面積公式推斷B，利用銳角三角函數(shù)推斷C，依據(jù)、三角形面積公式及三角恒等變換公式化簡，再依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算出面積最大值，即可推斷D.【詳解】解：依題意圓的半徑，，，，所以的長度為，故A正確；因為，所以扇形的面積，故B錯誤；當(dāng)與重合時，即，則，則，故C正確；因為，所以所以當(dāng)，即時，故D正確；故選：ACD12.已知正方體，棱長為分別是的中點，連接，記所在的平面為，則（）A.與正方體的棱有6個交點B.C.截正方體所得截面面積為D.與所成角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】利用平面的基本性質(zhì)畫出與正方體的截面，即可推斷A、C；利用線面垂直的判定證推斷B；幾何法找到線面角的平面角，即可求其正弦值，推斷D.【詳解】如下圖，設(shè)中點為，連接，因為，所以為梯形.延長交于，連接，交于，因為，所以.因為，所以.設(shè)分別是的中點，因為，所以共面，均在內(nèi).所以與正方體的棱有六個交點，A正確.因為正六邊形的邊長為，所以，C正確.因為，所以為相交直線且在內(nèi)，所以，B正確.如下圖，延長交于，因為面，所以面，同理面，因為面面，所以，即，設(shè)的中點，則為的中點，即.因為，所以為與的所成角，D錯誤.故選：ABC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.曲線的一個對稱中心為______（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，再依據(jù)正切函數(shù)的對稱中心公式求解.【詳解】，令或，則或，令，則.所以函數(shù)的一個對稱中心是.故答案為：（答案不唯一）.14.的綻開式的常數(shù)項是___________．【答案】70【解析】【分析】利用通項公式求解，常數(shù)項由三種狀況合并而成，分別求解即可.【詳解】的通項公式為；當(dāng)時，中常數(shù)項為；當(dāng)時，中的常數(shù)項為；當(dāng)時，；所以的綻開式的常數(shù)項為；故答案為：70.15.過圓上一點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________.【答案】4【解析】【分析】由切線長公式求得切線長，因此須要求得的最小值，而的最小值可由減圓半徑得到，由此可得結(jié)論．【詳解】由題意，半徑為，，，圓的半徑為，所以，所以．故答案為：4．16.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿意，且在上有成立.若實數(shù)滿意，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)已知推斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性和奇偶性可解.【詳解】記，則由可得所以為偶函數(shù)記，則因為當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，有最小值又因為在上，即所以所以在上單調(diào)遞增，由可得即所以，即，解得.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，化簡整理可求得的值，進(jìn)而求得；（2）利用三角形面積公式求得的值進(jìn)而依據(jù)余弦定理求得的值，最終聯(lián)立方程求得和．【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得：，，，，，，，.【小問2詳解】解：，，由余弦定理得：，，聯(lián)立，解得.18.全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重實行．為做好考試的評價工作，將本次成果轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成果，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成果全部介于40至100之間，將數(shù)據(jù)依據(jù)[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學(xué)生成果的中位數(shù)；（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成果在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成果在[80，90)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】（1），中位數(shù)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖中全部小矩形的面積為1，結(jié)合中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，設(shè)中位數(shù)為，解得；【小問2詳解】的三組頻率之比為0.28：0.12：0.04=7：3：1從中分別抽取7人，3人，1人，全部可能取值為0，1，2，3，，，，故的分布列為：0123故19.已知等比數(shù)列的前項和為，，且滿意.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對進(jìn)行分類探討，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式求得首項和公比，從而求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，則.，若，則不成立，所以且，所以，即，所以，解得.所以.【小問2詳解】，，，兩式相減得.所以.20.如圖，且，，且，且，平面，．（1）求平面與平面的夾角；（2）求直線到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間角的向量方法求解;(1)由線面平行可得直線上全部點到平面距離相等，再利用等體積法可求解.【小問1詳解】因為，面，故可以為坐標(biāo)原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由題可知：，，，，，，，易知面的一個法向量為，設(shè)面的法向量為，，，故得，即，不妨令y＝1，則，，所以平面與平面的夾角為．【小問2詳解】因為，面，則面，所以直線到平面的距離與點到面的距離相等，如圖，連接，由（1）可知平面，平面，所以，又因為，所以，設(shè)點到平面EBC的距離為，則，，又因為，所以，所以直線AD到平面EBC的距離為．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值即可推斷.（2）先利用導(dǎo)數(shù)得到，進(jìn)而得到，即，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)得到，而，進(jìn)而求得.【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)，∴，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即．【小問2詳解】由已知得，當(dāng)時，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，由恒成立得，即，取對數(shù)得，即，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；∴，又∵，∴，得，即，所以a的取值范圍為．22.在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）依據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)覺圓心的軌跡滿意橢圓的定義，進(jìn)而可求其方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達(dá)定理，依據(jù)點坐標(biāo)可得方程，進(jìn)而代入韋達(dá)定理即可求出坐標(biāo)，依據(jù)弦長公式可求長度，進(jìn)而得長，依據(jù)垂直，即可表示四邊形的面積，依據(jù)不等式即可求解最值.【小問1詳解】設(shè)動圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動圓與圓