江西省南昌市2025屆高三數(shù)學上學期第一次考試理試題含解析

Page17江西省南昌市2024屆高三數(shù)學上學期第一次考試（理）試題一、選擇題（每小題5分，滿分60分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，再求即可.【詳解】∵，所以.故選：B.2.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的運算法則即可得到結果【詳解】所以虛部為故選：A3.若，且，則下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于ABD，舉例推斷，對于C，利用基本不等式推斷.【詳解】對于A，若，則滿意，且，而，所以A錯誤，對于B，若，則滿意，且，而，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，而，所以取不到等號，所以，所以C正確，對于D，若，則滿意，且，而，所以D錯誤，故選：C4.若雙曲線的兩條漸近線與圓的交點等分圓周，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將雙曲線漸近線方程與圓的方程聯(lián)立可求得其在第一象限內的交點坐標，依據(jù)漸近線與圓的交點等分圓周可得漸近線斜率，由此可構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為，雙曲線的漸近線與圓的交點等分圓周，雙曲線漸近線斜率為，即，解得：.故選：C.5.2024年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構筑起抗擊疫情的堅實堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學生主動參與社區(qū)志愿者，他們被分派到測溫柔掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個組都至少須要2名中學生志愿者，則不同的安排方案種數(shù)有（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】先安排其他3名中學生，再安排小王和小張即得.詳解】先安排其他3名中學生有種方法，再安排小王和小張有種方法，由分步計數(shù)原理可得，不同的安排方案種數(shù)有.故選：C.6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（）A. B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】由為偶函數(shù)，結合為奇函數(shù)，可得以4為周期的函數(shù)，從而依據(jù)已知的解析式可求出.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，故可得，又為偶函數(shù)，故可得，則，故以4為周期，故．故選：A7.在綻開式中，下列說法錯誤的是（）A.常數(shù)項為 B.第項的系數(shù)最大C.第項的二項式系數(shù)最大 D.全部項的系數(shù)和為【答案】B【解析】【分析】由二項式定理可得綻開式通項；令即可求得常數(shù)項，知A正確；若系數(shù)最大，則需，由此可確定系數(shù)最大項，知B錯誤；由綻開式共有項可知C正確；令即可得到D正確.【詳解】綻開式的通項為：；對于A，令，解得：，常數(shù)項為，A正確；對于B，由通項公式知：若要系數(shù)最大，全部可能的取值為，則，，，，綻開式第項的系數(shù)最大，B錯誤；對于C，綻開式共有項，則第項的二項式系數(shù)最大，C正確；對于D，令，則全部項的系數(shù)和為，D正確.故選：B.8.已知是的一個零點，是的一個零點，，則（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性得僅有1個零點，且，結合函數(shù)的單調性與零點的存在性定理得，依據(jù)對數(shù)運算得，進而，再依據(jù)范圍得大小.【詳解】解：因為，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因為，所以僅有1個零點，因為，所以，因為是增函數(shù)，且，，所以，因為，，所以，所以.故選：A．9.在正方體中，分別為，的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題，建立空間直角坐標系，利用向量法推斷垂直即可【詳解】由題，建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則有，，∴，∴，故選：A10.已知函數(shù)，微小值點為，若且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對進行求導得微小值點，接著通過得，則，利用導數(shù)求其最小值即可【詳解】解：由可得，令解得或0，因為，所以當或時，遞增，當時，遞減，故微小值點為，由可得=整理得因為解得，則，設，，令解得，當遞減；當遞增，故的微小值，也為最小值為，故選：B11.在平面直角坐標系中，為坐標原點，為平面上兩點，且，為線段中點，其坐標為，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得以為直徑的圓過點，由點到直線的距離公式可得圓與直線相切，進而可得圓的直徑的最小值，即得.【詳解】由題意，以為直徑的圓過點，由，可得，則圓的半徑與點到直線距離相等，所以圓與直線相切，則圓的直徑的最小值為點到直線的距離，所以.故選：B.12.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，問題轉化為，構造函數(shù)，通過導數(shù)，對的單調性進行探討，進而可以得到，進而可求答案.【詳解】令，則，問題轉化為恒成立.令，則，因為，所以.令，則，所以在上單調遞增，又，，所以存在，使得，即，所以當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以，，所以，所以，解得故選：C二、填空題（每小題5分，滿分20分）13.已知向量，，則=_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式和向量模的坐標運算公式進行計算即可.【詳解】由題意得，.故答案為：.14.如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_____．【答案】【解析】【分析】互為反函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以兩個陰影部分也關于直線對稱.利用面積分割和定積分求出上部分陰影面積，再乘以2得到整個陰影面積.【詳解】如圖所示，連接，易得，，.【點睛】考查敏捷運用函數(shù)圖象的對稱性和定積分求解幾何概型，對邏輯思維實力要求較高.本題在求陰影部分面積時，只能先求上方部分，下方部分中學階段無法干脆求.15.已知正四棱錐底邊邊長為，，分別在上，且，則平面截四棱錐的外接球的截面面積是______．【答案】【解析】【分析】平面截四棱錐外接球的截面為圓，先求出外接球半徑R，的邊上的高，再求出外接球球心到平面的距離為，則可通過求出圓半徑，即可求截面面積【詳解】由題，正四棱錐中，為正方形中心，則平面，，，，外接球球心在PO上，外接球半徑，由即，可解得，∵，∴，又AB中點為G，則，，∴，則的邊上的高，，設外接球球心到平面的距離為，則有，∴，平面截四棱錐的外接球的截面為圓，則其半徑，則截面面積為，故答案為：

16.已知，若方程恰有4個不同的實數(shù)解，，，，且，則___________.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合方法判定易知，，關于直線對稱，結合可知，進而求得.【詳解】如圖，易知，，關于直線對稱，所以，又且，所以，所以，所以，從而.故答案為：三、解答題17.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求；（2）解不等式【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合偶函數(shù)性質以及對數(shù)運算法則即可解出；（2）結合對數(shù)運算法則，將原函數(shù)化成對數(shù)形式，則不等式等價為，求解即可【小問1詳解】是偶函數(shù)，，即對隨意恒成立，，．【小問2詳解】∵，則不等式等價于，由解得；由得，得，即，綜上，不等式的解為18.如圖，四邊形中，，且，沿著翻折，當三棱錐體積最大值時．（1）求此時三棱錐的體積；（2）求此時直線與平面夾角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知當平面平面時，體積最大，取中點，依據(jù)已知可知為高，為底面，依據(jù)數(shù)量關系可求得；（2）由題意以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的方向向量，代入公式即可求得.【小問1詳解】解：沿折疊，當平面平面時，體積最大，由平面平面，平面平面，取中點，，，，，且平面，，且，，且平面，，；【小問2詳解】沿BD折疊，取中點，由（1）得到，平面平面，，且，以為原點，以分別為軸，如圖建立空間直角坐標系，設平面的法向量為，，，，令，，又設直線與平面夾角為，，所以直線與平面夾角的正弦值為.19.某商場為吸引顧客，增加顧客流量，確定開展一項有獎嬉戲．參與一次嬉戲的規(guī)則如下：連續(xù)拋質地勻稱的硬幣三次（每次拋硬幣結果相互獨立），若正面朝上多于反面朝上的次數(shù)，則得分，否則得分．一位顧客可最多連續(xù)參與次嬉戲．（1）求顧客甲在一次嬉戲中正面朝上次數(shù)的分布列與期望；（2）若連續(xù)參與嬉戲獲得的分數(shù)總和不小于分，即可獲得一份大獎．顧客乙打算連續(xù)參與次嬉戲，則他獲得這份大獎的概率多大？【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學期望為（2）【解析】【分析】（1）依題意，依據(jù)二項分布的概率公式求出所對應的概率即可求出分布列，再由二項分布的期望公式求出數(shù)學期望；（2）設次嬉戲中，得分的次數(shù)為，即可求出的取值范圍，再依據(jù)，利用二項分布的概率公式計算可得.【小問1詳解】解：由題意得三次拋硬幣正面朝上的次數(shù)，則，，，，所以分布列為0123則甲在一次嬉戲中硬幣正面朝上次數(shù)的期望【小問2詳解】解：由（1）知，在一次嬉戲中，顧客乙得3分和得1分的概率均為設次嬉戲中，得分的次數(shù)為，則，即，易知，故.20.設拋物線的焦點為F，過F的直線交C于M，N兩點，．（1）求C的方程；（2）設點，直線與C的另一個交點分別為A，B，當直線的斜率存在時，分別記為．則是否為常數(shù)，請說明理由．【答案】（1）；（2）是常數(shù)，理由見解析.【解析】【分析】（1）設直線，，求出，得當與x軸垂直時弦長最短，即得解；（2）設，直線，求出，，，，得，即得解.【小問1詳解】解：設直線，，由可得，，所以，所以當，即與x軸垂直時弦長最短，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】解：設，直線由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以，所以．21.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）用導數(shù)法求單調區(qū)間即可；（2）等價于，依據(jù)不等式的特征，結合導數(shù)法分別探討、、時的恒成立問題即可【小問1詳解】當時，，定義域為，，當；當.故單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為【小問2詳解】等價于，令，，則，i.當時，對于不等式，∵，故不等式恒成立；ii.當時，，故，不等式恒成立；單調遞減；單調遞增，要使不等式成立，只需，解得，iii.當時，，，故，不等式恒成立；，單調遞減；，單調遞增，要使不等式成立，只需即，解得，綜上，【點睛】本題考查含參不等式恒成立問題，解題關鍵是分別常量，構造函數(shù)探討.本題中等價于，恒成立，故關鍵是對式子的分析，可看作二次函數(shù)，則通過作為依據(jù)對a分類探討，最終結合導數(shù)法探討各分類的恒成立狀況即可.四、選做題22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）寫出一般方程；（2）點為曲線上隨意一點，求點到曲線距離的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將參數(shù)方程中的參數(shù)消掉，并確定，即可得到一般方程；（2）將參數(shù)方程化為一般方程，可知為斜率為的直線，利用導數(shù)幾何意義可求得曲線的斜率為的切線方程，則兩條切線之間距離即為所求的距離的最小值.【小問1詳解】由得：，又，曲線的一般方程為：