安徽省蕪湖市2021年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/25安徽省蕪湖市2021年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本題共10小題，每小題4分，共40分。1．下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A、＝3，故不是最簡二次根式，故A選項錯誤；B、是最簡二次根式，符合題意，故B選項正確；C、＝2，故不是最簡二次根式，故C選項錯誤；D、＝，故不是最簡二次根式，故D選項錯誤；故選：B．【點評】本題考查了對最簡二次根式的定義的理解，能理解最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．2．下列各式計算正確的是（）A．6﹣2＝4 B．5+5＝10 C．4÷2＝2 D．4×2＝8【分析】直接利用二次根式的加減、乘除運算法則分別判斷得出答案．【解答】解：A．6﹣2＝4，故此選項不合題意；B．5+5無法合并，故此選項不合題意；C．4÷2＝2，故此選項不合題意；D．4×2＝8，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷．【解答】解：A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定；B、無法判定，四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形；C、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定；D、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定；故選：B．【點評】本題考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法，屬于中考常考題型．4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：6【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進行判斷即可．【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故選：D．【點評】本題考查了直角三角形的判定，注意在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．5．如圖，有兩棵樹分別用線段AB和CD表示，樹高AB＝15米，CD＝7米，兩樹間的距離BD＝6米，一只鳥從一棵樹的樹梢（點A）飛到另一棵樹的樹梢（點C），則這只鳥飛行的最短距離AC＝（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝15m，小樹高為CD＝7m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故小鳥至少飛行10m．故選：C．【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．6．當有意義時，a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)≠2 D．a(chǎn)≠﹣2【分析】本題主要考查代數(shù)式中字母的取值范圍，代數(shù)式中主要有二次根式和分式兩部分．【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)a﹣2≥0，解得a≥2；根據(jù)分式有意義的條件，a﹣2≠0，解得a≠2．∴a＞2．故選：B．【點評】函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負數(shù)．7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長為（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【分析】本題應(yīng)分兩種情況進行討論：（1）當△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出；（2）當△ABC為鈍角三角形時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相減即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出．【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：（1）當△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周長為：15+13+14＝42；（2）當△ABC為鈍角三角形時，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周長為：15+13+4＝32∴當△ABC為銳角三角形時，△ABC的周長為42；當△ABC為鈍角三角形時，△ABC的周長為32．故選：C．【點評】此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識，在解本題時應(yīng)分兩種情況進行討論，易錯點在于漏解，同學(xué)們思考問題一定要全面，有一定難度．8．如圖，△ABC和△DCE都是邊長為3的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，則BD長（）A． B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)∠BDE＝90°，再進一步根據(jù)勾股定理進行求解．【解答】解：∵△ABC和△DCE都是邊長為3的等邊三角形，∴∠DCE＝∠CDE＝60°，BC＝CD＝3．∴∠BDC＝∠CBD＝30°．∴∠BDE＝90°．∴BD＝．故選：C．【點評】此題綜合運用了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)和勾股定理．9．如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BF＝4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】連接EC，過A作AM∥BC交FE的延長線于M，求出平行四邊形ACFM，根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出△BDE的面積和△CDE的面積相等，△ADE的面積和△AME的面積相等，推出陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，求出CF×hCF的值即可．【解答】解：連接EC，過A作AM∥BC交FE的延長線于M，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四邊形ACFM是平行四邊形，∵△BDE邊DE上的高和△CDE的邊DE上的高相同，∴△BDE的面積和△CDE的面積相等，同理△ADE的面積和△AME的面積相等，即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，是×CF×hCF，∵△ABC的面積是24，BC＝3CF∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，∴CF×hCF＝16，∴陰影部分的面積是×16＝8，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和轉(zhuǎn)化能力，題目比較好，但是有一定的難度．10．如圖，順次連接邊長為1的正方形ABCD四邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，然后順次連接四邊形A1B1C1D1四邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點，得到四邊形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四邊形A8B8C8D8的周長為（）A． B．C． D．【分析】根據(jù)題意，利用中位線定理可證明順次連接正方形ABCD四邊中點得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，根據(jù)面積關(guān)系可得周長關(guān)系，以此類推可得正方形A8B8C8D8的周長．【解答】解：順次連接正方形ABCD四邊的中點得正方形A1B1C1D1，則得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，即，則周長是正方形ABCD的；順次連接正方形A1B1C1D1中點得正方形A2B2C2D2，則正方形A2B2C2D2的面積為正方形A1B1C1D1面積的一半，即正方形ABCD的，則周長是正方形ABCD的；順次連接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，則正方形A3B3C3D3的面積為正方形A2B2C2D2面積的一半，即正方形ABCD的，則周長是正方形ABCD的；順次連接正方形A3B3C3D3中點得正方形A4B4C4D4，則正方形A4B4C4D4的面積為正方形A3B3C3D3面積的一半，即正方形ABCD的，則周長是正方形ABCD的；故第n個正方形周長是原來的，以此類推：正方形A8B8C8D8周長是原來的，∵正方形ABCD的邊長為1，周長為4，∴按此方法得到的四邊形A8B8C8D8的周長為，故選：C．二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。11．（5分）﹣＝．【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案為：2．【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般．12．（5分）命題“對頂角相等”的逆命題是相等的角為對頂角．【分析】交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到其逆命題．【解答】解：命題“對頂角相等”的逆命題是“相等的角為對頂角”．故答案為：相等的角為對頂角．【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．也考查了逆命題．13．（5分）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點E，且AE＝4，則AB的長為4．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD∥CD，然后根據(jù)角平分線定義證明DE＝DC，進而可以解決問題．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AD∥CD，∴∠DEC＝∠BCE，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝2DE，∵AD＝AE+DE，∴DE＝AE＝4，∴AB＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．14．（5分）已知：點B是線段AC上一點，分別以AB，BC為邊在AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，點M，N分別是AD，CE的中點，連接MN．若AC＝6，設(shè)BC＝2，則線段MN的長是．【分析】連接DC和AE，取AC的中點P，連接PM、PN，過P作PQ⊥MN于點Q，過點D作DH⊥AB于點H，證明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位線的性質(zhì)證明PM＝PN，由勾股定理都覺得CD的長度，便可得PM與PN的長度，根據(jù)中位線的性質(zhì)把∠MPA+∠NPC轉(zhuǎn)化成∠MCA+∠MAC，根據(jù)∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度數(shù)即可，再解直角三角形求得NQ，便可得MN的長度．【解答】解：連接DC和AE，取AC的中點P，連接PM、PN，過P作PQ⊥MN于點Q，過點D作DH⊥AB于點H，∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∠AEB＝∠DCB，∵P為AC中點，N為EC中點，∴PN＝AE．同理可得PM＝DC．∴PM＝PN．∵AC＝6，BC＝2，∴AB＝4，∵△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝4，∴DH＝BD?sin60°＝2，BH＝，∴，∴PM＝PN＝，∵P為AC中點，N為EC中點，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DCA＝∠AEB，∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠AEB＝∠CBE＝60°．∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°，∴∠NPQ＝∠MPQ＝60°，∴MQ＝NQ＝PN?sin60°＝，∴．解法二：如圖，過點M作MH⊥AB于H，過點N作NG⊥BC于G，過點N作NK⊥MH于K．想辦法求出MK，NK，路勾股定理求解．故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15．（8分）計算：×﹣÷+（π﹣2021）0．【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，再合并得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．16．（8分）已知：a＝，b＝．求值：（1）ab；（2）a2﹣3ab+b2；【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案．【解答】解：（1）ab＝（+）（﹣）＝5﹣3＝2．（2）a﹣b＝+﹣+＝2，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝12﹣2＝10．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17．（8分）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝1，AD＝5，且∠C＝90°，求四邊形ABCD的面積．【分析】連接BD，根據(jù)已知條件運用勾股定理可求BD，再運用勾股定理逆定理可證△ABD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將兩直角三角形的面積求出來，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．【解答】解：連接BD，∵∠C＝90°，∴△BCD為直角三角形，∵BD2＝BC2+CD2＝22+12＝（）2，∵BD＞0，∴BD＝，在△ABD中，∵AB2+BD2＝20+5＝25，AD2＝52＝25，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD為直角三角形，且∠ABD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×2×+×2×1＝6．故四邊形ABCD的面積是6．【點評】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，通過作輔助線可將一般的四邊形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，使面積的求解過程變得簡單．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，且與對角線AC分別相交于點E、F．求證：AE＝CF．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DCF，根據(jù)角平分線定義得出∠ABE＝∠CDF，那么利用AAS證明△ABE≌△CDF，推出AE＝CF．【解答】證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，所以∠BAC＝∠DCF，又因為BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，所以∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，所以∠ABE＝∠CDF，所以△ABE≌△CDF（ASA），所以AE＝CF．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵尋找兩條線段所在的三角形，然后證明兩三角形全等．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19．（10分）在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．以格點為頂點．（1）在圖1中畫一個邊長分別為、2、的三角形；（2）在圖2中畫出一個兩邊長都為，面積都為2的三角形．【分析】（1）利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理即可在圖1中畫一個邊長分別為、2、的三角形；（2）利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可在圖2中畫出一個兩邊長都為，面積都為2的三角形．【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求；（2）如圖，△DEF，△MNQ即為所求．20．（10分）圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若圖①中大正方形的面積為61，小正方形的面積為1，求（m+n）2；（2）若將圖①中的四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風車”，求這個風車的外圍周長（圖中實線部分）．【分析】（1）由題意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，推出2mn＝60，可得（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121．（2）由（1）可知，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）由題意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，∴2mn＝60，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；（2）由（1）可知，∴，∴AC＝5，BC＝6，∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，∴AD＝＝＝13，∴這個風車的外圍周長＝4（13+6）＝76．六、（本題滿分12分）21．（12分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．（1）求證：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：四邊形ACED是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB＝CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DF＝CF，再根據(jù)平行四邊形的判定得出即可．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∴BE＝CD；（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴DF＝CF，又∵AF＝EF，∴四邊形ACED是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．七、（本題滿分12分）22．（12分）觀察下列各式：請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：（1）第4個算式為：；（2）求的值；（3）請直接寫出的結(jié)果．【分析】根據(jù)題目的規(guī)律進行計算即可．不難發(fā)現(xiàn)由根號形式轉(zhuǎn)化為積的形式．因此（1）可以猜想到接下來的第4個算式為：，（2）題中可以根據(jù)題目進行每一項的轉(zhuǎn)化．從而計算出結(jié)果；（3）第（2）題進一步擴展到n項即可．詳見解答過程．【解答】解：（1）依題意：接下來的第4個算式為：故答案為（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝八、（本題滿分14分）23．（14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝6