《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第5章

5.1正弦穩(wěn)態(tài)電路概述5.2正弦電量與相量5.3相量形式的兩類電路約束條件5.4相量法5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.6耦合電感和理想變壓器5.7應(yīng)用習(xí)題五

前四章，我們以直流電路為背景，討論了幾種基本的電路分析方法和線性電路定理。在實(shí)際應(yīng)用中，直流通路的作用是為電路建立所需要的工作狀態(tài)。除了直流電路分析外，正弦穩(wěn)態(tài)電路分析也是不可缺的基礎(chǔ)內(nèi)容，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中具有舉足輕重的地位。在電路理論中，把按正弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化的電壓、電流統(tǒng)稱為正弦信號。5.1正弦穩(wěn)態(tài)電路概述

所謂正弦穩(wěn)態(tài)電路是指：在正弦信號作用下，響應(yīng)也是同頻率正弦信號的電路。人們對正弦穩(wěn)態(tài)電路分析感興趣有兩個(gè)重要原因：一、正弦信號容易產(chǎn)生，并能低損耗長距離傳輸，所以，在儀器儀表、電力、通信、廣播等系統(tǒng)中廣泛用作信號或能量的載體。二、在理論上，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法能推廣到分析任意信號作用下的線性電路響應(yīng)(將在后面章節(jié)里學(xué)習(xí))。用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路是本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，相量法的分析思路如圖5.1-1所示。在給定時(shí)域電路和正弦信號的條件下，先進(jìn)行相量變換，把正弦電壓、電流變換為相量，把時(shí)域電路變換為相量電路；然后，在相量域里，列方程，解方程，求出我們感興趣電量的相量解；最后，再通過相量反變換，把相量電壓或電流轉(zhuǎn)換成時(shí)域里的正弦電壓或電流。圖5.1-1相量法的示意圖相量法是一種變換域的分析方法。1893年，德裔奧地利數(shù)學(xué)家及電氣工程教授查爾斯·斯坦麥茨首次提出了相量的概念，用相量表示正弦函數(shù)的振幅和初相。通過時(shí)域到相量域的變換，把一個(gè)原本要用微積分分析的電路問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算分析的電路問題，從而簡化了電路分析的難度，使交流電路的分析發(fā)生了根本性的變化。本章內(nèi)容按相量分析法的思路編排：從了解正弦函數(shù)和相量的相關(guān)概念開始，學(xué)習(xí)如何進(jìn)行正弦函數(shù)與相量之間的變換與反變換；然后介紹相量電路必須遵循的兩類約束條件，即相量形式的基爾霍夫定律和元件的伏安關(guān)系；隨后學(xué)習(xí)用相量法求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的步驟和分析方法。在這個(gè)過程中，將介紹電感、電容、耦合電感等元件的伏安關(guān)系和分析方法。5.2正弦電量與相量

5.2.1正弦電量

1.正弦電量的三要素正弦電量指：按正弦函數(shù)規(guī)律變化的電壓或電流。數(shù)學(xué)表達(dá)式為f(t)=Fmcos(ωt+φ)(5.2-1)式中f(t)代表電壓或者電流。當(dāng)f(t)=u(t)時(shí)，為正弦電壓；當(dāng)f(t)=i(t)時(shí)，為正弦電流。f(t)的大小和方向隨時(shí)間變化，在設(shè)定了參考方向后，若f(t1)>0，表示在t1時(shí)刻，f(t1)的真實(shí)方向與參考方向一致，否則，相反。式中三個(gè)參數(shù)Fm、ω和φ一旦確定，f(t)就能唯一地確定，因此，這三個(gè)參數(shù)被稱為正弦函數(shù)的三要素。Fm被稱為振幅，是正弦電量能達(dá)到的最大值。ωt+φ

被稱為相位角，簡稱相位，單位取弧度(rad)；φ是在t=0時(shí)刻的相位，被稱為初始相位，簡稱初相。規(guī)定初相的取值范圍在|φ|≤π。當(dāng)初相φ落在Ⅰ、Ⅱ象限時(shí)，取正角，見示意圖5.2-1；當(dāng)φ落在Ⅲ、Ⅳ象限時(shí)，取負(fù)角，從而確保初相取值的唯一性；僅當(dāng)初相落在負(fù)實(shí)軸上時(shí)，φ的取值才有二值性，取π或-π值都可以。初相與波形的關(guān)系見圖5.2-2。當(dāng)φ=0時(shí)，見圖(a)，正峰值正好在時(shí)間的起點(diǎn)；當(dāng)φ>0時(shí)，見圖(b)，離t=0最近的正峰值出現(xiàn)在負(fù)時(shí)間軸t1=-φ/ω<0處；當(dāng)φ<0時(shí)，見圖(c)，離t=0最近的正峰值出現(xiàn)在正時(shí)間軸t1=-φ/ω>0處?？梢?，初相決定了離起點(diǎn)最近的正峰值出現(xiàn)的位置。圖5.2-1二維坐標(biāo)圖5.2-2初相φ與波形的關(guān)系（a）φ=0;（b）φ>0;（c）φ<0角頻率表示相位隨時(shí)間變化的速度，單位用弧度/秒(rad/s)。它與周期T(單位用秒(s))和頻率f(單位用赫茲(Hz))的關(guān)系是(5.2-2)在電力系統(tǒng)中，正弦波通常作為傳輸能量的載體，我國提供的正弦交流電頻率為50Hz，對應(yīng)的角頻率為314rad/s，周期為0.02。在通信與廣播系統(tǒng)中，用正弦波作為傳遞信息的載體，一般使用頻率較高。常用的頻率單位有千赫(kHz)、兆赫(MHz)和吉赫(GHz)，它們之間的換算關(guān)系為1kHz=103Hz1MHz=106Hz1GHz=109Hz例5.2-1正弦電流的波形如圖5.2-3所示。

(1)試求波形的振幅Im、角頻率ω和初相φ。

(2)寫出電流波形的表達(dá)式。圖5.2-3例5.2-1電路解：（1）由波形可知，電流的振幅

Im=10A電流的周期

T=22.5-2.5=20ms

電流的角頻率電流的初相(2)電流的表達(dá)式為

2.正弦電量的相位差

顧名思義，兩個(gè)正弦電量的相位之差為相位差。在進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)電路分析時(shí)，常利用同頻率正弦電量之間的相位差來輔助分析。設(shè)兩個(gè)同頻率正弦電量分別為f1(t)=F1mcos(ωt+φ1)f2(t)=F2mcos(ωt+φ2)若用f1(t)的相位減去f2(t)的相位，相位差用θ12

表示，則θ12=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2(5.2-3)可見，在任意時(shí)刻，兩個(gè)同頻率正弦電量的相位差等于它們的初相之差，是與時(shí)間無關(guān)的常量。為使相位差的取值具有唯一性，規(guī)定取值范圍在|θ|≤π。相位差有以下幾種可能的情況：

(1)θ12=φ1-φ2>0，稱f1(t)超前f2(t)一個(gè)θ12角度；或者說，f2(t)滯后f1(t)一個(gè)θ12角度。從波形圖5.2-4(a)上看，在時(shí)間上，f1(t)的正峰值比f2(t)的正峰值早出現(xiàn)。

(2)θ12<0，稱f2(t)超前f1(t)一個(gè)θ12角度；或者說，f1(t)滯后f2(t)一個(gè)θ12角度。從波形圖5.2-4(b)上看，在時(shí)間上，f2(t)的正峰值比f1(t)的正峰值早出現(xiàn)。

(3)θ12=0，稱f1(t)與f2(t)同相，見圖5.2-4(c)；f1(t)與f2(t)同時(shí)達(dá)到最大值或最小值。

(4)θ12=±π，稱f1(t)與f2(t)反相，見圖5.2-4(d)；當(dāng)f1(t)到達(dá)正(負(fù))峰值時(shí)，f2(t)到達(dá)負(fù)(正)峰值。

(5)θ12=±π/2，稱f1(t)與f2(t)正交，見圖5.2-4(e)；當(dāng)f1(t)到達(dá)峰值時(shí)，f2(t)為零值；而當(dāng)f1(t)為零值時(shí)，f2(t)到達(dá)峰值。圖5.2-4相位差的幾種情況(a)θ12>0;(b)θ12<0;(c)θ12=0;(d)θ12=±π;(e)θ12=±π/2

例5.2-2設(shè)兩個(gè)同頻率正弦電壓分別為u1(t)=10cos(ωt+60°)V，u2(t)=-2sin(ωt+60°)V，求它們的相位差。

解：首先要把兩個(gè)電壓統(tǒng)一用正余弦函數(shù)表示，電壓u2(t)另寫為u2(t)=-2cos(ωt-90°+60°)=2cos(ωt+180°-30°)V兩個(gè)電壓的相位差為θ12=60°-150°=-90°，或者是θ21=150°-60°=90°，說明u2(t)與u1(t)正交。

3.正弦電量的有效值有效值是衡量周期函數(shù)大小的物理量，也被稱為方均根值，定義為(5.2-4)我們從能量的角度來認(rèn)識和理解這個(gè)定義式。令f(t)=i(t)，是一個(gè)按周期規(guī)律變化的、流過電阻R的電流，該電阻R在一個(gè)周期里消耗的交流能量為如果讓一個(gè)大小為I的直流電流也流過電阻R，在一個(gè)周期T里，電阻R消耗的直流能量為W=RI2T

若，從能量上看，周期電流i(t)的大小與直流電流I是等效的，因而，我們就用I來表示周期電流i(t)的大小，可推出

抽去i(t)的物理背景，就是周期函數(shù)有效值的定義式(5.2-4)。正弦函數(shù)是周期函數(shù)的一個(gè)特例，當(dāng)f(t)=Fmcos(ωt+φ)時(shí)，代入式(5.2-4)，有上式積分的第一項(xiàng)是常數(shù)，積分結(jié)果為，第二項(xiàng)積分為零，得正弦函數(shù)的有效值正弦波形的有效值與振幅之間相差一個(gè)常數(shù)。引入有效值后，正弦波又可寫為用交流表測出的電壓或電流、220V的生活用電壓、380V的工業(yè)用電壓,以及在電氣設(shè)備的銘牌上標(biāo)注的額定值都是指有效值。但器件和電氣設(shè)備的耐壓值通常是指最大值。5.2.2復(fù)數(shù)

為了便于后面的學(xué)習(xí)，本小節(jié)將補(bǔ)充復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則等相關(guān)知識。

1.復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的表示方法

復(fù)數(shù)有復(fù)常數(shù)與復(fù)變函數(shù)之分。如果復(fù)數(shù)值不隨時(shí)間變化，則是復(fù)常數(shù)，記作A；如果復(fù)數(shù)值隨時(shí)間變化，則稱為復(fù)變函數(shù)，記為A(t)。復(fù)數(shù)可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表示，其中數(shù)學(xué)表達(dá)式又有直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)兩種不同的形式。

1)復(fù)數(shù)A的直角坐標(biāo)表達(dá)式

A=a1+ja2式中j為虛數(shù)單位，定義，或者j2=-1；a1、a2都是實(shí)常數(shù)；a1稱為復(fù)數(shù)A的實(shí)部，與A的關(guān)系為a1=Re[A]=Re[a1+ja2]，Re為取實(shí)部“算子”；a2稱為復(fù)數(shù)A的虛部，與A的關(guān)系為a2=Im[A]=Im[a1+ja2]，Im為取虛部“算子”。

2)復(fù)數(shù)A的極坐標(biāo)表達(dá)式其中|A|為復(fù)數(shù)的模；

j為復(fù)數(shù)的輻角。

3)復(fù)數(shù)A用有向線段表示圖5.2-5為復(fù)平面，其橫軸為“實(shí)軸”，縱軸為“虛軸”；在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)A用一條由原點(diǎn)指向A點(diǎn)的有向線段表示，該有向線段的長度取復(fù)數(shù)的模值|A|；模值|A|在實(shí)軸上的投影等于復(fù)數(shù)的實(shí)部a1，模值|A|在虛軸上的投影等于復(fù)數(shù)的虛部a2。換句話說，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是復(fù)數(shù)的實(shí)部，縱坐標(biāo)是復(fù)數(shù)的虛部。有向線段與實(shí)軸的夾角取A的幅角j；規(guī)定輻角的取值范圍在：-180°≤j≤180°圖5.2-5復(fù)平面

4)直角坐標(biāo)參數(shù)與極坐標(biāo)參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系在做復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，時(shí)常需要在直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。由圖5.2-5可見，參數(shù)之間呈直角三角形關(guān)系。

(1)已知直角坐標(biāo)參數(shù)a1、a2，求極坐標(biāo)參數(shù)|A|、j：根據(jù)a1、a2的“±”號取值不同，輻角有以下4種計(jì)算情況：若a1>0，a2>0，輻角j在第一象限，取若a1<0，a2>0，輻角j在第二象限，取若a1<0，a2<0，輻角j在第三象限，取若a1>0，a2<0，輻角j在第四象限，取

(2)已知極坐標(biāo)參數(shù)|A|、j，求直角坐標(biāo)參數(shù)a1、a2：例5.2-3把下列復(fù)數(shù)用直角坐標(biāo)形式表示(1)；(2)；(3)；(4)；(5)

解：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

例5.2-4把下列復(fù)數(shù)用極坐標(biāo)形式表示，并在復(fù)平面上畫出對應(yīng)的有向線段。(1)A1=3+j4；(2)A2=

3+j3；(3)A3=5；(4)A4=

j5。

解：(1)(2)(3)(4)各復(fù)數(shù)的線段表示見圖5.2-6。圖5.2-6例5.2-4請熟悉以下四種特殊情況：

2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算包括加、減、乘、除。設(shè)：復(fù)數(shù)

1)加、減運(yùn)算

A+B=(a1+ja2)+(b1+jb2)=(a1+b1)+j(a2+b2)A

B=(a1+ja2)

(b1+jb2)=(a1

b1)+j(a2

b2)運(yùn)算規(guī)則：實(shí)部與實(shí)部相加、減，虛部與虛部相加、減。加、減運(yùn)算用直角坐標(biāo)形式方便，如果復(fù)數(shù)以極坐標(biāo)形式給出，要先轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)形式,再進(jìn)行加、減運(yùn)算。在復(fù)平面上進(jìn)行加、減運(yùn)算見示意圖5.2-7。復(fù)數(shù)A、B如圖5.2-7(a)所示。做A+B運(yùn)算的方法見圖5.2-7(b)：A不動，平移B，B的起點(diǎn)平移至A的終點(diǎn)，則從A的起點(diǎn)指向B的終點(diǎn)的有向線段為A+B。A-B=A+(-B)，把減B運(yùn)算視為加(-B)的加法運(yùn)算。如何根據(jù)已知的B畫出(-B)線段呢？B與(-B)模相等，輻角相差180°，因此，把B旋轉(zhuǎn)180°便是(-B)，見圖5.2-7(c)。然后，再按加法運(yùn)算的作圖法畫出A+(-B)。圖5.2-7復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算

(a)復(fù)數(shù)A、B圖示；(b)A+B的圖示；(c)A-B的圖示

2)乘運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：模相乘，輻角相加。也可按以下步驟運(yùn)算：AB=(a1+ja2)(b1+jb2)=a1b1+ja2b1+ja1b2+j2

a2

b2

=(a1b1

a2

b2)+j(a2b1+a1b2)可見，乘運(yùn)算用極坐標(biāo)形式比用直角坐標(biāo)形式簡便。若復(fù)數(shù)以直角坐標(biāo)形式給出，通常是先轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式，再進(jìn)行乘運(yùn)算。

3)除運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：模相除，輻角相減。也可按以下步驟運(yùn)算：同樣，除運(yùn)算用極坐標(biāo)形式比用直角坐標(biāo)形式簡便。例5.2-5已知，，求：A+B，A

B，AB，A/B。解：

5.2.3相量

相量是用于表示正弦函數(shù)的振幅與初相的復(fù)數(shù)，相量有振幅相量與有效值相量之分。以下只介紹有效值相量，并簡稱為相量。假設(shè)正弦電量為。有效值相量的定義(5.2-7)從“數(shù)”的角度看，相量就是一個(gè)復(fù)常數(shù)，但與復(fù)常數(shù)不同的是，相量與正弦函數(shù)之間建立了對應(yīng)關(guān)系。相量的模取正弦函數(shù)的有效值F，相量的角度取正弦函數(shù)的初相φ，而復(fù)常數(shù)沒有這層聯(lián)系。為了與復(fù)常數(shù)加以區(qū)別，稱其為相量，并在大寫符號上方加“·”表示。相量能沿用復(fù)數(shù)的表示方法、運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)定理。相量用有向線段表示的圖形被稱為相量圖，見圖5.2-8。已知正弦函數(shù)，找其對應(yīng)的相量，是把時(shí)間函數(shù)變換為復(fù)常數(shù)，這個(gè)過程被稱為相量變換；反過來，已知相量，找其對應(yīng)的正弦函數(shù)，是把復(fù)常數(shù)變換為時(shí)間函數(shù)，這叫做相量反變換。相量與正弦函數(shù)有如下的對應(yīng)關(guān)系：

例5.2-6已知i1(t)=2cos(10t+45°)A，i2(t)=2sin(5t+45°)A，請寫出這兩個(gè)正弦電流對應(yīng)的相量。解：根據(jù)已知的正弦電流和相量的定義，正弦電流i1(t)的相量為把正弦電流i2(t)的時(shí)域表達(dá)式用cos函數(shù)表示為正弦電流i2(t)對應(yīng)的相量為請考慮：i(t)=2cos(20t+45°)A對應(yīng)的有效值相量是什么？你從中能領(lǐng)悟到什么？由相量的定義可知：初相與振幅相同，頻率不同的正弦函數(shù)有相同的相量。所以，相量與正弦函數(shù)不是一對一的關(guān)系，是一對多。如果已知相量，要寫出唯一的正弦函數(shù)，必須給出頻率。例5.2-7已知，，正弦電壓的頻率f=106Hz，請寫出相量對應(yīng)的正弦電壓。解：正弦函數(shù)的振幅與初相從相量的極坐標(biāo)形式中一目了然，對應(yīng)的正弦電壓為相量電壓以直角坐標(biāo)形式給出，要先進(jìn)行直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換，有則強(qiáng)調(diào)：正弦函數(shù)與相量是不相等的，不能用“=”號連接，即。5.3.1相量形式的基爾霍夫定律

相量形式的基爾霍夫定律和元件伏安關(guān)系是列寫相量電路方程的基本依據(jù)，是學(xué)習(xí)相量法必不可少內(nèi)容。5.3.1相量形式的基爾霍夫定律

1.相量形式的KCL定律的敘述：在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，與任一節(jié)點(diǎn)或封閉面相連的支路電流相量的代數(shù)和為零。數(shù)學(xué)表述為(5.3-1)式(5.3-1)中代表接入某節(jié)點(diǎn)或封閉面上的第k條支路電流相量。如果流進(jìn)節(jié)點(diǎn)或封閉面的電流相量取正，那么，流出的電流相量就要取負(fù)；反之也成立。特別強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)(1)使用式(5.3-1)有條件，電路中各支路電流必須是同頻率正弦函數(shù)。(2)如果丟掉了電流上的“·”，等式便不成立，即∑Ik≠0，正弦電流有效值的代數(shù)和不等于0。

例5.3-1圖5.3-1(a)所示某電路的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，電路處于正弦穩(wěn)定狀態(tài)，在圖示參考方向下，i1(t)=200cos(314t+45°)A，i2(t)=200cos(314t+135°)A，i3(t)=100cos(314t+45°)A，求電流i4(t)。圖5.3-1例5.3-1電路(a)時(shí)域電路；(b)相量電路分析：由題意知，各支路電流為同頻率正弦函數(shù)，電路處于正弦穩(wěn)定狀態(tài)，符合使用相量形式KCL的條件；求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)i4(t)的關(guān)鍵是找其振幅和初相，用相量法來完成這項(xiàng)工作最簡單。請注意以下相量法的解題步驟。解：第一步，相量變換。相量變換的內(nèi)容：(1)把已知的正弦電流轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的相量電流。(2)把已知的時(shí)域電路轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的相量電路。所謂時(shí)域電路是指：電路中的元件參數(shù)、電量都是時(shí)間的函數(shù)；前四章，我們都在討論時(shí)域電路，由于分析對象是線性時(shí)不變直流電路，所以，電路模型中的電量和元件參數(shù)是不隨時(shí)間變化的常數(shù)。各正弦電流對應(yīng)的相量分別為做圖5.3-1(b)所示相量電路。與時(shí)域電路相比，電路結(jié)構(gòu)不變，僅把時(shí)域電量轉(zhuǎn)換為相量。第二步，求。列圖5.3-1(b)的節(jié)點(diǎn)電流方程。流進(jìn)取“+”，流出取“-”，有得第三步，相量反變換。

2.相量形式的KVL

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，任一閉合回路上各支路電壓相量的代數(shù)和等于零。記為方程中，如果在回路繞行方向上電壓降的相量電壓取正，那么，沿回路繞行方向上電壓升的相量電壓就取負(fù)；反之也成立。與相量形式的KCL類似，式中各支路電壓相量對應(yīng)的正弦函數(shù)必須同頻率。注意，∑Uk≠0,有效值電壓的代數(shù)和不等于0。(5.3-2)

例5.3-2

圖5.3-2(a)為正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知，，求端口電壓u(t)。圖5.3-2例5.3-2電路(a)時(shí)域電路；(b)相量電路解：用相量法。

(1)相量變換。畫相量電路如圖5.3-2(b)所示。

，u1、u2應(yīng)的相量分別為

(2)求。列圖5.3-2(b)的回路電壓方程，有

(3)相量反變換5.3.2相量形式的元件伏安關(guān)系在交流電路中，基本電路元件除了前面已學(xué)過的電阻外，還有電容和電感。這小節(jié)先學(xué)習(xí)電容和電感的伏安關(guān)系，再介紹電阻相量形式的伏安關(guān)系。

1.電容元件電容器的概念出現(xiàn)于1745年，從范·繆森勃洛克為放電實(shí)驗(yàn)制作的平板電容器開始。時(shí)至今日，電容器的品種、規(guī)格很多，應(yīng)用也極為廣泛。若按材料劃分電容，有陶瓷電容器、云母電容器、薄膜電容器、紙質(zhì)電容器、聚苯乙烯電容器、鉭電容器、電解電容器等等。若按可調(diào)性劃分，有可變電容器與固定電容器。電容元件是電容器理想化的電路模型，定義為：一個(gè)二端元件，如果在任意時(shí)刻t，它所儲存的電荷q(t)與端電壓u(t)之間的關(guān)系能夠由q~u平面上過原點(diǎn)的一條斜線確定，見圖5.3-3，則該元件被稱為線性時(shí)不變電容，簡稱電容。圖5.3-3斜線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為或者(5.3-3)圖5.3-3電容的含義式(5.3-3)中參數(shù)C被稱為電容量，是斜線的斜率；因電容量C是常數(shù)，不隨電壓u、電荷q和時(shí)間t變化，所以稱為線性時(shí)不變電容。電容的單位為“法拉”，簡稱“法”，用符號F表示。在微電子領(lǐng)域里，法這個(gè)單位太大，常用微法(μF)、皮法(pF)，它們之間的關(guān)系為1F=106μF=1012pF在購置的電容器上，除了標(biāo)注電容量外，還標(biāo)注額定電壓。使用時(shí)，電容器兩端的電壓不要超過額定電壓，否則，電容的絕緣介質(zhì)會被擊穿，電容則損毀。電容的時(shí)域電路符號如圖5.3-4所示，它形如電容結(jié)構(gòu)。圖5.3-4電容的時(shí)域電路符號無論是理論研究還是實(shí)際應(yīng)用，常用伏安關(guān)系來分析問題。式(5.3-3)兩邊對t求導(dǎo)，有，把電流的定義，得到電容微分形式的伏安關(guān)系(5.3-4)式(5.3-4)承載了這樣一些信息：電容電流與電容電壓的大小無關(guān)，僅與電容電壓的變化有關(guān)。當(dāng)電容電壓變化時(shí)，表明電容正在充電或放電，這時(shí)有電流流過電容；電容電壓變化越快，充、放電電流就越大，反之，電壓變化慢，充、放電電流小。由于此特點(diǎn)，稱電容是動態(tài)元件。電阻元件沒有這樣的特點(diǎn)，電阻電流與電阻電壓的變化無關(guān)，只與電壓的大小成正比。在直流電路中，由于電容電壓不變化，電容電流為零，電容等效為開路，這就是為什么在討論直流電路時(shí)沒見電容蹤影的原因。電容具有隔直流、通交流的功能。此外，在實(shí)際電路中電容電壓不能跳變，必須是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。因?yàn)榧偃珉娙蓦妷耗芴?，在跳變點(diǎn)電壓的導(dǎo)數(shù)無窮大，則電流無窮大，就需要有能提供無窮大功率的電源，這無法實(shí)現(xiàn)。已知電容電壓，能用式(5.3-4)求電容電流。如果是已知電容電流，如何求電容電壓呢？假設(shè)電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，對式(5.3-4)積分，有式(5.3-5)告知：t時(shí)刻的電容電壓與t時(shí)刻以前的全部電流有關(guān)，電容是一個(gè)“電流記憶”元件。當(dāng)我們只關(guān)心時(shí)間點(diǎn)t=0以后的電流與電壓關(guān)系時(shí)，把式(5.3-5)另寫為(5.3-5)(5.3-6)稱u(0)為初始電壓，或初始狀態(tài)。式(5.3-6)說明：如果只關(guān)注t≥0的電容電壓，只要知道初始電壓u(0)和t>0的電容電流，就可以唯一確定t>0的電容電壓。電容元件不消耗能量，具有存儲電能的功能。在t時(shí)刻，電容儲能的計(jì)算式為由式(5.3-7)可見，儲能與電容電壓有關(guān)。判斷某時(shí)刻電容有無儲能就看該時(shí)刻有無電壓。能量的單位是焦耳(J)。

(5.3-7)當(dāng)電容電壓、電容電流是同頻率正弦函數(shù)時(shí)，即，;如果選擇用相量法分析，則電流相量為，電壓相量為，相量形式的電容伏安關(guān)系為或者(5.3-8)把式(5.3-4)中的i換成，u換成，求導(dǎo)符號換成jω，就是式(5.3-8)。式中，，單位是西門子(S)；，單位是歐姆(Ω)。電容相量形式的電路符號見圖5.3-5。當(dāng)電容電壓與電容電流參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，有圖5.3-5電容的相量電路符號可見，在參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，電容電流超前電容電壓90°。這一關(guān)系可用相量圖表示，見圖5.3-6。圖5.3-6電容的相量圖

例5.3-3電容如圖5.3-7(a)中所示，已知電路處在正弦穩(wěn)定狀態(tài)，u(t)=cos(106t+60°)V，求電流i(t)。圖5.3-7例5.3-3電路解：用相量法。作相量電路，見圖5.3-7(b)；，，在圖示電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)情況下，得相量反變換圖5.3-7例5.3-3電路

2.電感元件電感是電感器的理想化電路元件，具有儲存磁場能量的物理特性。定義為：一個(gè)二端元件，如果在任意時(shí)刻t，流經(jīng)它的電流i(t)與其磁鏈Ψ(t)之間的關(guān)系能由Ψ~i平面上過原點(diǎn)的一條斜線確定，如圖5.3-8所示，就稱該元件為線性時(shí)不變電感，簡稱電感。

圖5.3-8斜線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中，參數(shù)L被稱為電感量，是斜線的斜率，因L不隨電流i、磁鏈Ψ和時(shí)間t變化，是常數(shù)，所以稱其為線性時(shí)不變電感。電感的單位為“亨利”，簡稱“亨”，用符號H表示；常用單位還有：毫亨(mH)、微亨(μH)，它們之間的關(guān)系為(5.3-9)圖5.3-8電感的定義電感的時(shí)域電路符號見圖5.3-9。電感器最初是用導(dǎo)線繞成線圈制作而成，導(dǎo)線可以繞在鐵芯、鋼芯、塑料芯上，或者是空芯，電感的時(shí)域電路符號形如線繞線圈的結(jié)構(gòu)。通常，在信號頻率較低的電力系統(tǒng)和音頻系統(tǒng)中用鐵芯(電感量大，信號頻率高時(shí)損耗功率大)；在使用信號頻率高的無線電路中則用鐵氧芯或者空芯；在集成電路中，電感不用導(dǎo)線繞制構(gòu)成。使用線繞電感線圈時(shí)，不要超過線圈上標(biāo)注的額定工作電流，否則會因大電流使線圈過熱而燒毀，或者使線圈受到過大電磁力的作用而發(fā)生機(jī)械變形。圖5.3-9電感的時(shí)域電路符號電感與電容是對偶元件，電感的伏安關(guān)系可以通過對偶關(guān)系獲得。如i→u，C→L，u→i

，→，→，可得電感微分形式的伏安關(guān)系在電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下，電感積分形式的伏安關(guān)系為(5.3-10)(5.3-11)電感相量形式的伏安關(guān)系或者參考方向關(guān)聯(lián)(5.3-12)或者參考方向關(guān)聯(lián)(5.3-13)電感儲存磁場能量的計(jì)算式(5.3-14)電感相量形式的電路符號如圖(5.3-10)所示。需要做以下幾點(diǎn)說明

(1)把式(5.3-12)另寫為：可見，當(dāng)電壓與電流參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，電感電壓超前電感電流90°；電壓與電流的相位關(guān)系見圖5.3-11。圖5.3-10電感的相量電路符號

(2)由式(5.3-10)看到：電感電壓值與電感電流的大小無關(guān)，僅與電感電流的變化率成正比。只有當(dāng)電感電流變化時(shí)，才會在線圈上感應(yīng)電壓。在直流電路中，電感電流恒定不變，電感電壓為零，電感等效為導(dǎo)線。

(3)在式(5.3-11)中，i(0)被稱為初始電流，或初始狀態(tài)。如果只關(guān)注t≥0的電感電流，只要知道初始電流i(0)和t>0的電感電壓，就可以根據(jù)式(5.3-11)唯一確定t>0的電感電流。

(4)電感電流不能跳變，必須是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。

(5)由式(5.3-14)可見，判斷t時(shí)刻電感有無儲存磁場能量，要看t時(shí)刻有無電感電流。

(6)已知電感電流求電感電壓用式(5.3-10)；已知電感電壓求電感電流用式(5.3-11)，式(5.3-11)、(5.3-10)用于求任意函數(shù)形式的電壓與電流；式(5.3-12)和(5.3-13)只能用于求正弦函數(shù)形式的電壓與電流。

3.電阻相量形式的伏安關(guān)系設(shè)在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻電壓與電流是同頻率的正弦函數(shù)，分別為正弦電壓與電流對應(yīng)的相量分別為：電阻相量形式的伏安關(guān)系為

或者(5.3-15)在電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的情況下，有，說明電阻的電壓相量與電流相量同相，相量關(guān)系見圖5.3-12。電阻的相量電路模型如圖5.3-13所示。圖5.3-12電阻的相量圖圖5.3-13電阻的相量模型例5.3-4電路如圖5.3-14所示。已知電路處于正弦穩(wěn)定狀態(tài)，R=15Ω，L=10mH，C=50μF，u(t)=60cos103tV，求i(t)。圖5.3-14例5.3-1電路解：用相量法。第一步，相量變換。相量電路中的元件參數(shù)相量電路模型如圖5.3-15所示。第二步，求i(t)對應(yīng)的相量。節(jié)點(diǎn)電流方程為第三步，相量反變換5.3.3阻抗與導(dǎo)納在直流電路中，無源單口電路能夠等效化簡為一個(gè)電阻或電導(dǎo)；在相量電路中，無源單口電路能等效化簡成什么呢？在例3.5-2中，我們能找到答案。圖5.3-15所示電路的端口電壓相量與電流相量的比值為可見，比值是一個(gè)復(fù)常數(shù)，該復(fù)常數(shù)的單位是歐姆。我們把這個(gè)復(fù)常數(shù)稱為阻抗。該結(jié)果蘊(yùn)涵了這樣一個(gè)一般性結(jié)論：在相量電路中，由電阻、電感、電容和受控源組成的無源單口電路可以等效化簡為一個(gè)阻抗，如圖5.3-16所示。圖5.3-16無源單口電路及等效電路

(a)無源單口電路；(b)阻抗的電路模型在關(guān)聯(lián)參考方向下，阻抗定義為式(5.3-16)又被視為相量形式的歐姆定律。通常，阻抗值隨角頻率ω變化，有在式(5.3-17)中，阻抗的實(shí)部R(ω)被稱為電阻，虛部X(ω)被稱為電抗；阻抗模為；阻抗角θz(ω)=ju-ji。(5.3-16)(5.3-17)阻抗角提供了有關(guān)電壓與電流之間的相位信息和阻抗性質(zhì)的信息。如果單口電路僅由R、L、C組成，阻抗角的取值范圍在-90°≤θz≤90°。若θz=-90°，表示電流超前電壓90°，單口電路為純電容。電容的阻抗是負(fù)虛數(shù)，阻抗的實(shí)部為零。電容的阻抗值與頻率成反比，即在ω=0的直流電路中，阻抗值為無窮大；ω=∞時(shí)，阻抗值為零。若阻抗角落在-90°<θz<0范圍，表示電流超前電壓，阻抗呈容性，阻抗的虛部取負(fù)值。若θz=0，電流與電壓同相，單口電路等效為電阻，電阻的阻抗Z=R，阻抗虛部為零。若阻抗角落在0<θz<90°范圍，端口電壓超前電流，阻抗呈感性，阻抗的虛部取正數(shù)。若θz=90°，端口電壓超前電流90°，單口電路為純電感。電感的阻抗Z=jωL=jXL是正虛數(shù)，阻抗的實(shí)部為零。電感的阻抗值與頻率成正比，即在ω=0的直流電路中，阻抗值為零；ω=∞時(shí)，阻抗值無窮大。阻抗的倒數(shù)被稱為導(dǎo)納，記作阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系類似于直流電路中電阻與電導(dǎo)的關(guān)系，它們是對偶元件。導(dǎo)納也是復(fù)常數(shù)；通常，導(dǎo)納是頻率的函數(shù)。它與阻抗、電壓、電流有如下關(guān)系：(5.3-18)導(dǎo)納的模；導(dǎo)納角θy=ji-ju=-θz；導(dǎo)納的實(shí)部G(ω)被稱為電導(dǎo)，虛部B(ω)被稱為電納。例5.3-5設(shè)某電路的端口電壓與電流參考方向關(guān)聯(lián)，若，，(1)求該電路的端口等效阻抗Z和導(dǎo)納Y；(2)電壓與電流的相位差是多少？(3)該電路呈感性還是容性？解：(1)等效阻抗等效導(dǎo)納

(2)端口電壓與電流的相位差是45°。

(3)阻抗角θz=45°,說明電壓超前電流45°，該電路呈感性。5.4相量法

前述一系列分析直流電路的方法及定理，比如等效變換法、網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、疊加定理、戴維南定理、諾頓定理等等，都能用于分析相量電路。因?yàn)榉治鱿嗔侩娐放c直流電路的基本依據(jù)完全相同，所以能夠得到類似的計(jì)算公式、分析方法與電路定理(見表5.4-1)。表5.4-1

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，通常采用如下步驟：

(1)相量變換。把正弦電壓與電流變換成相量；把時(shí)域電路變換為相量電路。在電路變換時(shí)，電路結(jié)構(gòu)不變，電量的參考方向不變，元件用相量電路模型替換。如果給出的是相量電路和相量形式的電量，可省略這步。

(2)依托相量電路模型，根據(jù)兩類約束條件、各種分析方法和電路定理，在相量域里列、解方程，求出待求電量的相量解。

(3)若要得到解的時(shí)域表達(dá)式，再對相量解作相量反變換。例5.4-1電路如圖5.4-1(a)所示，已知外加電源電壓，(1)求端口等效阻抗Z；(2)判斷阻抗Z的性質(zhì)。圖5.4-1例5.4-1

解：作相量變換。由題意知，信號的角頻率為ω=103rad/s，在該頻率上，電感與電容的阻抗值分別為jωL=j103×20×10-3=j20Ω

相量電路見圖5.4-1(b)。

(1)在圖(b)電路中，50Ω電阻與電容并聯(lián)，等效阻抗Z1為端口等效阻抗為(2)端口等效阻抗為實(shí)數(shù)，所以阻抗呈電阻性。

例5.4-2電路如圖5.4-2(a)所示，電壓源頻率是60Hz，求電流和對應(yīng)的正弦函數(shù)。圖5.4-2例5.4-2電路

解：第一步，求相量和方法一，見圖5.4-2(a)，電感與電容并聯(lián)的等效阻抗為利用分壓公式，得根據(jù)元件的伏安關(guān)系，得方法二：把圖中電壓源等效變換為電流源，見圖5.4-2(b)。利用分流公式得第二步，相量反變換，求i1(t)和i2(t)。由已知條件得

2

×60=120

rad/s，則

例5.4-3

相量電路如圖5.4-3所示。已知，，求電流。圖5.4-3例5.4-3電路解：方法一，網(wǎng)孔法。根據(jù)圖5.4-3，列網(wǎng)孔電流方程。網(wǎng)孔1網(wǎng)孔2式(1)+式(2)×0.5，消去電流，得(1)(2)方法二，戴維南等效法。

(1)求開路電壓。斷開圖5.4-3電路中的電容，見圖5.4-4(a)。端口開路電壓為

(2)求端口等效阻抗Z0。移去圖5.4-3電路中的電容，電壓源短路，電流源斷開，見圖5.4-4(b)。Z0=2+2∥2=2+1=3Ω

(3)求。根據(jù)以上結(jié)果，畫原電路的等效電路圖5.4-4(c)。由圖可得圖5.4-4用戴維南定理解例5.4-3

例5.4-4求圖5.4-5(a)所示電路中的電壓u(t)。圖5.4-5例5.4-4

解：根據(jù)已知條件，畫出圖(a)對應(yīng)的相量電路，見圖(b)。選用節(jié)點(diǎn)法，節(jié)點(diǎn)電壓方程為整理得相量反變換u(t)=6.32cos(t-71.56°)V例5.4-5電路如圖5.4-6所示，求：角頻率在10×103rad/s時(shí)，端口等效電路。圖5.4-6例5.4-5電路思路：對于含受控源的電路，一般要通過求端口伏安關(guān)系化簡電路。

解：作相量電路，見圖5.4-6(b)。列回路電壓方程把ù1=

50?

代入上式，得端口伏安關(guān)系則可見，無源單口電路等效為一個(gè)阻抗。例5.4-6電路如圖5.4-7(a)所示，求電流i。圖5.4-7例5.4-6電路解：用疊加法。8V直流電壓源單獨(dú)作用，交流電壓源置零；在直流電路中電感短路，等效電路見圖(b)。

10cos4tV的正弦電壓源單獨(dú)作用，直流電壓源置零；相量電路如圖(c)所示。利用分壓和電感的伏安關(guān)系可得

相量反變換i2(t)=0.79cos(4t-71.56°)A

疊加i(t)=I1+i2(t)=4+0.79cos(4t-71.56°)A

要點(diǎn)：當(dāng)獨(dú)立源的頻率不同時(shí)，必須用疊加法求響應(yīng)。疊加要在時(shí)域里進(jìn)行，不能在相量域疊加。

5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

正弦穩(wěn)態(tài)電路的用途之一是傳遞電功率。對于許多電器設(shè)備、通信系統(tǒng)、家電產(chǎn)品，功率是一個(gè)非常重要的參數(shù)指標(biāo)。本小節(jié)將介紹一些功率的概念，重點(diǎn)討論平均功率的計(jì)算以及功率傳輸問題。5.5.1瞬時(shí)功率和平均功率

1.瞬時(shí)功率設(shè)單口正弦穩(wěn)態(tài)電路的端口電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，見圖5.5-1。端口正弦電壓、正弦電流分別為，，代入功率計(jì)算式，有利用三角公式，單口電路的瞬時(shí)功率又可表示為(5.5-1)式(5.5-1)對應(yīng)的波形為圖5.5-2。不難看出，瞬時(shí)功率隨時(shí)間作周期性的變化。p(t)>0，單口電路從外電路吸收功率；p(t)<0，單口電路向外電路提供功率。在實(shí)際應(yīng)用中，測量瞬時(shí)功率意義不大。通常是用功率表測量平均功率。圖5.5-1單口正弦穩(wěn)態(tài)電路圖5.5-2瞬時(shí)功率的波形

2.平均功率(或稱損耗功率、有功功率)

瞬時(shí)功率在一個(gè)周期里的平均值為平均功率，記作(5.5-2)把式(5.5-1)代入以上定義式，得式中，被積函數(shù)的第一項(xiàng)是周期函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的積分為零；第二項(xiàng)是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)，因此，正弦穩(wěn)態(tài)電路的平均功率為P=IUcos(ju-ji)

(5.5-3)式(5.5-3)用于求任意單口電路的平均功率。式中U、I分別為正弦電壓、電流的有效值；ju、ji分別為正弦電壓、電流的初相。平均功率的單位是“瓦”(W)。例5.5-1已知某正弦穩(wěn)態(tài)電路的端口電壓u(t)=120cos(50t+30°)V，端口電流i(t)=10cos(50t-15°)A，求該電路的平均功率。解：端口電壓相量端口電流相量電路的平均功率當(dāng)單口電路由電阻、電感和電容組成時(shí)，等效為一個(gè)阻抗或?qū)Ъ{，且阻抗角θz和導(dǎo)納角θy在Ⅰ、Ⅳ象限取值；在此情況下，有θz=-θy=ju-ji，cosθz=cos(-θy)；單口電路的伏安關(guān)系或者)，其有效值滿足U=|Z|I(或者I=|Y|U)，把這些關(guān)系代入式(5.5-3)，得(5.5-4)(5.5-5)式中，Re[Z]表示取阻抗Z=R+jX的實(shí)部R；Im[Y]表示取導(dǎo)納Y=G+jB的實(shí)部G。這兩個(gè)式子只能用于求無源(不含獨(dú)立源和受控源)電路的平均功率；若知端口電流和阻抗，用式(5.5-4)；若知端口電壓和導(dǎo)納，用式(5.5-5)。

例5.5-2已知阻抗Z=30+j70Ω兩端的電壓相量，該阻抗的損耗功率是多少？

解：方法一，利用式(5.5-5)。阻抗Z的損耗功率為方法二，利用式(5.5-4)。設(shè)該元件電流與電壓參考方向關(guān)聯(lián)，則有阻抗Z的損耗功率為當(dāng)單口電路為純電阻電路或電阻元件時(shí)，端口電壓與電流同相，滿足歐姆定律，有如下關(guān)系：ju-ji=0，U=RI，把它們代入式(5.5-3)，得電阻的平均功率計(jì)算式(5.5-6)當(dāng)單口電路僅由電感組成或是電感元件時(shí)，有ju-ji=θz=90°，代入計(jì)算平均功率的通式(5.5-3)，得電感的平均功率PL=UIcos90°=0與電感類似，當(dāng)單口電路僅由電容構(gòu)成或是電容元件時(shí)，有ju-ji=θz=-90°，代入通式(5.5-3)，得電容的平均功率PL=UIcos(-90°)=0不難看出：電路中的平均功率取決于電阻，電阻是消耗功率的元件，所以，平均功率又被稱為損耗功率。電感、電容不是耗能元件，其平均功率為零。你可能會問：電路端口的平均功率與電路中各個(gè)電阻的平均功率之間存在什么聯(lián)系呢？它們之間遵循能量守恒原則，即電路端口的總平均功率等于電路內(nèi)部各電阻平均功率之和，(5.5-7)例5.5-3電路如圖5.5-3所示，已知端口電壓，求電路的平均功率。圖5.5-3例5.5-3電路

解：方法一，根據(jù)式(5.5-5)求電路的平均功率。這是一個(gè)無源單口電路，端口等效導(dǎo)納為電路的平均功率為

方法二，根據(jù)式(5.5-3)求電路的平均功率。計(jì)算式(5.5-3)應(yīng)用范圍寬，既可用于有源電路，也可用于無源電路。在圖示電流參考方向下，有則方法三,利用能量守恒原則，3Ω電阻的損耗功率就是整個(gè)電路的損耗功率。支路電流為電阻的平均功率

例5.5-4求圖5.5-4(a)所示電路中電壓源提供的功率。分析：由題意知，這是一個(gè)正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率問題，因此要根據(jù)相量電路求功率。其次，根據(jù)能量守恒原則，電源提供的功率+電路消耗的功率=0，所以，可通過求電路的損耗功率來間接地求電源提供的功率。求法不止一種，下面只舉一種。圖5.5-4例5.5-4電路

解：作原電路對應(yīng)的相量電路見圖5.5-4(b)。通過求電路的損耗功率，間接地獲取電源的平均功率。圖5.5-4(b)虛線右邊電路的等效阻抗為則導(dǎo)納是虛線右邊電路的損耗功率電壓源的平均功率為功率值為負(fù)說明電壓源提供10W的功率。5.5.2最大平均功率傳輸定理

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，同樣有最大功率傳輸?shù)男枨?。由于正弦穩(wěn)態(tài)電路的情況與直流電路不太相同，所以，不能照搬直流電路的功率匹配結(jié)論。正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率匹配情況比直流電路復(fù)雜，這里只介紹一種匹配方式。假設(shè)電路處于正弦穩(wěn)定狀態(tài)，信號由前端含源電路向后接無源負(fù)載傳遞，見圖5.5-5(a)。利用相量變換和等效知識，在前后兩部分電路的接口處，把前端含源電路等效化簡為實(shí)際電壓源；后部無源負(fù)載等效為一個(gè)阻抗，相量等效電路呈現(xiàn)圖5.5-5(b)的形式。圖中，實(shí)際電壓源參數(shù)固定不變，負(fù)載阻抗的實(shí)部和虛部可以獨(dú)立變化。在此情況下，有如下最大功率傳輸(或說，共軛匹配)定理：圖5.5-5討論正弦穩(wěn)態(tài)電路功率傳輸問題的示意圖當(dāng)負(fù)載ZL=Z*0時(shí)，即RL=R0，XL=-X0時(shí)，負(fù)載ZL能從前端電路獲得最大功率，最大平均功率為(5.5-8)解：從圖(a)的虛線處把電路劃分為兩部分，利用戴維南定理化簡虛線左端的含源單口電路。求開路電壓Uoc。斷開圖5.5-6(a)中負(fù)載ZL，再把實(shí)際電流源轉(zhuǎn)換為電壓源，見圖5.5-6(b)。ab端口開路時(shí)，端口電流為零，因此，電感與電阻串聯(lián)。利用分壓公式得求阻抗Z0。移去圖5.5-6(a)中負(fù)載ZL，同時(shí)斷開電流源，見圖5.5-6(c)。圖(c)端口的等效阻抗為簡化等效電路見圖5.5-6(d)。根據(jù)最大功率傳輸定理知：

(1)當(dāng)負(fù)載ZL=Z*0=2-j2kΩ時(shí)，能獲得最大功率；

(2)最大功率為圖5.5-6例5.5-5電路5.5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的其他功率

在電力工程領(lǐng)域，把平均功率稱為有功功率。除了有功功率外，常使用的還有以下幾種功率和參數(shù)。

1.視在功率S

設(shè)單口電路的端口電壓相量與電流相量分別為：，；視在功率定義為：電壓有效值與電流有效值的乘積為視在功率，記作

S=UI

(5.5-9)視在功率是電氣設(shè)備允許使用的最大平均功率，或者說，表示電氣設(shè)備的容量。在使用時(shí)，若平均功率超過了允許的容量，電氣設(shè)備將不能正常工作，嚴(yán)重時(shí)可能損毀設(shè)備。為了區(qū)別于平均功率，視在功率的單位用“伏安”(V·A)。例5.5-6已知一臺發(fā)電機(jī)的容量為2.8kV·A，額定電壓是380V，問：(1)該發(fā)電機(jī)能夠輸出的最大平均功率是多少？(2)它的額定電流是多少？解：(1)根據(jù)題意知，該發(fā)電機(jī)的最大平均功率為2.8kV·A；(2)額定電流為視在功率反映設(shè)備的能力，平均功率表示設(shè)備實(shí)際提供或消耗的功率，通常，這兩者不相等。比較式(5.5-3)和式(5.5-8)可見，平均功率P與視在功率S差一個(gè)比例系數(shù)cos(

u

i)，由于|

cos(

u

i)|

1，所以，P

S。

2.功率因數(shù)λ功率因數(shù)用符號λ表示，定義為(5.5-10)無源電路的功率因數(shù)為(5.5-11)功率因數(shù)無量綱，取值λ≤1。功率因數(shù)的值與電路參數(shù)及負(fù)載有關(guān)。例如，一臺容量為1000kV·A的發(fā)電機(jī)，若負(fù)載的λ=0.6，該發(fā)電機(jī)的實(shí)際輸出平均功率僅有600kW?？梢?，負(fù)載的λ低，發(fā)電機(jī)的容量不能充分利用。例5.5-7圖5.5-7為某輸電線路的等效電路，圖中Z=6+j6Ω為輸電線的等效阻抗，ZL為負(fù)載阻抗；負(fù)載消耗的功率P=500kW，負(fù)載的功率因數(shù)為0.9，負(fù)載電壓U=5.5kV,求輸電線的功率損耗。圖5.5-7例5.5-7電路

解：根據(jù)P=UIcosθz可求得線路上電流有效值，為輸電線的損耗功率可見，輸電線的損耗功率很大，要減小損耗，措施之一是提高負(fù)載的功率因數(shù)cosθz，從而減小線路電流I，以達(dá)到提高輸電效率的目的。

3.無功功率Q無功功率定義為Q=UIsin(ju-ji)(5.5-12)無功功率的單位取“乏”(var)。無功功率值表示單口電路與外接電路進(jìn)行能量交換的最大速率。耗能元件電阻只進(jìn)不出，與外界沒有能量交換，所以，電阻的無功功率為零；動態(tài)元件電容和電感與外界有能量交換，存在無功功率。對于電感，ju-ji=θz=90°，無功功率Q=UIsin90°=UI，取正值；對電容而言，ju-ji=θz=-90°，無功功率Q=UIsin(-90°)=-UI，取負(fù)值。電路端口總的無功功率等于電路中各動態(tài)元件的無功功率之和，有(5.5-13)

4.復(fù)功率

為了把以上各種功率之間的關(guān)系用簡單的數(shù)學(xué)形式表示出來，電氣工程師通過長期的努力，杜撰出了復(fù)功率，定義為

(5.5-14)

復(fù)功率是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于視在功率S，實(shí)部是有功功率P，虛部是無功功率Q。視在功率與有功功率和無功功率的關(guān)系為。5.6耦合電感和理想變壓器

在電系統(tǒng)中，變壓器是應(yīng)用極其廣泛的電子器件。在遠(yuǎn)距離電力傳輸中，通過變壓器進(jìn)行電壓變換，以減小傳輸損耗，提高傳輸效率。在通信系統(tǒng)中，用變壓器實(shí)現(xiàn)阻抗匹配和信號耦合。在電子設(shè)備中，利用變壓器向不同終端提供所需的功率，或者實(shí)現(xiàn)部件之間、電路之間的絕緣。變壓器是根據(jù)磁耦合現(xiàn)象設(shè)計(jì)的電子器件。倘若回路中變化的電流產(chǎn)生的變化磁場穿過了鄰近回路，即使這兩個(gè)回路之間無連接，這個(gè)變化磁場也會在鄰近回路中感應(yīng)電壓，進(jìn)而在鄰近回路中產(chǎn)生電流，我們把這種現(xiàn)象稱為磁耦合。在電路理論中，磁耦合器件可用耦合電感或者理想變壓器構(gòu)成的電路模型來等效。本節(jié)將學(xué)習(xí)：耦合電感的伏安關(guān)系及含耦合電感元件的電路分析；理想變壓器的伏安關(guān)系及含理想變壓器的電路分析。5.6.1耦合電感的伏安關(guān)系圖5.6-1是一種耦合線圈的結(jié)構(gòu)示意圖，由兩個(gè)存在磁耦合的線圈構(gòu)成，它屬于二端口元件，要用兩個(gè)端口伏安關(guān)系式來完整地描述。下面推導(dǎo)線圈Ⅰ的端口伏安關(guān)系。圖5.6-1兩互感線圈的結(jié)構(gòu)示意圖假設(shè)兩個(gè)線圈的電感量分別為常數(shù)L1和L2，兩線圈之間的互感為常數(shù)M；流過兩個(gè)線圈的交變電流分別為i1和i2，見圖5.6-2。穿過線圈Ⅰ的磁鏈Ψ1由兩部分構(gòu)成：一是線圈Ⅰ的電流i1在本線圈中產(chǎn)生的自感磁鏈Ψ11，為(5.6-1)式(5.6-1)中的正負(fù)號與Ψ11和i1的參考方向有關(guān)。二是線圈Ⅱ的電流i2在線圈Ⅰ中產(chǎn)生的互感磁鏈Ψ12，為(5.6-2)同樣，式中正負(fù)號與Ψ12和i2的參考方向有關(guān)。線圈Ⅰ的總磁鏈上式兩邊對t求導(dǎo)，并把代入，得線圈Ⅰ端口伏安關(guān)系的一般形式(5.6-3)式(5.6-3)的第一項(xiàng)為自感電壓，由電流i1產(chǎn)生；第二項(xiàng)為互感電壓，由線圈Ⅱ的電流i2產(chǎn)生。按照相同的思路，可推出線圈Ⅱ有以下端口伏安關(guān)系:(5.6-4)由式(5.6-3)不難看出，當(dāng)線圈Ⅱ端口斷開，i2(t)=0時(shí)，或者是直流通過線圈Ⅱ，i2(t)=I時(shí)，式中互感電壓項(xiàng)，這時(shí)線圈Ⅰ的端口伏安關(guān)系為，與獨(dú)立電感相同。由于直流電流產(chǎn)生的互感磁鏈不隨時(shí)間變化，所以不會在線圈Ⅰ中感應(yīng)互感電壓，這表明耦合電感不傳遞直流，只傳遞交流信號。當(dāng)i1(t)=0或i1(t)=I時(shí)，式(5.6-3)的自感電壓項(xiàng)，。同理分析式(5.6-4)，可以得到類似的結(jié)果。根據(jù)式(5.6-3)和式(5.6-4)中正負(fù)號的不同組合，耦合電感的伏安關(guān)系有16種可能的形式。自感電壓項(xiàng)的“±”號取決于本端口電壓與本端口電流參考方向的關(guān)聯(lián)性，參考方向關(guān)聯(lián)取“+”，非關(guān)聯(lián)則取“-”。為了確定互感電壓的正負(fù)號，引入了同名端的概念。圖5.6-3耦合電感的時(shí)域電路符號耦合電感的時(shí)域電路符號如圖5.6-3所示。描述一個(gè)二端口耦合電感要三個(gè)參數(shù)：L1、L2和M。對于線性時(shí)不變耦合電感而言，這三個(gè)參數(shù)都是常數(shù)。圖中每個(gè)電感上都有一個(gè)標(biāo)記“·”，這不僅是區(qū)別獨(dú)立電感的標(biāo)記，而且是確定互感電壓極性必不可少的標(biāo)記。我們把不同端口標(biāo)“·”(或無“·”)的一對端子稱為同名端。在圖5.6-3中，1、3端子是一對同名端，2、4端子也是一對同名端。同名端的物理含義是：當(dāng)兩個(gè)端口的電流都從同名端流入時(shí)，在線圈中產(chǎn)生的自感磁鏈和互感磁鏈的方向一致。

例5.6-1圖5.6-4(a)為一互感線圈的結(jié)構(gòu)圖，請找出其同名端。圖5.6-4例5.6-1電路

解：確定同名端的依據(jù)是其物理含義。首先，任意假設(shè)兩個(gè)端口的電流流向，見圖5.6-4(a)；再根據(jù)右手螺旋法則判斷各個(gè)電流產(chǎn)生的磁通方向，即右手四個(gè)指頭方向?yàn)殡娏鞣较?，拇指方向?yàn)榇磐ǚ较?。磁通方向畫于圖5.6-4(a)，電流i1產(chǎn)生的磁通Φ11與電流i2產(chǎn)生的Φ12方向相反，所以，判斷1與4是同名端，2與3為同名端。標(biāo)注見圖5.6-4(b)。引入同名端的目的是要借助同名端確定互感電壓的極性。根據(jù)同名端的含義不難得到如下判斷方法：互感電壓的正極性位于與另一端口電流流入端對應(yīng)的同名端處。比如，確定圖5.6-5所示耦合電感11′端口的互感電壓極性。注意：11′端口的互感電壓由22′端口的電流i2產(chǎn)生。圖中i2從2′端子流入，2′端與1端是同名端，因此，11′端口互感電壓的正極性在1端。如果互感電壓的極性與本端口電壓的參考極性一致，互感電壓取“+”。反之，不一致，則取“-”。圖5.6-5判斷互感電壓的極性

例5.6-2寫出圖5.6-6所示耦合電感的伏安關(guān)系。圖5.6-6例5.6-2電路

解：11′端口的伏安關(guān)系式為

u1與i1的參考方向關(guān)聯(lián)，所以自感電壓取“+”號。電流i2從2端流入，圖中2端子與1端子是同名端，因此，互感電壓的正極性在1端子；互感電壓極性與11′端口電壓u1的參考方向一致，故取“+”號。同理，22′端口的伏安關(guān)系式為式(5.6-3)和式(5.6-4)用于分析任何形式的時(shí)間信號，倘若電壓、電流是同頻率的正弦函數(shù)，可采用相量法簡化分析。耦合電感相量形式的電路符號見圖5.6-7。相量形式的伏安關(guān)系如下：

例5.6-3寫出圖5.6-8所示耦合電感的伏安關(guān)系。圖5.6-8例5.6-3電路

例5.6-4寫出圖5.6-9所示耦合電感的伏安關(guān)系。圖5.6-9例5.6-4電路在不知道互感線圈(變壓器)結(jié)構(gòu)的情況下，可以通過測試確定同名端。測試電路如圖5.6-10所示，圖中電阻起限流作用。在開關(guān)合上瞬間，若電壓表正偏，可判斷接電壓表正極的3端與電流流入的1端是同名端；若電壓表反偏，則判斷接電壓表負(fù)極的4端與電流流入的1端是同名端。為什么？開關(guān)合上時(shí)，流入1端的電流增加，有；電壓表內(nèi)阻很大，故3、4端視為開路，電壓表測到的是互感電壓，而互感電壓的正極性端子與電流流入端是同名端，所以有以上判斷。圖5.6-10同名端測試電路互感量M不能任意取值，其取值范圍在。耦合電感的耦合程度用耦合系數(shù)k來衡量，耦合系數(shù)定義為(5.6-6)k的取值范圍在0≤k≤1。當(dāng)k=0時(shí)，表示兩個(gè)電感之間沒有磁耦合，是獨(dú)立電感；當(dāng)k<0.5時(shí)，為松耦合；當(dāng)0.5<k<1時(shí)，為緊耦合；當(dāng)k=1時(shí)，為全耦合，表示一個(gè)線圈電流產(chǎn)生的磁通全部與另一個(gè)線圈交鏈，沒有漏磁。5.6.2含耦合電感電路的相量分析法分析耦合電感電路的常用方法有受控源等效法和去耦等效法，前者的運(yùn)用范圍較寬，但分析含受控源電路時(shí)較麻煩。后者正相反，運(yùn)用范圍較窄，但因電路中無受控源，容易分析。本小節(jié)側(cè)重介紹去耦等效分析法。比較耦合電感與獨(dú)立電感的伏安關(guān)系，顯然前者要比后者復(fù)雜；與之類似，分析耦合電感電路要比獨(dú)立電感電路復(fù)雜。很自然地，人們就會去尋求簡化分析耦合電感電路的方法，希望能用簡單的獨(dú)立電感替代復(fù)雜的耦合電感，這樣就產(chǎn)生了去耦等效法。去耦等效的思路是：通過等效變換，用若干獨(dú)立電感構(gòu)成的電路去等效一個(gè)耦合電感，從而把含耦合電感的電路等效變換為獨(dú)立電感的電路，然后，再進(jìn)行電路分析。圖5.6-11(a)與圖5.6-11(c)連接的耦合電感形如T字，故稱為T形連接。T形結(jié)構(gòu)有同名端連接與異名端連接之分。圖5.6-11(a)為同名端連接，它與圖5.6-11(b)所示的獨(dú)立電感電路端口伏安關(guān)系相同，因此，圖5.6-11(c)是圖5.6-11(a)的去耦等效電路。圖5.6-11(c)為異名端連接，它對應(yīng)的去耦等效電路為圖5.6-11(d)。注意：去耦等效變換只適用于T形連接的耦合電感。圖5.6-11

T形連接的去耦等效變換(a)同名端連接；(b)同名端連接的去耦等效電路；

(c)異名端連接；(d)異名端連接的去耦等效電路

例5.6-5電路如圖5.6-12(a)所示，已知us(t)=20costV，求電流i(t)。圖5.6-12例5.6-5電路(a)時(shí)域電路；(b)相量電路；(c)去耦等效電路

解：該題屬于正弦穩(wěn)態(tài)電路，故采用相量分法。原電路對應(yīng)的相量電路如圖5.6-12(b)所示，圖中耦合電感是T形結(jié)構(gòu)，且同名端連接，去耦等效電路如圖5.6-12(c)。列圖5.6-12(c)的網(wǎng)孔電流方程聯(lián)立以上兩式，消去電流，得作相量反變換

例5.6-6求圖5.6-13(a)電路ab端口的等效電路。圖5.6-13例5.6-6電路

解：圖中兩個(gè)耦合電感串聯(lián)，不能用去耦等效法，要根據(jù)伏安關(guān)系找等效電路。設(shè)電感電壓、端口電壓及電流參考方向關(guān)聯(lián)，如圖5.6-13(b)所示。耦合電感的伏安關(guān)系為端口呈現(xiàn)電感的伏安關(guān)系，等效電感值為L1+L2+2M，等效電路如圖(c)所示。則

例5.6-7圖5.6-14是典型的空芯變壓器電路模型?？招咀儔浩鞯木€圈繞在非鐵磁性材料制成的芯子上，或者空芯，屬于松耦合器件。它具有線性電磁特性，是線性元件，廣泛用于高頻電路。通常，把接電源的線圈L1稱為初級線圈，構(gòu)成的回路稱為初級回路。接負(fù)載ZL的線圈L2稱為次級線圈，構(gòu)成的回路稱為次級回路。變壓器利用耦合線圈把能量或信號傳遞給次級回路。圖中電阻R1包括了信號源內(nèi)阻和初級線圈的損耗；R2為次級線圈的損耗。求：(1)11′端口的等效電路；(2)22′端口的等效電路。圖5.6-14例5.6-7電路解：用去耦等效法分析。你一定會產(chǎn)生疑問：圖5.6-14中的耦合電感不是T形結(jié)構(gòu)，怎么能用去耦等效法呢？連接圖5.6-14的1′2′兩端，見圖5.6-15(a)，不會改變原電路的電壓、電流分布，所以，圖5.6-14電路與圖5.6-15(a)電路相等；圖5.6-15(a)中的耦合電感是T形接法，去耦等效電路見圖5.6-15(b)。圖5.6-15空芯變壓器電路的去耦等效令：Z11=R1+jωL1為初級回路的阻抗；Z22=R2+jωL2+ZL為次級回路的阻抗；ZM=jωM為互阻抗。

(1)求11′端口的等效電路。根據(jù)圖5.6-16(a)，11′端口的等效阻抗為整理，得(1)式中第二項(xiàng)被稱為次級回路在初級回路的反映阻抗。11′端口的等效阻抗由初級線圈的感抗jωL1與反映阻抗串聯(lián)構(gòu)成，見圖5.6-16(b)。從路的角度看，次級回路通過反映阻抗從初級回路獲取能量或信號；如果反映阻抗為零，初級回路不向次級回路傳遞能量。比如當(dāng)負(fù)載ZL=∞時(shí)，次級回路不消耗能量。這時(shí)，反映阻抗為0，次級回路不從初級回路獲取能量。圖5.6-16例5.6-7的11′端等效電路

(2)求22′端口的等效電路。先求22′端口的開路電壓，見圖5.6-17(a)。利用分壓公式得求22′端口的等效阻抗時(shí)，將電壓源短路，見圖5.6-17(b)。22′端口的等效阻抗為(2)(3)式中被稱為初級回路在次級回路的反映阻抗。22′端口的等效電路見圖5.6-17(c)。圖5.6-17例5.6-7的22′端等效電路在求初級回路的相關(guān)電量時(shí)，用圖5.6-18所示的初級等效電路；在求次級回路的相關(guān)電量時(shí)，則用圖5.6-19所示的次級等效電路。兩個(gè)反映阻抗表達(dá)式