《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第6章

6.1信號(hào)與系統(tǒng)概述6.2信號(hào)的描述與分類6.3典型信號(hào)

6.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算6.5連續(xù)信號(hào)的分解6.6系統(tǒng)及其響應(yīng)6.7系統(tǒng)的分類6.8

LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子6.9

LTI因果系統(tǒng)的時(shí)域分析習(xí)題六

6.1信號(hào)與系統(tǒng)概述

人們每天都會(huì)與各種各樣載有信息的信號(hào)密切接觸。例如聽廣播、看電視是接收帶有信息的消息；發(fā)短信、打電話，是為了把帶有信息的消息借助一定形式的信號(hào)傳送出去。信號(hào)是各類消息的運(yùn)載工具，是某種變化的物理量，如電話鈴聲、交通紅綠燈。不同的聲、光、電信號(hào)都包含有一定的意義，這些意義統(tǒng)稱為信息。消息中有意義或?qū)嵸|(zhì)性的內(nèi)容可用信息量度量。前幾章所涉及的信號(hào)比較簡單，只有直流信號(hào)與正弦信號(hào)兩類。實(shí)際可以利用的信號(hào)要豐富得多，本章將介紹常用連續(xù)信號(hào)。在自然、物理、社會(huì)等諸多領(lǐng)域中，系統(tǒng)的概念與方法被廣泛應(yīng)用。系統(tǒng)泛指由若干相互作用，相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成的，具有特定功能的整體。通信、控制系統(tǒng)是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的重要組成部分，它們還可以組合成更復(fù)雜更高級(jí)的系統(tǒng)。本書下面幾章以電路為系統(tǒng)，討論分析電路系統(tǒng)的基本方法。電路與系統(tǒng)關(guān)系密切，都是對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的元器件的組合體。電路與系統(tǒng)的主要區(qū)別是分析處理問題的角度。系統(tǒng)注重全局，電路更關(guān)注局部。討論具體問題時(shí)習(xí)慣稱之為電路，研究一般規(guī)律性問題時(shí)多用系統(tǒng)。例如同是RLC電路，電路研究的是具體元件或支路、回路上的電壓或電流；系統(tǒng)會(huì)關(guān)注與輸入輸出關(guān)系相關(guān)的問題，如穩(wěn)定、失真、頻響等。當(dāng)然許多問題相互交叉，不必嚴(yán)格區(qū)分，所以本書電路與系統(tǒng)兩個(gè)名詞通用。信號(hào)通過系統(tǒng)進(jìn)行傳輸、處理、控制的基本理論和基本分析方法，通?？捎蓤D6.1－1所示的方框圖表示。其中f(·)是系統(tǒng)的輸入(激勵(lì))信號(hào)，y(·)是系統(tǒng)的輸出(響應(yīng))信號(hào)，h(·)是系統(tǒng)特性的一種描述?！啊ぁ笔切盘?hào)的自變量，可以是連續(xù)變量t，也可以是離散變量n。圖6.1-1信號(hào)與系統(tǒng)分析框圖圖6.1-1所示信號(hào)與系統(tǒng)分析框圖中，有激勵(lì)、系統(tǒng)特性、響應(yīng)三個(gè)變量，描述它們的有時(shí)域、頻域、復(fù)頻域三種方法。需要研究的主要問題有：（1）各變量的各種不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；（2）三個(gè)變量之間的關(guān)系(已知其中兩個(gè)求解出第三個(gè))。因?yàn)榇嬖谶B續(xù)變量與離散變量兩類不同信號(hào)的描述，為此有連續(xù)與離散兩類不同的傳輸、處理系統(tǒng)。本書采用先連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)分析，后離散信號(hào)與系統(tǒng)分析的編排順序。6.2信號(hào)的描述與分類

本書討論的信號(hào)是隨時(shí)間變化的電壓或電流。因?yàn)樾盘?hào)隨時(shí)間變化，可以用數(shù)學(xué)上的時(shí)間函數(shù)表示，有時(shí)亦稱信號(hào)為函數(shù)f(t)，離散信號(hào)為序列x(n)，因此本書信號(hào)與函數(shù)、序列幾個(gè)名詞通用。信號(hào)的函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式、波形圖、數(shù)據(jù)表等表示，其中數(shù)學(xué)表達(dá)式、波形圖是最常用的表示形式。各種信號(hào)可以從不同角度進(jìn)行分類，常用的有以下幾種。

1.確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)

可以表示為確定時(shí)間函數(shù)的信號(hào)是確定性信號(hào)，也稱規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)、單脈沖信號(hào)、直流信號(hào)等。不能用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱其為隨機(jī)信號(hào)，如只知在某時(shí)刻取某值概率的便是隨機(jī)信號(hào)。從常識(shí)上講，確定性信號(hào)不包括有用的或新的信息。但確定性信號(hào)作為理想化模型，其基本理論與分析方法是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)統(tǒng)計(jì)特性可進(jìn)一步研究隨機(jī)信號(hào)。本書只涉及確定性信號(hào)。

2．周期信號(hào)與非周期信號(hào)

周期信號(hào)是依一定的時(shí)間間隔周而復(fù)始，無始無終的信號(hào)，一般表示為

f(t)=f(t+nT)

n=0,±1,…

(6.2-1)其中，T為最小重復(fù)時(shí)間間隔，也稱周期。不滿足式(6.2-1)這一關(guān)系的信號(hào)為非周期信號(hào)。

3．連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)按函數(shù)的獨(dú)立變量(自變量)取值的連續(xù)與否，可將信號(hào)分為連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)。本書默認(rèn)獨(dú)立變量(自變量)為時(shí)間，實(shí)際工程中可為非時(shí)間變量。連續(xù)時(shí)間信號(hào)在所討論的時(shí)間內(nèi)，對(duì)任意時(shí)間值(除有限不連續(xù)點(diǎn)外)都可以給出確定的函數(shù)值。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的幅值可以是連續(xù)的(也稱模擬信號(hào))，也可以是離散的(只取某些規(guī)定值)，如圖6.2-1所示。圖6.2-1連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散信號(hào)亦稱序列，其自變量n是離散的，通常為整數(shù)。若是時(shí)間信號(hào)(可為非時(shí)間信號(hào))，它只在某些不連續(xù)的、規(guī)定的瞬時(shí)給出確定的函數(shù)值，其他時(shí)間沒有定義，其幅值可以是連續(xù)的也可以是離散的。如圖6.2-2所示。離散信號(hào)的幅值被量化，即只能取某些規(guī)定值(并被編碼)時(shí)，稱為數(shù)字信號(hào)，例如圖6.2-2中的x1(n)。本書不特別說明，一般離散信號(hào)與數(shù)字信號(hào)通用。圖6.2-2離散時(shí)間信號(hào)

4．能量信號(hào)與功率信號(hào)

為了了解信號(hào)能量或功率特性，常常研究信號(hào)f(t)（電壓或電流）在單位電阻上消耗的能量或功率。在(-T/2~T/2)區(qū)間信號(hào)的平均功率P為(6.2-2)在(-∞,∞)區(qū)間信號(hào)的能量E為(6.2-3)如果信號(hào)f(t)的能量有界，即0<E<∞，而平均功率P=0，它就是能量信號(hào)，例如單脈沖信號(hào)。如果信號(hào)f(t)的平均功率有界，即0<P<∞，而能量E趨于無窮大，那么它就是功率信號(hào)，例如周期正弦信號(hào)。如果某信號(hào)的能量E趨于無窮大，且功率P也趨于無窮大，那么它就是非能量非功率信號(hào)，例如e-at信號(hào)。也就是說，按能量信號(hào)與功率信號(hào)分類并沒有包括所有信號(hào)。

5.因果信號(hào)與非因果信號(hào)按信號(hào)所存在的時(shí)間范圍，可以把信號(hào)分為因果信號(hào)與非因果信號(hào)。當(dāng)t<0時(shí)，連續(xù)信號(hào)f(t)=0，則信號(hào)f(t)是因果信號(hào)，反之為非因果信號(hào)；當(dāng)n<0時(shí)，離散信號(hào)x(n)=0，則信號(hào)x(n)是因果信號(hào)，反之為非因果信號(hào)。6.3典型信號(hào)6.3.1常用連續(xù)信號(hào)

1.實(shí)指數(shù)信號(hào)實(shí)指數(shù)信號(hào)如圖6.3-1所示，其函數(shù)表達(dá)式為

f(t)=Aeat

(6.3-1)式中，a>0時(shí)，f(t)隨時(shí)間增長；a<0時(shí)，f(t)隨時(shí)間衰減；a=0時(shí)，f(t)不隨時(shí)間變化。常數(shù)A表示t=0時(shí)的初始值，|a|的大小反映信號(hào)隨時(shí)間增、減的速率。

圖6.3-1實(shí)指數(shù)信號(hào)

2.正弦信號(hào)

正弦信號(hào)也包括余弦信號(hào)，二者只在相位上相差π/2。圖6.3-2正弦信號(hào)一般正弦信號(hào)如圖6.3-2所示，表示為

f(t)=Asin(ωt+θ)

(6.3-2)其中，A是振幅、ω是角頻率、θ是初相。周期，T是頻率f的倒數(shù)。

3.復(fù)指數(shù)信號(hào)

f(t)=Aest

(6.3-3)其中，s=σ+jω為復(fù)數(shù)，σ為實(shí)部系數(shù)，ω為虛部系數(shù)。借用歐拉公式：

Aest=Ae(σ+jω)t=Aeσtejωt=Aeσtcosωt+jAeσtsinωt（6.3-4）4.Sa(t)信號(hào)(抽樣信號(hào))

Sa(t)信號(hào)定義為

(6.3-5)

不難證明，Sa(t)信號(hào)是偶函數(shù)，當(dāng)t→±∞時(shí)，振幅衰減，且f(±nπ)=0，其中n為整數(shù)。Sa(t)信號(hào)如圖6.3-3所示。實(shí)際遇到的多為Sa(at)信號(hào)，表達(dá)式為

(6.3-6)

Sa

(at)波形如圖6.3-4所示。圖6.3-3

Sa(t)信號(hào)圖6.3-4

Sa(at)信號(hào)一些信號(hào)或其導(dǎo)數(shù)、積分有間斷（跳變）點(diǎn)，這樣的信號(hào)也稱為奇異函數(shù)（信號(hào)）。下面介紹的階躍信號(hào)與沖激信號(hào)是典型的奇異信號(hào)。6.3.2奇異信號(hào)

1.單位階躍信號(hào)ε(t)

定義單位階躍信號(hào)ε(t)如圖6.3-5(a)所示。大多數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)教材選用u(t)作為單位階躍信號(hào)的符號(hào)，考慮到容易與電壓源u(t)混淆，本書用ε(t)表示單位階躍信號(hào)。

(6.3-7)圖6.3-5單位階躍信號(hào)

(a)單位階躍信號(hào)ε(t);(b)階躍信號(hào)ε(t-t0)描述任一時(shí)刻t=t0時(shí)的階躍信號(hào)記為ε(t-t0)，表示式為階躍信號(hào)ε(t-t0)如圖6.3-5(b)所示。利用單位階躍信號(hào)ε(t)可以很方便地以數(shù)學(xué)函數(shù)描述信號(hào)的接入(開關(guān))特性或因果(單邊)特性。(6.3-8)(6.3-9)

例6.3-1用階躍信號(hào)表示如圖6.3-6所示的有限時(shí)寬正弦信號(hào)。圖6.3-6有限時(shí)寬正弦信號(hào)

2.單位沖激函數(shù)δ(t)有幾種不同定義沖激信號(hào)δ(t)的方法，最常見的是利用偶對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)取極限，思路可用圖6.3-7說明。圖6.3-7矩形脈沖的極限為沖激函數(shù)這是一個(gè)寬度為τ，幅度為的對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)。當(dāng)保持矩形脈沖面積不變，而令寬度τ→0時(shí)，其幅度1/τ趨于無窮大，這個(gè)極限即為單位沖激函數(shù)，亦稱為狄拉克函數(shù)，記為δ(t)。用矩形脈沖取極限表示的單位沖激函數(shù)為(6.3-10)單位沖激函數(shù)更一般的定義是(6.3-11)單位沖激函數(shù)的波形用箭頭表示，如圖6.3-8所示。描述任一時(shí)刻t=t0時(shí)的沖激函數(shù)記為δ(t-t0)，表示式為(6.3-12)由于沖激函數(shù)的幅值為無窮大，所以定義式(6.3-11)δ(t)的積分值(面積)為沖激強(qiáng)度，如4δ(t)、Aδ(t)。作圖時(shí)強(qiáng)度一般標(biāo)在箭頭旁，如圖6.3-9所示Aδ(t-t0)。圖6.3-8沖激函數(shù)沖激函數(shù)還具有如下運(yùn)算性質(zhì):

1)取樣性或“篩選”若f(t)是在t=0及t=t0處連續(xù)的有界函數(shù)，則(6.3-13)以及(6.3-14)式(6.3-14)表明沖激函數(shù)具有取樣（篩選）特性。如果要從連續(xù)函數(shù)f(t)抽取任一時(shí)刻的函數(shù)值f(t0)，只要乘以δ(t-t0)，并在(-∞,∞)區(qū)間積分即可。同理(6.3-15)

2)偶函數(shù)

δ(t)=δ(-t)

(6.3-16)證

3)與單位階躍函數(shù)ε(t)互為積分、微分關(guān)系(6.3-17)(6.3-18)例6.3-2計(jì)算

(1)costδ(t)

(2)

解：(1)因?yàn)閏os0=1,所以

costδ(t)=δ(t)

(2)因?yàn)?t2+2t+1)|t=0=1，所以

3.單位斜坡函數(shù)R(t)單位斜坡函數(shù)波形如圖6.3-10所示，定義為(6.3-19)任意時(shí)刻的斜坡函數(shù)如圖6.3-11所示，表示為=(t

t0)

(t

t0)(6.3-20)圖6.3-10

R(t)單位斜坡函數(shù)與階躍函數(shù)ε(t)互為微分、積分關(guān)系，即(6.3-21a)(6.3-21b)例6.3-3

f(t)如圖6.3-12所示，由奇異信號(hào)描述f(t)。

解：f(t)=(t+2)[ε(t+2)-ε(t)]+(-t+2)[ε(t)-ε(t-2)]

=R(t+2)-2R(t)+R(t-2)圖6.3-12例6.3-3f(t)

4.單位門函數(shù)gτ(t)單位門函數(shù)gτ(t)是以原點(diǎn)為中心，時(shí)寬為τ，幅度為1的矩形單脈沖信號(hào)，波形如圖6.3-13所示。(6.3-22)

5.單位符號(hào)函數(shù)sgn(t)單位符號(hào)函數(shù)是t>0時(shí)為1，t<0時(shí)為-1的函數(shù)，波形如圖6.3-14所示。=2

(t)1=

(

t)+

(t)(6.3-23)圖6.3-13單位門函數(shù)gτ(t)圖6.3-14單位符號(hào)函數(shù)sgn(t)6.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算

在信號(hào)的傳輸與處理過程中，往往需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，一些電子器件被用來實(shí)現(xiàn)這些變換功能，并且可以用相應(yīng)的信號(hào)運(yùn)算表示。這樣的信號(hào)運(yùn)算主要有三類，一是時(shí)移、折疊、尺度；二是微分與積分，最后是信號(hào)的相加與相乘。下面分別討論這三類信號(hào)運(yùn)算。6.4.1時(shí)移、折疊、尺度

信號(hào)的時(shí)移也稱信號(hào)的位移、時(shí)延。將信號(hào)f(t)的自變量t用t-t0替換，得到的信號(hào)f(t-t0)就是f(t)的時(shí)移，它是f(t)的波形在時(shí)間t軸上整體移位t0。若t0>0，f(t)的波形在時(shí)間t軸上整體右移t0；若t0<0，f(t)的波形在時(shí)間t軸上整體左移t0，如圖6.4-1(b)、(c)所示。圖6.4-1信號(hào)的時(shí)移將f(t)的自變量t用-t替換，得到的信號(hào)f(-t)是f(t)的折疊信號(hào)。f(-t)的波形是f(t)的波形以t=0為軸反折，所以也稱時(shí)間軸反轉(zhuǎn)，如圖6.4-2所示。圖6.4-2信號(hào)的折疊將f(t)的自變量t用at(a≠0)替換，得到f(at)稱為f(t)的尺度變換，其波形是f(t)波形在時(shí)間t軸上的壓縮或擴(kuò)展。若|a|>1，波形在時(shí)間t軸上壓縮；|a|<1，波形在時(shí)間t軸上擴(kuò)展，故信號(hào)的尺度變換又稱為信號(hào)的壓縮與擴(kuò)展。例如假設(shè)f(t)=sinω0t是正常語速的信號(hào)，則f(2t)=sin(2ω0t)=f1(t)是兩倍語速的信號(hào)，而f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)是降低一半語速的信號(hào)。雖然f1(t)與f2(t)在時(shí)間軸上被壓縮或擴(kuò)展，但幅度均沒有變化，如圖6.4-3所示。圖6.4-3信號(hào)的尺度變換6.4.2微分與積分微分是對(duì)f(t)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，表示為(6.4-1)信號(hào)經(jīng)過微分后突出了變化部分，如圖6.4-4所示。圖6.4-4信號(hào)的微分運(yùn)算積分是在(-∞,t)區(qū)間對(duì)f(t)作變上限積分，表示式為(6.4-2)式中，積分上限t是參變量。信號(hào)經(jīng)過積分后平滑了變化部分，如圖6.4-5所示。圖6.4-5信號(hào)的積分運(yùn)算6.4.3信號(hào)的加(減)、乘(除)信號(hào)的相加(減)或相乘(除)是信號(hào)瞬時(shí)值相加(減)或相乘(除)。f1(t)±f2(t)是兩個(gè)信號(hào)瞬時(shí)值相加(減)形成的新信號(hào)；f1(t)·f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)·[1/f2(t)]是兩個(gè)信號(hào)瞬時(shí)值相乘形成的新信號(hào)。例6.4-1如圖6.4-6(a)所示的f1(t)和f2(t)，求f1(t)+f2(t)、f

1(t)·f2(t)。解：(1)利用直線加直線等于直線，先分別將f1(t)、f2(t)不同直線段的端點(diǎn)相加。其中f1(-2)+f2(-2)=1;f1(-1)+f2(-1)=2;f1(0-)+f2(0-)=1;f1(0+)+f2(0+)=0;f1(3)+f2(3)=-1。

(2)利用信號(hào)乘以1不變，乘以-1對(duì)橫軸反折，可得f1(t)·f2(t)如圖6.4-6(c)所示。圖6.4-6例6.4-3信號(hào)的相加與相乘6.5連續(xù)信號(hào)的分解

信號(hào)分析最重要的方法之一是將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為多個(gè)簡單(基本)信號(hào)分量（信號(hào)元）之和，正如在力學(xué)問題中將任意方向的力分解為幾個(gè)分力一樣。從不同的角度可以將信號(hào)分解為不同的分量。本節(jié)只討論四種基本的信號(hào)時(shí)域分解。6.5.1規(guī)則信號(hào)的分解

一般規(guī)則信號(hào)可以分解為若干簡單信號(hào)的組合。下面舉例說明規(guī)則信號(hào)的分解。

例6.5-1

用簡單信號(hào)表示如圖6.5-1所示信號(hào)f(t)。圖6.5-1

(a)例6.5-1信號(hào)；(b)例6.5-1信號(hào)的分解解:f(t)可以分解為四個(gè)不同時(shí)刻出現(xiàn)的階躍函數(shù)，表示為f(t)=ε(t+2)+ε(t+1)-ε(t-1)-ε(t-2)或如圖6.5-1(b)所示，將f(t)分解為兩個(gè)寬度不同的門函數(shù)，表示為f(t)=f1(t)+f2(t)=[ε(t+2)-ε(t-2)]+[ε(t+1)-ε(t-1)]=g4(t)+g2(t)6.5.2信號(hào)的直流與交流分解信號(hào)可以分解為直流分量fD(t)與交流分量fA(t)之和，即f(t)=fD(t)+fA(t)(6.5-1)信號(hào)直流分量fD(t)是信號(hào)的平均值。信號(hào)f(t)除去直流分量fD(t)，剩下的即為交流分量fA(t)。6.5.3信號(hào)的奇偶分解

這種分解方法是將實(shí)信號(hào)分解為偶分量與奇分量。這樣分解的優(yōu)點(diǎn)是可以充分利用偶函數(shù)與奇函數(shù)的對(duì)稱性簡化信號(hào)運(yùn)算。偶分量定義

fe(t)=fe(-t)(6.5-2)

奇分量定義fo(t)=-fo(-t)

(6.5-3)

任意信號(hào)f(t)可分解為偶分量與奇分量之和，因?yàn)?6.5-4)其中，(6.5-5)(6.5-6)6.5.4任意信號(hào)的脈沖分解

任意信號(hào)的脈沖分解方法之一，是將沖激信號(hào)作為基本信號(hào)元，將任意信號(hào)分解為無窮多個(gè)沖激信號(hào)。這樣分解的優(yōu)點(diǎn)是基本信號(hào)元的波形簡單，響應(yīng)的求解相對(duì)容易，并且可以充分利用LTI系統(tǒng)的疊加、比例與時(shí)不變性，方便地求解復(fù)雜信號(hào)的響應(yīng)。如圖6.5-2所示，任意信號(hào)f(t)分解為沖激信號(hào)之和的思路是：先把信號(hào)f(t)分解成寬度為Δt的矩形窄脈沖之和，任意時(shí)刻kΔt的矩形脈沖幅度為f(kΔt)，再令窄脈沖寬度Δt→0。

圖6.5-2信號(hào)分解為脈沖之和為使分析簡單，假設(shè)f(t)為因果信號(hào)。這樣f0(t)=f(0)[

(t)

(t

t)]f1(t)=f(

t)[

(t

t)

(t

2

t)]fk(t)=f(k

t)[

(t

k

t)

(t

(k+1)

t)]

信號(hào)f(t)可近似表示為f(t)

f0(t)+f1(t)+f2(t)

+

fk(t)+

令窄脈沖寬度Δt→0，并對(duì)其取極限，求和運(yùn)算變?yōu)榉e分運(yùn)算。于是，用沖激函數(shù)表示任意信號(hào)的積分形式為將積分下限改為-∞，式(6.5-7)可以表示非因果信號(hào)。(6.5-7)6.6系統(tǒng)及其響應(yīng)

6.6.1系統(tǒng)

系統(tǒng)所涉及的范圍十分廣泛，包括大大小小有聯(lián)系的事物組合體。如物理系統(tǒng)、非物理系統(tǒng)、人工系統(tǒng)、自然系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。系統(tǒng)具有層次性，可以由系統(tǒng)嵌套系統(tǒng)；對(duì)某一系統(tǒng)，其外部更大的系統(tǒng)稱為環(huán)境，所包含的更小系統(tǒng)為子系統(tǒng)。因?yàn)楸緯婕暗氖请娦盘?hào)，所以本書的系統(tǒng)是產(chǎn)生信號(hào)或?qū)π盘?hào)進(jìn)行傳輸、處理、變換的電路(往往也稱為網(wǎng)絡(luò))系統(tǒng)。本書將用具體電路作為系統(tǒng)的例子，討論信號(hào)的傳輸、處理、變換等內(nèi)容，而本章主要討論連續(xù)系統(tǒng)的相關(guān)問題。我們所涉及的系統(tǒng)，其功能是將輸入信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)樗璧妮敵鲂盘?hào)，如圖6.6-1所示。其中f(t)是系統(tǒng)的輸入(激勵(lì))，y(t)是系統(tǒng)的輸出(響應(yīng))。為敘述簡便，激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系也常表示為f(t)→y(t)，其中“→”表示系統(tǒng)的作用。圖6.6-1信號(hào)與系統(tǒng)分析框圖6.6.2系統(tǒng)的初始狀態(tài)

在討論連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)前，先討論連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(條件)，其基本概念也可用于離散系統(tǒng)。“初始”實(shí)際是一個(gè)相對(duì)時(shí)間，通常是一個(gè)非零的電源接入電路系統(tǒng)或電路發(fā)生“換路”的瞬間，可將這一時(shí)刻記為t=t0。為討論問題方便，本書一般將t0=0記為“初始”時(shí)刻；并用0-表示系統(tǒng)“換路”前系統(tǒng)儲(chǔ)能的初始狀態(tài)，用0+表示“換路”后系統(tǒng)響應(yīng)的初始條件。下面以電容、電感的電壓、電流關(guān)系理解系統(tǒng)初始狀態(tài)與初始條件的概念。例6.6-1如圖6.6-2所示簡單電路系統(tǒng)，已知激勵(lì)電流i(t)，求響應(yīng)uC(t)。圖6.6-2例6.6-1簡單電路由電容的電壓、電流關(guān)系(6.6-1)式(6.6-1)是一階線性微分方程，解此方程可得響應(yīng)為(6.6-2)式(6.6-2)說明電容電壓與過去所有時(shí)刻流過電容的電流有關(guān)，所以也稱電容為動(dòng)態(tài)(記憶、儲(chǔ)能)元件。要知道電容器全部時(shí)刻的電流iC(t)是不實(shí)際的，所以要計(jì)算uC(t),一般是由已知0+時(shí)刻開始到所要計(jì)算時(shí)刻t的iC(t)，以及此時(shí)刻前的電容電壓uC(0+)來確定，即(6.6-3)式(6.6-3)中只有已知t>0時(shí)的iC(t)以及系統(tǒng)的初始條件uC(0+)，才能求解t>0時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)uC(t)。而uC(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)uC(0-)密切相關(guān)。uC(0-)包含了iC(t)在時(shí)刻t=0-以前的全部作用，反映了系統(tǒng)在該時(shí)刻的儲(chǔ)能。由電容與電感的對(duì)偶關(guān)系，不難得到(6.6-4)以及(6.6-5)與電容情況相同，式(6.6-5)表明電感也為動(dòng)態(tài)(記憶、儲(chǔ)能)元件。只有已知t>0時(shí)的電感電壓uL(t)以及系統(tǒng)的初始條件iL(0+)，才能求解t>0時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)iL(t)。同樣地，iL(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)iL(0-)密切相關(guān)，iL(0-)反映了電壓uL(t)在時(shí)刻t=0-以前的全部作用，是系統(tǒng)在該時(shí)刻的儲(chǔ)能。6.6.3系統(tǒng)的響應(yīng)

可由引起響應(yīng)的不同原因來定義系統(tǒng)響應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為零，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)(儲(chǔ)能)產(chǎn)生的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)，記為yzi(t)；當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(儲(chǔ)能)為零，僅由系統(tǒng)激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，記為yzs(t)。本書系統(tǒng)以最高二階為例討論相關(guān)問題，n階系統(tǒng)的響應(yīng)可以類推。若系統(tǒng)是由二階線性微分方程描述的，則求解響應(yīng)除了激勵(lì)外，還必須知道系統(tǒng)的兩個(gè)初始條件。二階線性微分方程的一般形式為(6.6-6)當(dāng)給定y(0+),y′(0+)及f(t)，可以得到二階線性微分方程的完全解。y(0+),y′(0+)是解二階系統(tǒng)微分方程所需要的標(biāo)準(zhǔn)初始條件。本書將儲(chǔ)能元件的初始值簡稱為初始狀態(tài)，這樣的初始狀態(tài)反映了系統(tǒng)儲(chǔ)能的情況。二階電路系統(tǒng)中，初始狀態(tài)是電感電流iL(0-)或電容電壓uC(0-)，簡寫為{xk(0-)}(k=1,2)或{xk(0-)}。{xk(0-)}是足以求解零輸入響應(yīng)的已知條件。它為求t>0的系統(tǒng)響應(yīng)提供了以往儲(chǔ)能的全部信息。通過一定的轉(zhuǎn)換，可由{xk(0-)}得到標(biāo)準(zhǔn)初始條件{y(0+),y′(0+)}，由此確定的響應(yīng)是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。因?yàn)榱爿斎腠憫?yīng)是由初始狀態(tài){xk(0-)}產(chǎn)生的，零狀態(tài)響應(yīng)是由激勵(lì)f(t)引起的，所以也有教材將零輸入響應(yīng)記為yx(t),零狀態(tài)響應(yīng)記為yf(t)。6.7系統(tǒng)的分類與信號(hào)相似，從不同角度出發(fā)可將系統(tǒng)分為若干類型。如處理連續(xù)信號(hào)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；處理離散信號(hào)的離散時(shí)間系統(tǒng)；系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)儲(chǔ)能狀態(tài)無關(guān)的即時(shí)系統(tǒng)；系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)儲(chǔ)能狀態(tài)相關(guān)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；集中參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)；可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)等。本書只討論最常見的系統(tǒng)劃分及其組合。6.7.1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)含有動(dòng)態(tài)元件的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如RC、RL電路。沒有動(dòng)態(tài)元件的系統(tǒng)是靜態(tài)系統(tǒng)，也稱即時(shí)系統(tǒng)，如純電阻電路。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，還與該時(shí)刻系統(tǒng)的儲(chǔ)能有關(guān)；靜態(tài)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)。描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為微分方程，描述靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為代數(shù)方程。6.7.2因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)滿足在任意時(shí)刻的響應(yīng)y(t)僅與該時(shí)刻以及該時(shí)刻以前的激勵(lì)有關(guān)，而與該時(shí)刻以后的激勵(lì)無關(guān)。也可以說，因果系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)引起的，激勵(lì)是響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激勵(lì)的結(jié)果；響應(yīng)不會(huì)發(fā)生在激勵(lì)加入之前，系統(tǒng)不具有預(yù)知未來響應(yīng)的能力。例如系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)的關(guān)系為，是一階微分方程，而響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系是積分關(guān)系，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。響應(yīng)與激勵(lì)具有因果關(guān)系的連續(xù)系統(tǒng)也稱為物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。如果響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng),也稱為物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，書中一般不特別指明均為因果系統(tǒng)。例如圖6.7-1(a)所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y1(t)=f1(t-1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之后，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；如圖6.7-1(b)所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y2(t)=f2(t+1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，是非因果系統(tǒng)。圖6.7-1

（a）因果系統(tǒng)；（b）非因果系統(tǒng)一般由模擬元器件如電阻、電容、電感等組成的實(shí)際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。在數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)功能，可以逼近非因果系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)無法完成的功能。這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的一個(gè)重要方面。對(duì)于因果系統(tǒng)，在因果信號(hào)激勵(lì)下，響應(yīng)也是因果信號(hào)。6.7.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也稱模擬系統(tǒng)；激勵(lì)與響應(yīng)均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)是離散時(shí)間系統(tǒng)，也稱數(shù)字系統(tǒng)。隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展與普及，越來越多的系統(tǒng)是由連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)組合而成的混合系統(tǒng)，如圖6.7-2所示的就是混合系統(tǒng)。圖6.7-2混合系統(tǒng)6.7.4線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)“線性”在數(shù)學(xué)上是滿足疊加性與比例(齊次或均勻)性的系統(tǒng)。與第4章討論線性電路條件不同的是：從本章開始要考慮影響系統(tǒng)響應(yīng)的所有因素，即除了系統(tǒng)的激勵(lì)之外，還有系統(tǒng)的儲(chǔ)能，所以線性系統(tǒng)必須同時(shí)滿足下面三個(gè)條件。

1.分解性

系統(tǒng)的響應(yīng)有不同的分解形式，其中線性系統(tǒng)的響應(yīng)一定可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)響應(yīng)可表示為y(t)=yzi(t)+yzs(t)

(6.7-1)

式中，yzi(t)是零輸入響應(yīng)，yzs(t)是零狀態(tài)響應(yīng)。

2.零輸入線性輸入為零時(shí)，由各初始狀態(tài){x1(0-),x2(0-)}引起的響應(yīng)滿足疊加性與比例性，若x1(0-)→yzi1(t)，x2(0-)→yzi2(t)

t≥0則ax1(0-)+bx2(0-)→ayzi1(t)+byzi2(t)t≥0(6.7-2)式(6.7-2)可用圖6.7-3所示的方框圖表示。圖6.7-3零輸入線性

3.零狀態(tài)線性

初始狀態(tài)為零時(shí)，由激勵(lì)f1(t),f2(t)引起的響應(yīng)具有疊加性與比例性(均勻性)，若f1(t)→yzs1(t)，f2(t)→yzs2(t)則

af1(t)+bf2(t)→ayzs1(t)+byzs2(t)(6.7-3)式(6.7-3)可由圖6.7-4所示的方框圖表示。圖6.7-4零狀態(tài)線性例6.7-1已知系統(tǒng)輸入f(t)與輸出y(t)關(guān)系如下，判斷系統(tǒng)是否線性。

(1)y(t)=3x(0-)f(t)ε(t)

(2)y(t)=4x(0-)+2f2(t)ε(t)

(3)

解:(1)不滿足可分解性，是非線性系統(tǒng)。

(2)不滿足零狀態(tài)線性，是非線性系統(tǒng)。

(3)滿足可分解性、零輸入線性、零狀態(tài)線性，所以是線性系統(tǒng)。6.7.5時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)

從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的是時(shí)不變系統(tǒng)，也稱非時(shí)變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化的是時(shí)變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。從系統(tǒng)響應(yīng)來看，時(shí)不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加入的時(shí)刻無關(guān)。即在{x1(0),x2(0)}時(shí)，f(t)→y(t)，則在{x1(t0)=x1(0),x2(t0)=x2(0)}時(shí)，

f(t-t0)→y(t-t0)(6.7-4)時(shí)不變系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系可由圖6.7-5表示。從圖6.7-5可見，當(dāng)激勵(lì)延遲一段時(shí)間t0加入時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，輸出響應(yīng)亦延時(shí)t0才出現(xiàn)，并且波形變化的規(guī)律不變。圖6.7-5時(shí)不變系統(tǒng)例6.7-2已知系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系如下，判斷是否是時(shí)不變系統(tǒng)。y(t)=cos(3t)·x(0)+2t·f(t)ε(t)

解：初始狀態(tài)x(0)與激勵(lì)f(t)ε(t)的系數(shù)均不是常數(shù)，所以是時(shí)變系統(tǒng)。6.7.6線性非時(shí)變系統(tǒng)

如圖6.7-6所示系統(tǒng)框圖。圖中T［］是將輸入信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂盘?hào)的運(yùn)算關(guān)系，可表示為y(t)=T[f(t)]圖6.7-6系統(tǒng)框圖表示系統(tǒng)運(yùn)算關(guān)系T[]既滿足線性又滿足時(shí)不變性的是線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡寫為LTI系統(tǒng)。對(duì)LTI系統(tǒng)的分析具有重要意義，因?yàn)長TI系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中相當(dāng)普遍，或在一定條件范圍內(nèi)一些非LTI系統(tǒng)可近似為LTI系統(tǒng)；尤其是LTI系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)形成了完整、嚴(yán)密的理論體系。而非線性系統(tǒng)的分析迄今沒有統(tǒng)一通用的分析方法，只能對(duì)具體問題具體地討論。此后，如不特別說明，本書涉及的均是LTI系統(tǒng)。利用LTI系統(tǒng)具有的疊加、比例與時(shí)不變特性，可推得LTI系統(tǒng)具有微分特性：若f(t)→y(t)，則證若f(t)→y(t),由時(shí)不變性，輸入時(shí)移t0，輸出也時(shí)移t0，得到f(t-t0)→y(t-t0)（6.7-5）由疊加性，輸入為兩項(xiàng)疊加，輸出也為兩項(xiàng)疊加，得到f(t)

f(t

t)y(t)y(t

t)再由比例性，輸入乘1/Δt，輸出也乘1/Δt，得到對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限得到這個(gè)性質(zhì)說明，當(dāng)系統(tǒng)的輸入是原信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，LTI系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)論可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)與積分，即若f(t)→y(t)，則(n為正整數(shù))(6.7-6)(6.7-7)式(6.7-6)與式(6.7-7)表示當(dāng)系統(tǒng)的輸入是原信號(hào)的n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)的n階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是原信號(hào)的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)的積分。LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性如圖6.7-7所示。圖6.7-7

LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性6.8

LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子

要分析LTI系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后再討論分析方法。6.8.1建立LTI系統(tǒng)模型

由具體電路模型可以討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。

例6.8-1如圖6.8-1所示RL串聯(lián)電路，f(t)為激勵(lì)信號(hào)，響應(yīng)為i(t)，試寫出其微分方程。圖6.8-1

RL串聯(lián)電路解：這是有一個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的一階系統(tǒng)，利用KVL列回路方程，可得

上式是一階線性微分方程。一般由n個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件組成的系統(tǒng)是n階系統(tǒng)，可以用n階微分方程描述(或n個(gè)一階微分方程組描述)。為突出重點(diǎn)，本書所涉及的系統(tǒng)最高一般為二階，掌握了二階系統(tǒng)的分析方法，推廣到高階系統(tǒng)也就不難了。6.8.2用算子符號(hào)表示微分方程

二階LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是二階線性常系數(shù)微分方程，一般表示為(6.8-1)式(6.8-1)的一般形式書寫不方便，為了形式上簡潔可以將微、積分方程中的微、積分運(yùn)算用算子符號(hào)p與1/p表示，由此得到的方程稱為算子方程。微分算子,(6.8-2),(6.8-3)積分算子,(6.8-4)這樣，例6.8-1電路的微分方程(代入?yún)?shù))可以表示為5i(t)+pi(t)=e(t)式(6.8-1)的二階線性微分方程可以用算子表示為

p2y(t)+a1py(t)+a0y(t)=b2p2f(t)+b1pf(t)+b0f(t)

(6.8-5)上式是算子方程。算子方程中的每一項(xiàng)表示的是運(yùn)算關(guān)系，而不是代數(shù)運(yùn)算。不過模仿代數(shù)運(yùn)算，可以將上式寫為

(p2+a1p+a0)y(t)=(b2p2+b1p+b0)f(t)(6.8-6)式(6.8-6)是二階線性微分方程的算子方程。在這里，利用了提取公因子的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則。若再令D(p)=p2+a1p+a0(6.8-7a)N(p)=b2p2+b1p+b0(6.8-7b)稱D(p)、N(p)分別為分母、分子算子多項(xiàng)式，則式(6.8-6)可簡化為

D(p)y(t)=N(p)f(t)(6.8-8)式(6.8-8)還可以進(jìn)一步改寫為(6.8-9)注意上式中分母多項(xiàng)式D(p)表示對(duì)輸出y(t)的運(yùn)算關(guān)系，分子多項(xiàng)式N(p)表示對(duì)輸入f(t)的運(yùn)算關(guān)系，而不是兩個(gè)多項(xiàng)式相除的簡單代數(shù)關(guān)系。6.8.3用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型比較方便，這種方法簡稱算子法。它是將電路中所有動(dòng)態(tài)元件用算子符號(hào)表示，得到算子電路；然后利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方程；再將算子方程轉(zhuǎn)換為微分方程。電感的算子表示可由其電壓電流關(guān)系得到，因?yàn)?6.8-10)式中Lp是電感算子符號(hào)，可以理解為廣義的電感感抗，式(6.8-10)可以理解為廣義的歐姆定律。同理，由電容上的電壓電流關(guān)系得到(6.8-11)式中,1/Cp是電容算子符號(hào)，可以理解為廣義的電容容抗，式(6.8-11)也可以理解為廣義歐姆定律。將動(dòng)態(tài)元件用算子符號(hào)表示，可以得到算子電路。下面舉例說明由算子電路列寫系統(tǒng)的算子方程的方法。

例6.8-2如圖6.8-1所示RL串聯(lián)電路，輸入為f(t)，輸出為電流i(t)，用算子法列出系統(tǒng)的算子方程。解：將圖6.8-1中的電感用算子符號(hào)表示，得到算子電路如圖6.8-2所示，利用廣義KVL列出算子方程式為

(p+5)i(t)=f(t)結(jié)果與例6.8-1相同。6.9

LTI因果系統(tǒng)的時(shí)域分析

LTI系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。下面分別討論兩種響應(yīng)的時(shí)域求解方法。6.9.1零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)與激勵(lì)無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。將f(t)=0，代入式(6.8-8)的算子方程，得到D(p)y(t)=0(6.9-1)式(6.9-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為特征根。我們先討論一階齊次微分方程的一般情況，再討論二階齊次微分方程的一般情況。一階齊次微分方程為由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零輸入響應(yīng)）的一般形式為y(t)=y(0)eλt

t>0

(6.9-3)(6.9-2)由式(6.9-3)推知，此時(shí)解的一般模式取決于特征根λ，而解的系數(shù)由初始條件確定。二階齊次微分方程的一般算子形式為(6.9-4)由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二階系統(tǒng)的兩個(gè)特征根λ1、λ2與一階齊次微分方程相同，二階齊次微分方程解的模式取決于特征根λ1、λ2，表達(dá)式為t>0(6.9-5)式中系數(shù)C1、C2由兩個(gè)初始條件y(0)、y′(0)確定。(6.9-6)解此方程組，求出C1、C2，從而確定了二階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。以上是二階系統(tǒng)特征根不同的情況，如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，是二階重根，此時(shí)二階齊次微分方程解的形式為

y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(6.9-7)系數(shù)C1、C2仍由兩個(gè)初始條件y(0)、y′(0)確定例6.9-1已知系統(tǒng)的傳輸算子，初始條件y(0)=1、y′(0)=2，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：，特征根λ1=-3,λ2=-4

由式(6.9-5)，零輸入響應(yīng)形式為

將特征根及初始條件y(0)=1,y′(0)=2代入式(6.9-6)

yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0解出yzi(t)=6e

3t

5e

4t

t>06.9.2單位沖激響應(yīng)h(t)輸入為單位沖激信號(hào)δ(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，如圖6.9-1所示。h(t)由傳輸算子表示為h(t)=H(p)δ(t)(6.9-8a)或記為δ(t)→h(t)(6.9-8b)

圖6.9-1單位沖激響應(yīng)h(t)二階線性系統(tǒng)的傳輸算子為(6.9-9)為分析簡便，突出求解單位沖激響應(yīng)的基本方法，假設(shè)H(p)的分母多項(xiàng)式D(p)為單根。將分母多項(xiàng)式D(p)分解，并代入式(6.9-8a)，得到將其展開為部分分式之和(6.9-10)式(6.9-10)中的系數(shù)k1、k2由待定系數(shù)法確定，此式表明一個(gè)二階系統(tǒng)可以分解為兩個(gè)一階子系統(tǒng)之和。由式(6.9-10)可分別得到一階系統(tǒng)的算子方程及微分方程為

(p-λi)hi(t)=kiδ(t)(i=1,2)得到一階子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般項(xiàng)為

(6.9-11)代入式(6.9-10)，二階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(6.9-12)表6.9-1列出了部分Hi(p)與其對(duì)應(yīng)的hi(t)，可以直接應(yīng)用。表6.9-1

Hi(p)對(duì)應(yīng)的hi(t)6.9.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲(chǔ)能）為零時(shí)，其響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)以及LTI系統(tǒng)的時(shí)不變性、比例性和積分特性，我們可以得到因果激勵(lì)下因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。由式(6.9-8b)δ(t)→h(t)利用LTI系統(tǒng)的時(shí)不變性：當(dāng)輸入移位τ時(shí)，輸出也移位τ，可以得到δ(t-τ)→h(t-τ)再由LTI系統(tǒng)的比例性，當(dāng)輸入乘以強(qiáng)度因子f(τ)時(shí)，輸出也乘以強(qiáng)度因子f(τ)，得到f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)最后由LTI系統(tǒng)的積分特性，若輸入信號(hào)是原信號(hào)的積分，輸出信號(hào)亦是原信號(hào)的積分，我們有(6.9-13)式(6.9-13)右邊得到的是因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。注意到，這種求解響應(yīng)的方法與以往求解微分方程不同，故稱之為時(shí)域法；又由于式(6.9-13)是數(shù)學(xué)卷積運(yùn)算的一種形式，因此也稱卷積法。當(dāng)已知f(t)、h(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可用式(6.9-13)的卷積計(jì)算。卷積計(jì)算時(shí)，積分變量為τ，t僅是參變量，作為常數(shù)處理。卷積計(jì)算的具體步驟：第一步是變量轉(zhuǎn)換，將f(t)變?yōu)閒(τ)、h(τ)變?yōu)閔(t-τ)；第二步是將f(τ)與h(t-τ)兩個(gè)函數(shù)相乘；第三步確定積分上、下限，也就是找到f(τ)h(t-τ)相乘后的非零值區(qū)；最后，對(duì)f(τ)h(t-τ)積分得出零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。6.9.4任意信號(hào)與δ(t)卷積

(1)任意函數(shù)與δ(t)卷積仍為原函數(shù)：f(t)*δ(t)=f(t)(6.9-14)證：

(2)任意函數(shù)與δ(t-t0)卷積，函數(shù)時(shí)移t0：f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)(6.9-15)證：例6.9-2已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=2e-tε(t)，輸入f(t)=δ(t-3)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解：yzs(t)=h(t)*f(t)=2e-tε(t)*δ(t-3)=2e-(t-3)

ε(t-3)6.9.5卷積的性質(zhì)

1.時(shí)移

f1(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=f1(t)*f2(t-t0)(6.9-16)

證：令τ-t0=x，代入上式，得當(dāng)f1(t)、f2(t)、f3(t)分別滿足可積條件，一些代數(shù)性質(zhì)也適合卷積運(yùn)算。

2.交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(6.9-17)

f2(t)*f1(