《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第4章

4.1線性電路4.2疊加定理4.3戴維南定理4.4諾頓定理4.5最大功率傳輸定理4.6對偶性習(xí)題四線性電路定理闡述了線性電路具有的基本性質(zhì)和一般性結(jié)論。學(xué)習(xí)這些定理不僅是為了認(rèn)識線性電路，更重要的是能夠把這些定理作為有效工具，利用它們?nèi)シ治龊徒鉀Q線性電路的問題。本章將學(xué)習(xí)幾個常用的線性電路定理，有疊加定理、戴維南定理、諾頓定理和最大功率傳輸定理。本章討論的諸定理只適用于線性電路。通過下面這個特例，了解什么是線性電路以及線性電路具有哪些基本性質(zhì)。4.1線性電路

例4.1-1電路如圖4.1-1(a)所示，求電流I。圖4.1-1例4.1-1電路

解：設(shè)參考節(jié)點與節(jié)點電壓U的參考方向，見圖4.1-1(a)。節(jié)點電壓方程為整理得則電流為(1)式(1)表述了電流I與電路中兩個獨立源之間的關(guān)系，從中不難看出，如果電路中沒有獨立源，即Us=0V，Is=0A，就沒有電流I；獨立源是產(chǎn)生電流I的“原因”，電流I是獨立源作用的“結(jié)果”，所以，式(1)揭示了電路中存在的因果關(guān)系，并且，隱含著兩個基本性質(zhì)。其一，如果令電流源Is=0，則圖(a)中的電流源斷開，對應(yīng)電路為圖(b)；這時，在電壓源Us單獨作用下，流過R1電阻的電流，這就是(1)式中的第一項；若令電壓源Us=0，圖(a)中的電壓源短路，對應(yīng)電路為圖(c)；在電流源Is單獨作用下，流過R1的電流，為式(1)中的第二項。式(1)告訴我們，在兩個獨立源共同作用下產(chǎn)生的電流I是每個獨立源單獨作用時產(chǎn)生電流的代數(shù)和，這就是疊加性。其二，若令，則Us與I′之間的因果關(guān)系又可表示為I′=k1Us。顯然，當(dāng)電壓源Us變化a倍時，電流I′要跟著變化a倍，為k1aUs=aI′。若令，則Is與I″之間的因果關(guān)系記為I″=k2Is；同樣，如果電流源Is變化b倍，電流I″也要變化b倍，這說明什么呢？說明因果之間存在著比例性。電流I與獨立源Us、Is之間的關(guān)系式(1)又可用I=k1Us+k2Is的線性方程描述。該電路既有疊加性又有比例性，因此，該電路是線性電路。

在以上分析中，闡述了三個非常重要的基本概念，現(xiàn)歸納如下：

1.疊加性(又稱為可加性)多個輸入(亦稱為激勵，指獨立源)共同作用下產(chǎn)生的輸出(亦稱為響應(yīng))是每個輸入單獨作用時產(chǎn)生輸出的代數(shù)和。若把在激勵e(t)作用下產(chǎn)生響應(yīng)r(t)用符號e(t)→r(t)表示，疊加性又可用符號敘述為

e1(t)→r1(t)

e2(t)→r2(t)則有e1(t)+e2(t)→r1(t)+r2(t)

2.比例性(又稱為齊次性)

當(dāng)激勵變化k倍時，響應(yīng)也同樣變化k倍。用符號敘述為e(t)→r(t)則有ke(t)→kr(t)

3.線性電路

同時具有疊加性和比例性的電路是線性電路。用符號敘述為

e1(t)→r1(t)

e2(t)→r2(t)則有k1e1(t)+k2e2(t)→k1r1(t)+k2r2(t)

注意：單有比例性或者是疊加性的電路不是線性電路。由電阻、受控源和獨立源組成的電路，如果電阻、受控源是線性元件，那么電路是線性的，稱為線性含源電阻電路。例4.1-2電路如圖4.1-2所示，求電流I5。分析：若用等效法，首先要從右往左推，求出12端口的等效電阻以及U12，再利用分壓公式逐步向右推出I5，這樣做比較麻煩。該電路是線性含源電阻電路，因此具有比例性。利用比例性減少運算量的分析思路是這樣的：假設(shè)I5

=1A，從右向左推，得出對應(yīng)的電流源Is

；這個電流源電流不是題中給出的值，然后求出比值k=Is/I

s

；根據(jù)比例性，激勵變化了k倍，為I

s=kI

s

，響應(yīng)同樣要變化k倍，為I5=kI5

=k

。圖4.1-2例4.1-2電路

解：設(shè)各個支路電流及參考方向如圖4.1-2所示。令I(lǐng)5

=1A，由圖可推知電流源的變化系數(shù)為則例4.1-3圖4.1-3中的網(wǎng)絡(luò)N是不含獨立源的線性電阻網(wǎng)絡(luò)，已測出如下的一組數(shù)據(jù)：當(dāng)Us=1V，Is=1A時，U=0V；當(dāng)Us=10V，Is=2A時，U=4V。求：Us=15V，Is=-5A時，U=？圖4.1-3例4.1-3電路

解：由題意知，這是含有兩個獨立源的線性電阻網(wǎng)絡(luò)，故兩個激勵I(lǐng)s和Us與響應(yīng)U之間存在著以下的線性關(guān)系U=k1Us+k2Is

把已測出的兩組數(shù)據(jù)代入上式，確定系數(shù)k1和k2，有0=k1+k2

4=10k1+2k2聯(lián)立兩個方程，解得k1=0.5k2=-0.5則激勵與響應(yīng)的線性方程為U=0.5(Us-Is)當(dāng)Us=15V，Is=-5A時，得U=0.5[15-(-5)]=10V4.2疊加定理

疊加定理闡述了線性電路的疊加性，它是許多線性電路分析方法的理論基礎(chǔ)，應(yīng)給予足夠的重視。疊加定理敘述為：任何具有唯一解的線性電路，響應(yīng)（指電路中各處的電壓或電流）等于每個獨立源單獨作用時產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。對疊加定理做以下的詮釋和理解：

(1)獨立源與受控源是兩種完全不同的源。如果電路中沒有獨立源，便沒有各支路電流、各處的電壓，也就沒有受控源的控制量；受控源的控制量不存在，受控源也就不存在了。所以，從因果關(guān)系上看，受控源不是產(chǎn)生電路響應(yīng)的“因”，獨立源才是電路的真正“源泉”。在應(yīng)用疊加定理時，受控源不能像獨立源一樣單獨作用，不能作為電路的激勵源。

(2)定理告訴我們，線性電路中各獨立源產(chǎn)生的響應(yīng)是互不影響的，因此，在分析多個獨立源共同作用下的電路響應(yīng)時，可以采用化整為零的方法，先分別求單個獨立源產(chǎn)生的響應(yīng)，再把這些部分響應(yīng)疊加起來，組成總響應(yīng)。當(dāng)某個獨立源單獨作用時，其他獨立源都要置零，即獨立電壓源短路，獨立電流源開路，受控源保留不變。

(3)響應(yīng)指電壓或電流，不包括功率。換句話說，疊加法僅限于計算電壓、電流，不能用于計算功率。因為功率是電壓(或電流)的二次函數(shù)，與激勵是非線性關(guān)系。例4.2-1

電路如圖4.2-1(a)所示，求流過電壓源的電流I和電壓源的功率。圖4.2-1例4.2-1電路解：運用疊加定理分析。

(1)10V電壓源單獨作用。在電壓源單獨作用時，獨立電流源置0，即4A電流源斷開，等效電路見圖4.2-1(b)。這時，電路元件呈串、并連接，可求得

(2)4A電流源單獨作用。在電流源單獨作用時，獨立電壓源置0，即10V電壓源短路，電路見圖4.2-1(c)。利用分流公式可求得

(3)疊加電流

(4)計算電壓源的功率歸納解題思路與要點：

(1)原電路是非串、非并連接的橋路結(jié)構(gòu)。運用疊加定理時，在某個獨立源單獨作用，另一個獨立源被置零的情況下，電路便呈現(xiàn)為簡單的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)，比原電路要容易分析得多?？梢姡茂B加定理分析電路，是用多次簡單電路的分析去替代一次復(fù)雜電路的分析。

(2)以上求功率的方法是：先用疊加定理求出流過電壓源的總電流I，再求功率。如果采用以下疊加法求功率，是錯誤的。電壓源單獨作用時，電壓源的功率為電流源單獨作用時，電壓源的功率為疊加功率為切記：不能用疊加定理求功率。

例4.2-2電路如圖4.2-2(a)所示，請用疊加定理求電流I1。圖4.2-2例4.2-2電路提示：(1)注意以下受控源的處理方法；(2)注意不同參考方向電量的疊加。

解：(1)10V電壓源單獨作用。5A電流源被斷開，受控電壓源保留，等效電路見圖4.2-2(b)。有列圖4.2-2(b)的網(wǎng)孔電壓方程解得4.3戴維南定理

戴維南定理的陳述：具有唯一解的線性單口含源電阻電路N(見圖4.3-1(a))，它對外電路的作用可用一個實際電壓源等效(見圖4.3-1(b))。電壓源電壓uoc等于電路N的端口開路電壓(見圖4.3-1(c))；串聯(lián)電阻R0等于電路N中所有獨立源置零時，ab端口的等效電阻(見圖4.3-1(d))。圖4.3-1戴維南定理的示意圖戴維南定理為我們提供了一種化簡含源電阻電路的方法。定理的第一句話陳述了一個結(jié)論：在一般情況下，由線性電阻、受控源和獨立源組成的單口電路，都可化簡為一個獨立電壓源與一個電阻串聯(lián)的電路結(jié)構(gòu)，我們把這種結(jié)構(gòu)也叫做戴維南等效電路。也就是說，不同單口含源電阻電路的最簡等效電路結(jié)構(gòu)都相同，差別僅是元件參數(shù)不同，因此，找最簡等效電路的工作就歸結(jié)為求元件參數(shù)uoc和R0。定理的第二句話給出了一種求這兩個元件參數(shù)的方法。確定獨立電壓源uoc的方法：斷開電路N的ab端口外接電路，此時，ab端口電壓被稱為開路電壓，記為uoc，該電壓就是電壓源電壓。確定電阻R0的方法：移去電路N的ab端口外接電路，把電路N內(nèi)部的獨立電壓源短路，獨立電流源斷開；如果電路N中有受控源，受控源保留；然后，求ab端口的等效電阻R0。在閱讀下面例題時，請注意解題步驟和不同電源的處理方法。

例4.3-1電路如圖4.3-2(a)所示，請用戴維南定理求端口的最簡等效電路。圖4.3-2例4.3-1電路原電路；(b)求Uoc電路；

(c)求R0電路；(d)原電路的等效電路解：第一步，求12端口的開路電壓Uoc。把10A電流源與20Ω電阻構(gòu)成的實際電流源等效變換成實際電壓源；當(dāng)12端口開路時，端口電流為0A；設(shè)網(wǎng)孔電流、端口開路電壓的參考方向如圖(b)所示。思路：列網(wǎng)孔電流方程，求I2；再通過歐姆定律Uoc=20I2求出開路電壓。網(wǎng)孔1的KVL方程

100I1-20I2=300

(1)

網(wǎng)孔2的KVL方程

-20I1+44I2=-100

(2)式(2)×5+式(1)，消去電流I1，解得I2=-1A則開路電壓為Uoc=20I2=-20V

第二步，求端口的等效電阻R0。把圖(a)中的電壓源短路，電流源斷開，得圖(c)純電阻電路。利用電阻串并聯(lián)化簡公式求端口等效電阻，有R0=(80∥20+4)∥20=10Ω

第三步，畫出戴維南等效電路。在畫等效電路時，要注意電壓源的方向。若Uoc>0，電壓源的極性與開路電壓的參考極性一致；若Uoc<0，電壓源的極性與開路電壓的參考極性相反。本題為第二種情況，電壓源的極性與圖(b)端口開路電壓的參考極性相反，戴維南等效電路見圖(d)。至此，已學(xué)過多種等效化簡電路的方法，請讀者再用其他方法驗證以上分析結(jié)果的正確性。

例4.3-2運用戴維南定理再求例4.2-1中的電流I。

圖4.3-3例4.3-2電路(a)原電路；(b)求Uoc；(c)求R0；(d)等效電路思路：求一條支路的電量常用等效化簡法。先把圖4.3-3(a)虛線左邊的單口電路化簡為一個實際電壓源，再根據(jù)簡化電路求I。由于虛線左端電路元件非串并連接，不能用第2章學(xué)習(xí)的串并聯(lián)等效變換法化簡電路，但該題可采用戴維南定理。

解：首先，化簡圖(a)虛線左邊的單口電路。第一步，求戴維南等效電路的開路電壓Uoc。斷開圖(a)中待求的10V電壓源支路，見圖(b)。當(dāng)端口電流I=0A時，原電路元件的連接情況有了變化。這時，流過6Ω電阻與R3電阻的是同一個電流，故為串聯(lián)。同樣，電阻R2與4Ω電阻串聯(lián)。設(shè)支路電流I2、I1以及開路電壓Uoc的參考方向如圖(b)所示。利用分流公式，得所以第二步，求端口的等效電阻R0。移去圖(a)中10V電壓源支路，斷開4A電流源，電路見圖(c)。注意，這時端口不是開路狀態(tài)。利用電阻串并聯(lián)化簡公式可得第三步，畫等效電路，見圖(d)。第四步，求電流I。根據(jù)圖(d)求得例4.3-3電路如圖4.3-4(a)所示，用戴維南定理求1Ω電阻消耗的功率。圖4.3-4例4.3-3電路原電路；(b)求開路電壓；(c)求R0；(d)化簡圖(c)；(e)化簡電路解：化簡虛線左端電路。

(1)求開路電壓Uoc。斷開圖4.3-4(a)中待求的1Ω電阻支路，設(shè)開路電壓Uoc如圖(b)所示。當(dāng)端口開路時，端口電流I=0A，在此狀態(tài)，兩個電阻與10V電壓源構(gòu)成串聯(lián)回路，利用分壓公式可知10Ω電阻兩端電壓為5V，有得

(2)求端口等效電阻R0。移去圖(a)中待求1Ω電阻支路，10V電壓源短路，受控電壓源保留在電路中，見圖(c)。圖(c)電路化簡為圖(d)。設(shè)圖(d)端口電流I與端口電壓U參考方向關(guān)聯(lián)。列圖(d)的KVL方程U=-4U+5I

所以

根據(jù)以上求出的兩個參數(shù)，圖(a)化簡為圖(e)電路。

(3)求1Ω電阻的功率。圖(e)電路的回路電流為

1Ω電阻的功率為P=1×I2=0.25W應(yīng)用戴維南定理的要點：

(1)求開路電壓時，原電路中的所有電源，無論是獨立源還是受控源都保留。

(2)求電阻R0時，獨立源與受控源的處理方法不一樣，電路中的獨立源要全部置零，受控源則保留在電路中。因為R0值與獨立源無關(guān)，而受控源具有電阻性，對R0值有貢獻(xiàn)。

(3)受控源的控制量是隨電路狀態(tài)變化的，而控制量又控制受控源的輸出，因而在不同的電路狀態(tài)下，受控源會有不同的輸出值。在實際應(yīng)用中，獲取開路電壓Uoc和等效電阻R0值的有效方法是直接測量。測量開路電壓Uoc的電路見圖4.3-5，斷開電路N的ab端口，把電壓表跨接在ab兩端，電壓表的讀數(shù)便是電路N的端口開路電壓Uoc。測量等效電阻R0的電路見示意圖4.3-6，在電路N的ab端口接一電阻，分別測出流過外接電阻的電流IN和電阻兩端的電壓UN，圖4.3-6(b)是圖4.3-6(a)的等效電路，圖4.3-6(b)的KVL方程為可得法國電報工程師戴維南于1883年發(fā)表了等效電壓源定理的論文后，定理受到了關(guān)注和推廣應(yīng)用，以后就以他的名字命名了該定理。定理不僅能用于直流電路(獨立源是直流電源)分析，而且能用于交流電路分析，我們將在下一章了解到這一點。圖4.3-5測量Uoc

圖4.3-6測量R0的電路4.4諾頓定理

戴維南定理出現(xiàn)后43年，也就是1926年，在貝爾電話實驗室工作的美國工程師諾頓針對交流電路提出了諾頓定理。而在同年同月，德國的梅耶針對直流電路也發(fā)表了同樣定理的論文，但未被當(dāng)時人們所知。諾頓定理的陳述：具有唯一解的線性單口含源電阻電路N(見圖4.4-1(a))，它對外電路的作用可用一個實際電流源來等效(見圖4.4-1(b))。電流源的電流isc等于電路N的端口短路電流(見圖4.4-1(c))；并聯(lián)電阻R0等于電路N中所有獨立源置零時，端口的等效電阻(見圖4.4-1(d))。不難理解，如果一個線性單口含源電路能等效為實際電壓源，利用電源的等效變換，該電路也一定能等效為實際電流源，即存在諾頓等效電路。由定理可知，求實際電流源內(nèi)阻R0的方法與前述戴維南定理一樣。圖4.4-1諾頓定理的示意圖

例4.4-1請用諾頓定理求圖4.4-2(a)所示電路中的電流I。圖4.4-2例4.4-1電路解：首先利用諾頓定理化簡虛線左邊的單口電路。第一步，求短路電流Isc。把待求的3S支路換成短路線，并設(shè)短路電流Isc，見圖(b)。列圖(b)中節(jié)點1的電流方程，端口短路電流為Isc=4×2-3×4+22=18A第二步，求等效電阻。移去待求的3S支路，把電壓源短路，電流源斷開，電路見圖(c)。端口的等效電導(dǎo)為G0=2+4=6S第三步，畫諾頓等效電路。畫等效電路時，要注意電流源的電流方向。在圖(b)的短路線上，Isc是從1流向2，要得到這樣一個外部電流流向，電流源內(nèi)部的電流就要從2向1流，與外電路電流相反，因此，圖(d)中等效電流源的電流流向是從2流向1。完成電路的等效化簡后，再根據(jù)圖(d)求電流I。利用分流公式可求得

例4.4-2電路如圖4.4-3(a)所示，求ab端口的諾頓等效電路。圖4.4-3例4.4-2電路(a)原電路；(b)求Isc；(c)求R0解：(1)求ab端口的短路電流Isc。把圖(a)中的受控電流源等效變換為受控電壓源，同時ab端口短路，電路如圖4.4-3(b)所示。在圖示Isc參考方向下，回路電壓方程為-500Isc+(1000+1000)Isc+10=0得

(2)求R0。把圖4.4-3(a)中的電壓源短路，受控源保留，同時把受控電流源等效為受控電壓源，見圖(c)；再通過圖(c)端口伏安關(guān)系求等效電阻R0。設(shè)端口電壓U、端口電流I參考方向關(guān)聯(lián)，如圖(c)所示，回路電壓方程為U=-500I+2000I=1500I則

根據(jù)參數(shù)Isc、R0與圖(b)所示Isc的參考方向，有圖4.4-4所示的諾頓等效電路。注意：在圖(b)中，短路線上Isc從b流向a，等效電流源的電流流向則是從a流向b，但因Isc是負(fù)值，所以，仍是從b流向a。有些讀者可能會有這樣的想法，既然實際電壓源和實際電流源可以等效互換，那么，戴維南定理與諾頓定理中的一個就是多余的？其實不然，這兩個定理是完全獨立的，不能相互替代。在特殊情況下，若等效電阻R0=0，電路只能等效為理想電壓源，其戴維南等效電路存在，而諾頓等效電路不存在；如果等效電阻R0=∞，電路等效為理想電流源，其諾頓等效電路存在，而戴維南等效電路則不存在。4.5最大功率傳輸定理

在許多實際應(yīng)用中，比如通信領(lǐng)域，由于發(fā)射系統(tǒng)的發(fā)射功率有限，同時信號在傳輸中又存在損耗，所以，如何使負(fù)載獲得最大功率是人們特別關(guān)注的一個課題。這類問題可以用圖4.5-1(a)來概括。一般來說，前端電路是已定的，不能變動，負(fù)載能夠改變。如果前端電路是線性含源電阻電路，那么，可等效為一個實際電壓源，從而把分析圖4.5-1(a)的最大功率問題轉(zhuǎn)換為分析圖(b)。因此，最大功率傳輸研究的問題歸結(jié)為：在給定參數(shù)uoc和R0的條件下，負(fù)載RL取何值時能從電源獲取最大功率？最大功率是多少？圖4.5-1最大功率傳輸定理示意圖最大功率傳輸定理的陳述：當(dāng)負(fù)載電阻滿足RL=R0時，負(fù)載RL能獲得最大功率，最大功率為(4.5-1)不難看出，最大功率傳輸定理是建立在戴維南定理基礎(chǔ)之上的，其分析思路十分明晰。首先，是從負(fù)載處把電路分為兩部分；然后把前端電路等效為實際電壓源，即求出參數(shù)uoc和R0；再依據(jù)最大功率傳輸定理，確定負(fù)載電阻RL值和負(fù)載的最大功率PLmax。通常把RL=R0的電路狀態(tài)稱為最大功率匹配。從電路圖4.5-1(b)不難看出，在最大功率匹配的條件下，負(fù)載RL只能獲得等效電源uoc提供的一半功率，uoc提供的另一半功率則被等效內(nèi)阻R0消耗。例4.5-1電路如圖4.5-2(a)所示，求：

(1)RL為何值時能從電路獲得最大功率？最大功率是多少？

(2)當(dāng)RL獲最大功率時，360V電壓源提供的功率是多少？

(3)在最大功率匹配時，電路的功率傳遞效率是多少？圖4.5-2例4.5-1電路解：(1)把圖4.5-2(a)虛線左邊的電路化簡為實際電壓源。斷開負(fù)載支路，電路如圖4.5-2(b)所示。利用分壓公式得移去圖(a)中負(fù)載支路，電壓源短路，見圖(c)，R0為R0=30∥150=25Ω化簡電路見圖4.5-3。當(dāng)R0=RL=25Ω時，RL能獲最大功率，最大功率為

(2)當(dāng)RL=25Ω時，由圖4.5-3可知，RL兩端電壓為在最大功率匹配情況下，原電路圖(a)中的電流I為

360V電壓源的功率Ps=-360×7=-2520W圖4.5-3例4.5-1的等效電路

(3)在最大功率匹配情況下，電路的功率傳輸效率為可見，在最大功率匹配的情況下，電路的功率傳輸效率并不高。4.6對偶性

我們把前面討論過的某些關(guān)系式呈現(xiàn)在表4.6-1中，請觀察后，嘗試找出其中存在的規(guī)律。

表4.6-1

不難發(fā)現(xiàn)，若把第二列各式中的u換成i，R換成G，i換成u，就是第三列的各式。反之，若把第三列的各式做同樣對換，便得到第二列各關(guān)系式。我們把這種對應(yīng)關(guān)系稱為對偶性。其中，電壓與電流、電阻與電導(dǎo)被稱為對偶元素。對偶元素除了電量、元件參數(shù)外，還可以是電路結(jié)構(gòu)、定律等等，電路中的對偶元素還有：電壓源us與電流源is，開路與短路，串聯(lián)與并聯(lián)，網(wǎng)孔與節(jié)點等等。如果電路中某一定理、公式或表達(dá)式成立，把其中的元素用它的對偶元素置換所得到的表述也成立，這就是對偶性。對偶性是電路的一個普遍性質(zhì)，了解它有助于我們理解電路的概念和方法，幫助我們記憶各種關(guān)系式，并且根據(jù)對偶性探索新的規(guī)律。電路中還有許多對偶元素和關(guān)系，請讀者在后續(xù)的學(xué)習(xí)中留意觀察與總結(jié)。習(xí)題四

4-1電路如題圖4-1所示，計算：(1)電流I。(2)如果把電壓源改為10V，電流I是多少？題圖4-1

4-2電路如題圖4-2所示。(1)求電壓U。(2)若電流源減至1μA，電壓U是多少？題圖4-2

4-3電路如題圖4-3所示，試用疊加定理求電壓U。題圖4-3

4-4試用疊加定理求題圖4-4所示電路中的電流I。題圖4-4

4-5電路如題圖4-5所示，N是線性無源電路，已知：當(dāng)Us=1V，Is=2A時，U0=0V；當(dāng)Us=2V，Is=5A時，U