《電路分析》課件第7章

第7章電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象

7.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與頻率響應(yīng)7.2

RC電路的頻率特性7.3電路的諧振分析習(xí)題7【本章要點】本章首先介紹正弦穩(wěn)態(tài)條件下的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，然后利用網(wǎng)絡(luò)函數(shù)研究幾種RC電路的頻率特性，最后介紹串聯(lián)及并聯(lián)諧振電路及實用簡單和復(fù)雜并聯(lián)諧振電路。在工程實際中需要傳輸或處理的電信號通常不是前面所討論的單一頻率的正弦信號，而是由許多不同頻率的正弦信號組成的，占有一定的頻帶寬度，如收音機處理的聲音信號的帶寬約為20kHz,電視機處理的圖像信號的帶寬約為6MHz。本章主要討論正弦激勵頻率變化時，動態(tài)電路的頻率特性。7.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與頻率響應(yīng)由于電路通常具有網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu)，因此也稱電路為網(wǎng)絡(luò)。研究網(wǎng)絡(luò)(電路)的頻率特性，在無線電技術(shù)和電子電路中有著重要的意義。例如，在電話傳輸電路中，希望能讓有用的音頻信號通過，而對于高于音頻的干擾信號能有較強的衰減，從而保證傳輸話音的清晰。又如，在收音機、電視機接收電路中，希望它們對所需電臺的信號有良好的響應(yīng)，而對其他不需要的電臺信號或干擾信號能加以抑制，從而得到良好的收聽、收看效果。如何正確地選用或設(shè)計網(wǎng)絡(luò)，使它的頻率特性適應(yīng)人們的需要，這是無線電、電子電路技術(shù)應(yīng)用中的一個重要課題。當(dāng)電路中激勵源的頻率變化時，電路中的感抗、容抗將跟隨頻率變化，從而導(dǎo)致電路的工作狀態(tài)亦跟隨頻率變化。因此，分析研究電路和系統(tǒng)的頻率特性就顯得格外重要。對于動態(tài)電路,由于容抗和感抗都是頻率的函數(shù),因此,不同頻率的正弦激勵作用于電路時,即使其振幅和初相相同,響應(yīng)的振幅和初相都將隨之而變。這種電路響應(yīng)隨激勵頻率而變化的特性稱為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)。7.1.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在電路分析中,電路的頻率特性通常用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來描述。線性網(wǎng)絡(luò)在單一正弦激勵下的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(t)的相量與激勵x(t)的相量之比，稱為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，記為H(jω)，即若輸入和輸出屬于同一端口，則稱之為驅(qū)動點函數(shù)，或策動點函數(shù)。若輸入是電壓，輸出是電流，則稱之為驅(qū)動點阻抗；若輸入是電流，輸出是電壓，則稱之為驅(qū)動點導(dǎo)納。以圖7－1所示雙端口網(wǎng)絡(luò)為例，端口1的驅(qū)動點阻抗和導(dǎo)納分別為和，端口2的驅(qū)動點阻抗和導(dǎo)納分別為和。圖7－1雙端口網(wǎng)絡(luò)若輸入和輸出屬于不同端口，則稱之為轉(zhuǎn)移函數(shù)。它又分為轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、轉(zhuǎn)移電壓比和轉(zhuǎn)移電流比四種。仍然以圖7－1所示的雙端口網(wǎng)絡(luò)為例，和稱為轉(zhuǎn)移阻抗，和稱為轉(zhuǎn)移導(dǎo)納，和稱為轉(zhuǎn)移電壓比，和稱為轉(zhuǎn)移電流比。7.1.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的計算方法正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是以ω為變量的兩個多項式之比。它取決于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量無關(guān)。在已知網(wǎng)絡(luò)相量模型的條件下，計算網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的基本方法是外加電源法。在輸入端外加一個電壓源或電流源，用正弦穩(wěn)態(tài)的任一種方法求輸出相量的表達式，然后將輸出相量與輸入相量相比，求得相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。對于由二端元件組成的阻抗串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，也可用阻抗串、并聯(lián)公式計算驅(qū)動點阻抗和導(dǎo)納，用分壓、分流公式計算轉(zhuǎn)移函數(shù)。例7－1求如圖7－2所示RLC電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和。解是驅(qū)動點導(dǎo)納，為是轉(zhuǎn)移電壓比，為7.1.3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與正弦波網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)是輸出相量與輸入相量之比。H(jω)反映輸出正弦波振幅及相位與輸入正弦波振幅及相位間隨頻率變化的關(guān)系。在已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的條件下，給定任一頻率為ω的輸入正弦波，可直接求得輸出正弦波。例如，已知某電路的輸入端驅(qū)動點阻抗為式中：，為輸入端電壓超前電流的角度。,為輸入端阻抗的模；根據(jù)輸入端阻抗和輸入電流可以求得輸入電壓。對于其他網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，驅(qū)動點導(dǎo)納、轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、轉(zhuǎn)移電壓比及轉(zhuǎn)移電流比也可得到類似的結(jié)果。例7－2電路如圖7－3所示，若R=1kΩ，C=1μF，激勵電壓為

us(t)=10cosω0t+10cos2ω0t+10cos3ω0tV其中角頻率ω0=103rad/s，求電路的響應(yīng)uC(t)。圖7－3例7－2用圖解輸入信號可以看成是3個不同頻率的正弦電壓源串聯(lián)，分別令其為us1(t)=10cosω0tVus2(t)=10cos2ω0tVus3(t)=10cos3ω0tV它們各自引起的響應(yīng)分別用uC1(t)、uC2(t)和uC3(t)表示，根據(jù)疊加定理，電路在激勵us(t)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為uC(t)=uC1(t)+uC2(t)+uC3(t)由圖7－3可知將R=1kΩ,C=1μF帶入上式，可得對于ω=ω0=103rad/s,ω=2ω0=2×103rad/s，ω=3ω0=3×103rad/s，H(jω)分別為由于不同頻率的激勵振幅相量分別為故可得相應(yīng)的響應(yīng)相量為從而可求得由本例可以看出，激勵作用于電路時，其不同頻率分量的幅度和相位可受到不同的影響，而正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)反映了這一情況。7.1.4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的頻率特性含動態(tài)元件電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)一般是頻率的復(fù)函數(shù)，可用指數(shù)形式表示，即式中:|H(jω)|稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的模；φ(ω)稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅角。它們都是頻率的函數(shù)。含動態(tài)元件電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一個復(fù)數(shù)，也可以用極坐標(biāo)形式表示，即其中，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的振幅|H(jω)|和相位φ(ω)是角頻率ω的函數(shù)，如果用振幅或相位作縱坐標(biāo)，角頻率作橫坐標(biāo)，則可以得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。從幅頻特性曲線和相頻特性曲線可以看出，網(wǎng)絡(luò)對不同頻率正弦波呈現(xiàn)出不同特性，這在電子和通信工程中被廣泛應(yīng)用。由圖7－3所示電路可得其幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖7－4所示。這些曲線的橫坐標(biāo)是用對數(shù)尺度繪制的圖7－4電路的頻率特性曲線(a)幅頻特性曲線；(b)相頻特性曲線由幅頻特性曲線可見，當(dāng)頻率很低時，|H(jω)|≈1；當(dāng)頻率很高時，|H(jω)|1。這表明，對于如圖7－3所示的電路，當(dāng)輸出取自電容電壓時，低頻信號較容易通過，而高頻信號將受到抑制。這種特性稱為低通濾波特性，常將這類電路稱為低通濾波電路或低通濾波器。通常將的頻率范圍稱為電路的通帶,而將的頻率范圍稱為止帶或阻帶，二者的邊界頻率稱為截止頻率，用fc表示，截止角頻率用ωc表示。當(dāng)ω=ωc時，電路的輸出功率是最大輸出功率的一半，因此，ωc又稱為半功率點頻率。由于Hmax=1，又因為，得ωcRC=1，故該低通濾波器的截止角頻率。由相頻特性曲線可見，該電路對輸入的正弦信號有移相作用，移相范圍為0°～90°。相頻響應(yīng)隨ω的增高，由零單調(diào)地減小到－π/2。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性，可將網(wǎng)絡(luò)分類為低通(lowpass)、高通(highpass)、帶通(bandpass)、帶阻(bandstop)、全通(allpass)網(wǎng)絡(luò)，相應(yīng)地，也稱為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。各種理想濾波器的幅頻特性如圖7－5所示。圖中，“通帶”表示頻率處于這個區(qū)域的激勵源信號(又稱輸入信號)可以通過網(wǎng)絡(luò)，順利到達輸出端產(chǎn)生相應(yīng)信號輸出；“阻帶”表示頻率處于這個區(qū)域的激勵源信號被網(wǎng)絡(luò)阻止，不能到達輸出端產(chǎn)生輸出信號，即被濾除掉了，濾波器的名稱就來源于此；ωc1、ωc2分別稱為上、下截止角頻率。圖7－5幾種典型的濾波器(a)低通濾波器；(b)高通濾波器;(c)帶通濾波器;(d)帶阻濾波器7.2

RC電路的頻率特性關(guān)于電路網(wǎng)絡(luò)的階次，在動態(tài)電路分析中已經(jīng)介紹過，從時域看，列寫的電路輸入、輸出方程是幾階的微分方程，就是幾階電路。從電路的具體結(jié)構(gòu)看，電路中包含多少獨立的動態(tài)元件，就是多少階電路。7.2.1一階低通電路的頻率特性在圖7－6所示的電路中，若選為激勵相量，為響應(yīng)相量，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)其中因此可分別畫出網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線，如圖7－7(a)、(b)所示。圖7－7

RC一階低通網(wǎng)絡(luò)的頻率特性(a)幅頻特性曲線；(b)相頻特性曲線圖7－7(a)、(b)可見，當(dāng)ω＝0，即輸入為直流信號時，|H(j0)|=1，φ(0)=0°，這說明輸出信號電壓與輸入信號電壓大小相等、相位相同；當(dāng)ω=∞時，|H(j∞)|=0,φ(∞)=－90°，這說明輸出電壓大小為0，而相位滯后輸入信號電壓90°。由此可見，對如圖7－6所示的電路來說，直流和低頻信號容易通過，而高頻信號受到抑制，所以這樣的網(wǎng)絡(luò)屬于低通網(wǎng)絡(luò)。但從圖7－7(a)所示網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性看，它與圖7－5(a)所示的理想低通的幅頻特性相比有明顯的差異。圖7－7(a)中的H(jω)與ω的關(guān)系是單調(diào)下降的連續(xù)變化曲線，在ω=ωc處不像圖7－5(a)所示的那樣為第一類間斷點(突跳點)，而是其數(shù)值為的連續(xù)點。盡管沿用理想低通網(wǎng)絡(luò)用的術(shù)語也稱ωc為截止角頻率，但“截止”的含義已打了折扣，從圖7－7(a)所示曲線就可以看出，當(dāng)ω>ωc時，輸出信號是減小了，但不是零，并沒有明顯截止的“界限”。網(wǎng)絡(luò)的截止角頻率是個重要的概念，在濾波網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)常用到。那么，截止角頻率的電路含義是什么，如何確定它的數(shù)值呢？實際低通網(wǎng)絡(luò)的截止角頻率是指網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅值|H(jω)|下降到|H(j0)|值的倍時所對應(yīng)的角頻率，記為ωc。這樣定義的截止角頻率具有一般性。對于圖7－6所示的RC一階低通網(wǎng)絡(luò)，因|H(j0)|=1，所以按來定義。由圖7－6得所以即引入截止角頻率ωc以后，可將圖7－6這類一階低通網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)歸納為如下的一般形式：式中|H(j0)|=|H(jω)|ω=0，它是與網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及元件參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。由圖7－7看出，當(dāng)ω＝ωc時，|H(jω)|=0.707|H(j0)|,j(ωc)=－45°。對于|H(j0)|=1這類低通網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)ω高于低通截止角頻率ωc時，|H(jω)|<0.707，輸出信號的幅值較小，工程實際中常將它們忽略不計，認(rèn)為角頻率高于ωc的輸入信號不能通過網(wǎng)絡(luò)，被濾除了。通常，也把0≤ω≤ωc的角頻率范圍作為這類實際低通濾波器的通頻帶寬度。在實際的電子和通信工程中所使用信號的頻率動態(tài)范圍很大，如102~1010Hz。為了表示頻率在極大范圍內(nèi)變化時電路特性的變化，橫坐標(biāo)常用對數(shù)坐標(biāo)表示頻率，縱坐標(biāo)用20lg|H(jω)|和j(ω)表示，這種曲線稱為波特圖。如果以分貝(dB)為單位表示網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性，則其定義為20lg|H(jω)|dB，也就是說，對|H(jω)|取以10為底的對數(shù)并乘以20，就得到了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)幅值的分貝數(shù)。當(dāng)ω=ωc時，20lg|H(jωc)|=20lg0.707=－3dB，所以又稱ωc為3dB角頻率。在這一角頻率上，輸出電壓與它的最大值相比較正好下降了3dB。在電子電路中約定，當(dāng)輸出電壓下降到它的最大值的3dB以下時，就認(rèn)為該頻率成分對輸出的貢獻很小。如果從功率角度看，輸出功率與輸出電壓平方成正比。在如圖7－6所示的網(wǎng)絡(luò)中，最大輸出電壓U2=U1，所以最大輸出功率正比于。當(dāng)ω=ωc時，，輸出功率正比于，即正比于，它只是最大輸出功率的一半，因此3dB頻率點又稱為半功率頻率點。這里還需要說明的是：3dB頻率點或半功率頻率點即是前述的截止頻率點，它只是人為定義出來的一個相對標(biāo)準(zhǔn)。但為什么要按關(guān)系來定義通頻帶邊界頻率(即截止角頻率)呢？應(yīng)該說這樣定義ωc還是有實際背景的，是有“歷史”原因的。早期，無線電技術(shù)應(yīng)用于廣播與通信，人的耳朵對聲音的響應(yīng)關(guān)系呈對數(shù)關(guān)系，也就是說，人耳對高于截止角頻率ωc以上的頻率分量及低于ωc的頻率分量，能感覺到它們的顯著差異。由圖7－7可以看出，隨著角頻率ω的增加，相位角φ(ω)將從0°到－90°單調(diào)下降，這說明輸出信號電壓總是滯后輸入信號電壓的，滯后的角度介于0°~90°之間，具體數(shù)值取決于輸入信號的角頻率與網(wǎng)絡(luò)的元件參數(shù)值。因此圖7－6所示的RC一階低通網(wǎng)絡(luò)屬于滯后網(wǎng)絡(luò)。今后也可以從網(wǎng)絡(luò)函數(shù)式判斷網(wǎng)絡(luò)的階次，H(jω)的分母中只含有（jω）的一階次方，故稱該網(wǎng)絡(luò)為一階網(wǎng)絡(luò)。據(jù)此推論，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的分母中包含（jω）的方次是幾階的，該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)就是幾階網(wǎng)絡(luò)。例7－3圖7－8所示的是由電阻、電容構(gòu)成的一階低通網(wǎng)絡(luò)，其輸出端接負(fù)載電阻RL。試分析其頻率特性（繪出幅頻特性、相頻特性），并求出截止角頻率。圖7－8例7－3用圖解作為輸入相量，作為輸出相量，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)令Re=RRL/(R+RL)，則RL/(R+RL)=Re/R，將其代入上式，得顯然將ω=0代入上式，得按定義網(wǎng)絡(luò)的截止角頻率，即由上式解得由|H(jω)|、j(ω)的表達式可分別畫出幅頻特性與相頻特性,如圖7－9(a)、(b)所示。圖7－9網(wǎng)絡(luò)的頻率特性(a)幅頻特性；(b)相頻特性由此例可見，加負(fù)載以后的RC一階低通網(wǎng)絡(luò)對輸出直流電壓的大小即截止角頻率都有影響。負(fù)載電阻RL減小時，輸出直流電壓明顯降低，截止角頻率升高，對交流信號的濾除作用也相對減弱。由電阻、電容構(gòu)成的這類實際的低通網(wǎng)絡(luò)常用于電子設(shè)備的整流電源中，以濾除整流后電源電壓中的交流分量。例7－4在如圖7－10所示的一階低通網(wǎng)絡(luò)中，已知C=0.01μF,在f=10kHz時輸出電壓滯后輸入電壓30°，此時電阻應(yīng)為何值？若輸入電壓振幅U1m=100V，此時輸出電壓振幅U2m應(yīng)是多少伏？圖7－10例7－4用圖解因為所以即又故7.2.2

RC一階高通電路的頻率特性圖7－11所示網(wǎng)絡(luò)是電子線路中常用的RC耦合電路，若選作為輸入相量，作為輸出相量，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)式中圖7－11

RC耦合電路由此可分別畫得網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性與相頻特性，如圖7－12所示。由圖7－12可以看出：當(dāng)ω=0時，|H(j0)|=0，j(0)=90°，說明輸出電壓大小為0，而相位超前輸入電壓90°；當(dāng)ω=∞時，|H(j∞)|=1，j(∞)=0°,說明輸出與輸入的電壓相量大小相等、相位相同。由此可以看出，圖7－11所示網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性恰與低通網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性相反，它起抑制低頻分量、易使高頻分量通過的作用，所以它屬于高通網(wǎng)絡(luò)。從相位特性看，隨著ω由0向無窮大增高時相移由90°單調(diào)地趨向于0°，這說明輸出電壓總是超前輸入電壓的，超前的角度介于90°~0°之間，超前角度的數(shù)值取決于輸入電壓的頻率ω和元件的參數(shù)值。因此，這類網(wǎng)絡(luò)屬于超前網(wǎng)絡(luò)。圖7－12

RC一階高通網(wǎng)絡(luò)的頻率特性(a)幅頻特性；(b)相頻特性實際高通網(wǎng)絡(luò)的截止頻率可按下式定義：對于圖7－11所示的RC一階高通網(wǎng)絡(luò)，|H(j∞)|=1，所以有故解得這里需注意：求得的一階RC低通和高通網(wǎng)絡(luò)的截止角頻率都等于一階電路時間常數(shù)的倒數(shù)，但低通、高通網(wǎng)絡(luò)截止角頻率的含義恰恰是相反的。同低通網(wǎng)絡(luò)類似，在引入截止角頻率ωc后，對一階高通網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)也可歸納為如下形式:式中|H(j∞)|=|H(jω)|ω=∞，它是與網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。7.3電路的諧振分析諧振現(xiàn)象是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種特定的工作狀態(tài)。正弦穩(wěn)態(tài)電路是含有電阻、電容、電感的二端口網(wǎng)絡(luò)。在某一頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流同相位的現(xiàn)象，電路呈純電阻性質(zhì)時，稱為電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的電路，稱為諧振電路。根據(jù)RLC電路的組成形式，諧振電路可以分為串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路。諧振電路具有良好的選頻特性，在電子技術(shù)和通信中得到了廣泛應(yīng)用。7.3.1串聯(lián)電路的諧振

1．諧振頻率如圖7－13(a)所示的RLC串聯(lián)電路，電源是頻率為f(角頻率ω)的正弦電壓源，用表示，則該電路的端口阻抗為根據(jù)諧振定義，需滿足，即上式為串聯(lián)電路的諧振條件。滿足這個條件的輸入信號頻率，稱為諧振頻率，用表示或圖7－13

RLC串聯(lián)電路(a)電路圖；(b)相量圖由此可見，一個電路的諧振頻率僅由電路元件的參數(shù)L、C決定，而與激勵無關(guān)。但僅當(dāng)激勵源的頻率等于電路的諧振頻率時，電路才發(fā)生諧振現(xiàn)象。諧振是電路固有性質(zhì)的反映。

2．串聯(lián)諧振電路的特點由于RLC串聯(lián)電路的容抗XC、感抗XL隨激勵ω的變化而變化，故其總阻抗Z(jω)也是ω的函數(shù)，其頻率特性如圖7－14所示。圖7－14串聯(lián)電路諧振特性顯而易見，當(dāng)ω<ω0時，，電路呈容性，超前；當(dāng)ω>ω0時，，電路呈感性，滯后于；當(dāng)ω=ω0時，，與同相。諧振時的相量圖如圖7－13(b)所示。下面分析串聯(lián)諧振的特點。當(dāng)RLC串聯(lián)電路諧振時，由于電抗X(ω0)=0，因此諧振時電路的阻抗Z0=R是純電阻且為最小值。顯然，諧振時電路中的電流若激勵源信號Us不變，則電流I達到最大值I0。此諧振電流完全取決于電阻值，而與電感、電容值無關(guān)。往往可以利用串聯(lián)諧振的這一重要特征，判斷電路是否諧振。因為諧振時，電感、電容上電壓大小相等，即將代入上式,得諧振時的感抗、容抗不為零，因此將諧振時的容抗、感抗定義為特性阻抗ρ，即由上式可知，ρ的單位為Ω，是由L、C決定的，與角頻率ω?zé)o關(guān)。在工程中，通常用特性阻抗與回路的電阻比值來討論諧振電路的性能，此值用Q表示，即

Q稱為諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，它是僅與R、L、C有關(guān)的無量綱參數(shù)。可見,特性阻抗ρ與品質(zhì)因數(shù)Q都是描述諧振電路特性的重要參數(shù)。諧振時，電路中各元件電壓相量可寫為此時，電感上的電壓和電容上的電壓模值相等，均為激勵電壓的Q倍，且相位相反。通常R＜＜ρ，Q值可達幾十至幾百，所以串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。在通信和電子技術(shù)中，傳輸?shù)碾妷盒盘柡苋酰秒妷褐C振，可獲得較高的電壓，但在電力工程中，這種高電壓有時會使電容器或電感線圈的絕緣擊穿而造成損害，因此，常常要避免諧振或接近諧振的情況發(fā)生。

3．頻率響應(yīng)

前面討論了RLC串聯(lián)諧振時的特點，下面進一步研究其頻率響應(yīng)。我們常以電路電流為輸出，分析電路的頻率特性。電路如圖7－13(a)所示，其電流為式中是諧振電流，是電流的最大值。用相對電流表示電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，上式可改寫為其幅頻特性、相頻特性分別為顯然，時，電路發(fā)生諧振，|H(jω)|最大值為1，隨著ω增大或減小，|H(jω)|均下降，直到ω→0或ω→∞時，|H(jω)|→0。因此，該電路是一個帶通電路，根據(jù)半功率頻率點的定義，其上、下截止頻率可由幅頻特性表達式求得，即亦即從而得或?qū)⒋胫校瑒t得可見通頻帶B僅與電路的參數(shù)R、L有關(guān)。從通頻帶表達式可見，品質(zhì)因數(shù)Q是衡量幅頻特性是否陡峭的重要參數(shù)。圖7－15(a)、(b)繪出了在同一諧振頻率下，不同Q值的|H(jω)|、j(ω)曲線。由圖可見，諧振電路對頻率具有選擇性，其Q值越高，幅頻曲線越尖銳，電路對偏離諧振頻率的信號抑制能力越強，電路的選擇性越好。所以在電子線路中常用諧振電路從各種不同頻率的信號中選擇所需要的信號。但是，實際信號都占有一定的頻率寬度，由于通頻帶寬度與Q成反比，因此Q越高，電路的帶寬越窄，這樣將會過多地削弱所需信號的主要頻率分量，從而引起嚴(yán)重失真，故在實際電路設(shè)計中，必須根據(jù)需要來選擇適當(dāng)?shù)腝值，以兼顧兩方面的要求。若主要矛盾方面是“選擇性”，則使用Q值高些的電路；相反，若主要矛盾方面是“帶寬”，則可適當(dāng)?shù)亟档碗娐返腝值。圖7－15串聯(lián)RLC頻率特性

例7－5電路如圖7－13(a)所示，試證明RLC串聯(lián)諧振電路在高Q值時，諧振頻率近似為通頻帶的中心頻率。解由得上、下截止頻率為當(dāng)Q值較高時，,從而有ω0可以近似看做為通頻帶的中心頻率。例7－6已知RLC串聯(lián)諧振電路的L=50μF，C=200pF，電源電壓Us=1mV。分別求出回路品質(zhì)因數(shù)Q=50、Q=100時，電路的諧振頻率、諧振時回路的電流I0、電容上的電壓UC0及其通頻帶寬B。解當(dāng)Q＝50時，諧振頻率回路損耗電阻諧振電流諧振電容電壓若＝100時，則帶寬回路損耗電阻諧振電流諧振電容電壓帶寬經(jīng)過上述討論可知，若滿足，RLC電路就會發(fā)生諧振。因此實現(xiàn)電路的諧振有兩種方法：

(1)調(diào)節(jié)電源頻率：在電路參數(shù)與結(jié)構(gòu)已確定的情況下，改變電源頻率使?jié)M足式，電路發(fā)生諧振。

(2)調(diào)節(jié)電路參數(shù)：在電源頻率一定的情況下，可調(diào)節(jié)電感、電容，使達到電路諧振的目的。由于電感不易調(diào)節(jié)，故常用改變電容的方法使電路諧振。7.3.2并聯(lián)電路的諧振串聯(lián)諧振電路僅適用于信號源內(nèi)阻較小的情況，若信號源的內(nèi)阻較大，會使電路Q值過低，從而導(dǎo)致電路的選擇性變差。這時，為了獲得較好的選擇特性，常采用并聯(lián)諧振電路。

1．諧振頻率并聯(lián)諧振的定義與串聯(lián)諧振的定義相同，端口上電壓與輸入電流同相時的工作狀態(tài)稱為諧振。它發(fā)生在并聯(lián)電路中，稱為并聯(lián)諧振。如圖7－16(a)所示為GLC并聯(lián)電路，是另一種典型的諧振電路，其分析方法與RLC串聯(lián)諧振電路雷同。其端口導(dǎo)納為根據(jù)諧振的定義，電路并聯(lián)諧振時，電路端電壓、激勵電流同相，由此可知諧振時的角頻率ω0、頻率f0分別為

2．GLC并聯(lián)諧振的特點

(1)端口等效阻抗最大。因為并聯(lián)諧振B=0，故Y=Y0最小，Z=1/Y0最大且為純電阻，其值為若并聯(lián)的電導(dǎo)G=0，即LC并聯(lián)諧振，此時端口的等效阻抗因Y0=0而Z0=∞。

(2)端口電壓最大。并聯(lián)諧振時，感納與容納相等，即，顯然電路的特性阻抗為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)為諧振時，激勵電流一定，回路的端電壓為最大值，即而此時各支路電流分別為可見，并聯(lián)諧振時，即電容電流與電感電流大小相等、相位相反,且強度均為QIs

，參見圖7－16(b)所示的相量圖。根據(jù)這一特點，并聯(lián)電路也稱為電流諧振，此時電源電流全部通過電導(dǎo)G，電導(dǎo)電流達最大值。3．頻率響應(yīng)對于并聯(lián)諧振電路，我們常研究以端電壓為輸出的頻率響應(yīng)。圖7－16所示的電路端電壓為由于是諧振時的端口電壓，且為最大值，所以，該電路的電壓的頻率響應(yīng)表示為幅頻特性由上式可見，并聯(lián)諧振電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)也是帶通函數(shù)，其幅頻和相頻特性曲線與串聯(lián)電路頻率特性曲線完全相同，截止頻率和通頻帶的帶寬B的表達式也與串聯(lián)諧振電路表達式相同，將代入B的表達式，則得7.3.3實用簡單的并聯(lián)諧振電路由于電感線圈的電阻總是存在的，因此圖7－16(a)所示的GLC并聯(lián)電路在實際工程中并不存在，實際工程中廣泛應(yīng)用的是實際電感線圈與實際電容器并聯(lián)的諧振電路，在忽略實際電容器介質(zhì)損耗時，其電路模型如圖7－17(a)所示。圖7－17實際線圈的諧振(a)實際線圈的諧振電路圖;(b)諧振相量圖圖7－17(a)的端口總導(dǎo)納為根據(jù)諧振定義，可得即若電路參數(shù)R、L、C一定時，可調(diào)節(jié)電源頻率使電路達到諧振所需的角頻率ω=ω0，由可得從上式可見，只有滿足，即，才是實數(shù)，才可能通過調(diào)頻使電路達到諧振。電感線圈與電容元件并聯(lián)諧振的相量圖，如圖7－17(b)所示。可以看出，電路諧振時，電感線圈的無功分量完全被電容電流補償，此時電路網(wǎng)絡(luò)端口電流最小，整個電路可等效為一個電阻，它等于端口導(dǎo)納實數(shù)的倒數(shù)，由總的導(dǎo)納公式可得將代入上式，等效電阻為則等效電導(dǎo)為而此時的品質(zhì)因數(shù)為由于實際電感線圈電阻R較小，一般滿足，則可寫為將上式代入中，得到實用簡單并聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)為例7－7將一個R=15Ω,L=0.23mH的電感線圈與100pF的電容器并聯(lián)，求該并聯(lián)電路的諧振頻率和諧振時的等效阻抗。解因為所以諧振頻率為諧振時的等效阻抗為而用式計算，諧振頻率為由計算結(jié)果可知：此值與精確表達式計算結(jié)果相差不大，諧振時，電路的等效阻抗Z很大，比線圈電阻R大很多，R0是R的10200倍。習(xí)題7

7－1已知RLC串聯(lián)電路，在f0=2

MHz處諧振，且此時R=100Ω，XC=5kΩ，試求該電路的帶寬。

7－2已知RC低通濾波器的截止頻率為20kHz，且C=0.5μF，求電阻R