《電路分析》課件第2章

第2章電阻電路的等效變換

2.1電阻的串聯(lián)、并聯(lián)及混聯(lián)等效2.2電阻Y形連接和△形連接2.3獨(dú)立電源的連接和等效變換2.4受控源

習(xí)題2

【本章要點(diǎn)】本章首先闡述電路等效的概念和電阻電路分析的等效變換法，即串、并聯(lián)等效變換、Y-△等效變換、電源的等效變換,然后介紹電路中的受控電源。在電路分析理論中，“等效”的概念是很重要的，利用等效變換的方法可以簡(jiǎn)化電路的分析和計(jì)算。如果電路N1端口的伏安特性與電路N2端口的伏安特性完全相同，則稱電路N1與N2是端口等效的,或稱電路N1與N2互為等效電路。對(duì)于這兩個(gè)電路來(lái)說(shuō)，它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)可能完全不同，但對(duì)其外部電路而言，無(wú)論接入的是N1還是N2，它們的作用完全相同，因而外部電路各處的電流、電壓將不會(huì)改變。這種計(jì)算電路的方法稱為電路的等效變換，如用簡(jiǎn)單等效電路代替復(fù)雜電路可以簡(jiǎn)化電路的計(jì)算。圖2-1電路的等效(a)電路N1；(b)電路N2

2.1電阻的串聯(lián)、并聯(lián)及混聯(lián)等效

2.1.1電阻的串聯(lián)等效

電路如圖2-2（a）所示，將各個(gè)電阻元件依次串接起來(lái)，中間沒有分支的連接方式，稱為電阻的串聯(lián)。顯然，串聯(lián)的各個(gè)電阻電流相等。設(shè)電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，應(yīng)用KVL，得

u=u1+u2=R1i+R2i=(R1+R2)i

（2-1）圖2-2電阻的串聯(lián)及其等效將圖2-2(a)看做等效電路定義中的電路N1，式(2-1)就是它的伏安關(guān)系(VAR)。將圖2-2(b)看做等效電路定義中的電路N2，由歐姆定律可寫出它的VAR為

u=Ri

(2-2)根據(jù)電路等效條件，可令式(2-1)和式(2-2)相等，即(R1+R2)i=Ri

這就是說(shuō)，電阻R1和R2串聯(lián)時(shí)，對(duì)于它們的外部電壓u和電流i來(lái)說(shuō)，可以用等效電阻來(lái)代替，等效電阻為

R=R1+R2

(2-3)

一般來(lái)說(shuō)，若有n個(gè)電阻R1，R2，…，Rn串聯(lián)，則它們的等效電阻為

R=R1+R2+…+Rn

(2-4)

對(duì)于圖2-2(a)所示電路中的R1和R2來(lái)說(shuō)，它們兩端的電壓是如何分配的，由式(2-2)和式(2-3)可得

由歐姆定律得u1=R1i，u2=R2i

故有分壓公式

由分壓公式可知串聯(lián)電阻的電壓值與電阻值成正比，串聯(lián)電路中消耗的總功率等于各串聯(lián)電阻消耗功率之和，且電阻值越大，消耗的功率越大。

2.1.2電阻的并聯(lián)等效幾個(gè)電阻跨接在相同兩點(diǎn)的連接方式，稱為電阻的并聯(lián)。顯然，并聯(lián)的電阻兩端具有相同的電壓。電路如圖2-3(a)所示，設(shè)電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，由KCL，可得

i=i1+i2

根據(jù)歐姆定律，可得

所以，（2-6）式(2-6)是圖2-3(a)所示兩個(gè)電阻并聯(lián)電路的VAR。圖2-3(b)是單個(gè)電阻的電路，由歐姆定律可寫出它的VAR為圖2-3電阻的并聯(lián)及其等效根據(jù)電路等效條件，令式(2-6)和式(2-7)相等，即

所以

由式(2-8)可知，電阻并聯(lián)，其等效電阻之倒數(shù)等于相并聯(lián)各電阻倒數(shù)之和。一般來(lái)說(shuō)，若有n個(gè)電阻R1,R2,…,Rn并聯(lián)，則它們的等效電阻可用下式計(jì)算:

(2-9)（2-8）由式(2-8)不難得到常用的兩個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)的等效電阻為（2-10）電阻并聯(lián)有分流關(guān)系，如果總電流i是已知的，由于u=iR，則兩并聯(lián)支路的電流分別為將式（2-10）代入以上兩式，得分流公式（2-11）

由分流公式可知，電阻并聯(lián)分流與電阻值成反比，即電阻值大者分得的電流小。電阻并聯(lián)電路消耗的總功率等于相并聯(lián)各電阻消耗功率之和，且電阻值大者消耗的功率小。2.1.3電阻的混聯(lián)等效電路中既有電阻串聯(lián)又有電阻并聯(lián)的電路稱為電阻混聯(lián)電路，如圖2-4所示。圖2-4中的電阻可用一個(gè)電阻R來(lái)等效，具體分析計(jì)算方法如下。分析混聯(lián)電路的關(guān)鍵問題是如何判別串、并聯(lián)。判別混聯(lián)電路的串、并聯(lián)關(guān)系一般應(yīng)掌握下述三點(diǎn)：

(1)看電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；

(2)看電壓、電流關(guān)系；

(3)對(duì)電路作變形等效。圖2-4電阻混聯(lián)例2-1

如圖2-5(a)所示，設(shè)R1=300Ω，R2=300Ω，R3=600Ω，u=6V，試求：

(1)從a、b兩端看進(jìn)去的輸入電阻(等效電阻)；

(2)R1上的電壓u1；

(3)R3中的電流i3。圖2-5例2-1用圖解(1)所謂a、b兩端看進(jìn)去的輸入電阻，是指a、b兩端的電壓u與電流i的比值，用Rin表示，即

顯然，該輸入電阻Rin就是等效電阻。對(duì)于本例電阻混聯(lián)電路，應(yīng)利用串、并聯(lián)關(guān)系逐步化簡(jiǎn)。首先將R2與R3并聯(lián)的等效電阻求出，即

得到如圖2-5(b)所示電路后，則Rin=Rab=R1+Rcb=300+200=500Ω

(2)電流i為

故

u1=R1i=300×0.012=3.6V

(3)由分流公式，有例2-2求如圖2-6(a)所示電路的等效電阻Rab和Rcd。圖2-6例2-2用圖解對(duì)a、b端口，等效電路如圖2-6(b)所示，可知

Rab=6∥［2∥2+4∥(2+4∥4)］=6∥(1+2)=2Ω對(duì)c、d端口，等效電路如圖2-6(c)所示，可知2.2電阻Y形連接和△形連接圖2-7(a)所示的是橋式電路，電路中各個(gè)電阻之間既不是串聯(lián)也不是并聯(lián)，這時(shí)就不能用串、并聯(lián)的方法求ab端的等效電阻。將連接在①、②、③三個(gè)端子間的R12、R23、R31構(gòu)成的△形連接電路等效變換為圖2-7(b)所示的由R1、R2、R3構(gòu)成的Y形連接電路，再應(yīng)用串、并聯(lián)簡(jiǎn)化的方法求得ab端口的等效電阻，由此，提出了Y-△等效變換的問題。圖2-7橋式電路如圖2-8(a)、(b)所示電路，兩電路要求對(duì)外等效，R1、R2、R3三個(gè)Y形連接電阻與R12、R23、R31三個(gè)△形連接電阻應(yīng)滿足什么關(guān)系？圖2-8△形連接和Y形連接的等效變換為使圖2-8(a)、(b)兩電路等效，等效變換的推導(dǎo)辦法是兩電路在一個(gè)對(duì)應(yīng)端子懸空的等同條件下，分別測(cè)圖2-8(a)、(b)兩電路剩余兩端子間的電阻，要求測(cè)得的電阻相同。懸空第③端子，得懸空第①端子，得懸空第①端子，得聯(lián)立以上三式，可求得由式(2-12)可方便地把△形連接等效為Y形連接。反過來(lái)，由Y形連接求△形連接的公式可由式(2-12)兩兩相乘后相加，再分別除以式(2-12)三式中的每一個(gè)，得到式(2-12)和式(2-13)兩組等效變換公式的記憶規(guī)律請(qǐng)讀者自行歸納。若△形連接的三個(gè)電阻相等，即R12=R23=R31=R△

等效變換后，Y形連接的R1、R2、R3必然相等，滿足:反之，若R1=R2=R3=RY，則等效的△形連接滿足:R12=R23=R31=R△=3RY

例2-3求圖2-9(a)所示電路a、b兩端間的電阻。圖2-9例2-3用圖解把3個(gè)電阻組成的Y形連接等效變換為△形連接，可畫出圖2-9(b)，可得例2-4

求圖2-9所示電路中3電阻兩端電壓U1。圖2-10例2-4用圖解應(yīng)用Y形和△形連接的等效變換將圖2-10(a)所示的電路等效為圖2-10(b)所示的電路，再利用電阻串、并聯(lián)等效求得等效電阻Rab為Rab=3+(3+9)∥(3+3)=7Ω從而可得電流由分流公式，得

所以電壓為U1=3I1=3×2=6V2.3獨(dú)立電源的連接和等效變換2.3.1電流源的連接在電路分析中，經(jīng)常遇到如圖2-10（a）所示的幾個(gè)電流源并聯(lián)的情況，由于電流源并聯(lián)不影響電路中的電壓，所以可將幾個(gè)并聯(lián)的電流源用一個(gè)電流源等效代替。先將電流源和電阻分開放置，如圖2-10（b）所示，有i=i1-i2+i3其中,R1、R2、R3、R4四個(gè)電阻并聯(lián)，因此，圖2-11(b)可化簡(jiǎn)為一個(gè)等效電流源和等效電阻的形式，如圖2-11(c)所示，等效電阻為R=R1∥R2∥R3∥R4

圖2-11電流源的并聯(lián)等效化簡(jiǎn)如圖2-12(a)所示，若有n個(gè)電流源并聯(lián)，也可以用一個(gè)電流源等效代替，即（2-14）如果的參考方向與圖中的參考方向一致，則式中的前面取“+”號(hào)；反之取“-”號(hào)。圖2-12n個(gè)電流源的并聯(lián)等效化簡(jiǎn)電路如圖2-13(a)所示，任意電路元件與電流源串聯(lián)。由于串聯(lián)電路中流過的電流相等，因此圖2-13(a)所示電路可用圖2-13(b)所示電路來(lái)等效。圖2-13任意電路元件與電流源的串聯(lián)等效幾個(gè)電流源串聯(lián)，要求各電流源的電流值相等且方向一致，否則違背KCL。其等效電路為其中的任意一個(gè)電流源，如圖2-14所示。圖2-14兩個(gè)電流源的串聯(lián)等效在電路分析中，經(jīng)常遇到如圖2-15(a)所示的電壓源串聯(lián)的情況，由于電壓源串聯(lián)不影響電路中的電流，因此，在許多電壓源串聯(lián)時(shí)，可將電壓源與電阻分開放置,如圖2-15(b)所示。由圖2-15(b)，按照電流的參考方向繞行，可得u3+R1i+R2i+R3i+R4i+u4-u1+u2=0整理得(u3+u4-u1+u2)+(R1+R2+R3+R4)i=0令u=-(u3+u4-u1+u2)R=R1+R2+R3+R4可得如圖2-15(c)所示的化簡(jiǎn)電路。圖2-15電壓源的串聯(lián)等效化簡(jiǎn)若有n個(gè)電壓源相串聯(lián)，可以用一個(gè)電壓源等效代替，如圖2-16(a)所示，等效電壓源的電壓為(2-15)如果usk的參考方向與圖2-16(b)中us的參考方向一致，則式中usk的前面取“+”號(hào)；反之取“-”號(hào)。圖2-16n個(gè)電壓源的串聯(lián)等效化簡(jiǎn)電路如圖2-17(a)所示，任意電路元件與電壓源并聯(lián)。由于并聯(lián)電路兩端的電壓相等，因此圖2-17(a)所示電路可用圖2-17(b)所示電路來(lái)等效。圖2-17任意電路元件與電壓源的并聯(lián)等效幾個(gè)電壓源相并聯(lián)，只有各電壓源的電壓值相等且方向一致的情況下才允許并聯(lián)，否則違背KVL。其等效電路中的電壓源為其中的任意電壓源，如圖2-18所示。圖2-18兩個(gè)電壓源的并聯(lián)等效2.3.3兩種實(shí)際電源模型間的等效變換實(shí)際電源是理想電源和電阻的組合，可以是電壓源和電阻的串聯(lián)組合，構(gòu)成實(shí)際電壓源；也可以是電流源和電阻的并聯(lián)組合，構(gòu)成實(shí)際電流源。實(shí)際電源之間也存在等效的問題，下面從實(shí)際電源的外特性入手，討論實(shí)際電源的等效互換。電源的外特性即為電源的外端的電流、電壓的約束關(guān)系。將電源的外端接上負(fù)載，電路如圖2-19所示。圖2-19實(shí)際電源的模型與其外特性由圖2-19(a)可見，實(shí)際電壓源的外部電壓和電流的伏安關(guān)系為

u=us-Rsi(2-16)

由圖2-19(b)可見，實(shí)際電流源的外部電壓和電流的伏安關(guān)系為

u=Rsir=Rs(is-i)=Rsis-Rsi

(2-17)

由電源的伏安特性可以看到，若理想電源的電壓us或電流is一定時(shí)，無(wú)論是電壓源還是電流源，其外電壓總是隨著外電流的增加而減小，因此，它們的伏安特性相同，如圖2-19(c)所示。兩種實(shí)際電源模型的伏安特性相同，說(shuō)明兩種實(shí)際電源模型的實(shí)質(zhì)為一個(gè)電源的兩種不同的表現(xiàn)形式。因此，對(duì)于外電路來(lái)說(shuō)，只要電源的外特性一樣，用哪一種模型表示，所起的作用都是一樣的。也就是說(shuō)，實(shí)際電源既可以用電壓源模型，也可以用電流源模型。兩種模型具有相同的VAR，即滿足等效的條件，所以它們可以等效互換。在同一負(fù)載下，若使兩電源模型等效，式(2-16)和式(2-17)必須相等，即us-Rsi=Rsis-Rsi

若使上式成立，則有us=Rsis

Rs=Rs

因此可得如圖2-20所示的兩種電源模型的等效互換電路。圖2-20實(shí)際電壓源與電流源的等效互換在某些情況下，應(yīng)用實(shí)際電源的兩種模型的等效互換分析可以使電路分析簡(jiǎn)化，可以將多電源混聯(lián)的復(fù)雜電路化簡(jiǎn)為單電源的簡(jiǎn)單電路。需要說(shuō)明的是，電壓源和電流源之間是不能等效互換的。這是因?yàn)檫@兩類電源的定義是矛盾的。在實(shí)際中，對(duì)電壓源來(lái)說(shuō)，若外電路電阻R＜＜Rs，則該實(shí)際電壓源可以近似看做電壓源；對(duì)電流源來(lái)說(shuō)，若外電路電阻R＜＜Rs，則該實(shí)際電流源可以近似看做電流源。

例2-5將圖2-21所示實(shí)際電壓源等效變換為實(shí)際電流源。圖2-21例2-5用圖解在圖2-21(a)中，等效電流源的電流為

其方向向上，所以，圖2-21(a)中的等效電流源如圖2-22(a)所示。在圖2-22(b)中，等效電流源的電流為

其方向向下，所以，圖2-21(b)中的等效電流源如圖2-22(b)所示。圖2-22等效電流源在等效過程中一定要注意電源電壓極性與電源電流流向的關(guān)系。

例2-6

將圖2-23所示實(shí)際電流源等效變換為實(shí)際電壓源。圖2-23例2-6用圖

解在圖2-23(a)中，等效電壓源的電壓us為us=3×4=12V所以，圖2-23(a)中的等效電壓源如圖2-24(a)所示。在圖2-23(b)中，等效電壓源的電壓us為us=6×5=30V所以，圖2-23(b)中的等效電壓源如圖2-24(b)所示。圖2-24等效電壓源在等效過程中一定要注意電源電流流向與電源電壓極性的關(guān)系。

例2-7求圖2-25(a)所示電路的電流I和Ix。

解首先將兩實(shí)際電流源變換為實(shí)際電壓源，如圖2-25(b)所示。再將12V電壓源先變換為電流源，此時(shí)兩個(gè)4Ω電阻并聯(lián)等效為2Ω，接著將此電流源變換為6V和2Ω串聯(lián)的實(shí)際電壓源模型，如圖2-25(c)所示。圖2-25例2-7用圖由此得到一個(gè)單回路電路，根據(jù)KVL可得2I+2I+I+4I+2+24-6=0

所以

由圖2-25(b)及KVL可得

2.4受控源

前面介紹的電壓源和電流源是一種獨(dú)立的電源，在電路分析中，為了描述一些器件的實(shí)際工作性能，電路模型中常常等效出另外一種電源——受控源。受控源與獨(dú)立電源相比在某些方面具有相同的特性。受控電壓源的電壓或受控電流源的電流與獨(dú)立電壓源的電壓或獨(dú)立電流源的電流有所不同，后者是獨(dú)立量，前者則受電路中某些部分電壓或電流控制。如晶體管的集電極電流受基極電流控制，運(yùn)算放大器的輸出電壓受輸入電壓控制，所以這類器件的電路模型中要用到受控源。受控源一般由兩條支路對(duì)外引出兩個(gè)端口構(gòu)成，一對(duì)為輸出端鈕或受控端，是對(duì)外提供電壓或電流的；另一對(duì)為輸入端鈕或稱為控制端，是施加控制量的端鈕，所施加的控制量可以是電流也可以是電壓。按其電源的性能來(lái)看，受控源首先應(yīng)分為受控電壓源和受控電流源兩類；由于控制量既可以是電壓，又可以是電流，因此，每類電源又可分為電流控制源或電壓控制源兩種。所以，受控源共有四種形式，其模型如圖2-26所示。圖2-26受控源模型圖2-26(a)是電壓控制電壓源，簡(jiǎn)稱VCVS，其輸出電壓是輸入電壓u1的μ倍，μ無(wú)量綱。圖2-26(b)是電流控制電壓源，簡(jiǎn)稱CCVS，其輸出電壓是輸入電流i1的γ倍，γ具有電阻量綱。圖2-26(c)是電壓控制電流源，簡(jiǎn)稱VCCS，其輸出電流是輸入電壓u1的g倍，g具有電導(dǎo)量綱。圖2-26(d)是電流控制電流源，簡(jiǎn)稱CCCS，其輸出電流是輸入電流i1的α倍，α無(wú)量綱。μ、γ、g、α

稱為控制參數(shù)，若控制參數(shù)為常數(shù)，則稱受控源為線性受控源。本書所涉及的受控源均為線性受控源。受控源的特點(diǎn)如下：

(1)因?yàn)槭芸卦摧敵龅碾娏鳌㈦妷菏请娐分心持冯妷夯螂娏鞯暮瘮?shù)，所以，在不知道控制量時(shí)，不能確定受控源輸出的電流、電壓。

(2)因?yàn)槭芸卦摧敵龅碾娏?、電壓是電路中某支路電壓或電流的函?shù)，所以，受控源不能獨(dú)立存在，必須與控制量同時(shí)出現(xiàn)。

(3)由于表征受控源特性的是電壓電流的代數(shù)方程，因此，受控源也可以看成電阻元件，它具有電源和電阻的兩重性。

2.3節(jié)介紹的實(shí)際電源的兩種模型之間的等效變換可以用來(lái)解決電壓源和電阻串聯(lián)單口與電流源和電阻并聯(lián)單口之間的等效變換。與此相同，一個(gè)受控電壓源(僅指受控支路，以下同)和電阻串聯(lián)的單口，也可以與一個(gè)受控電流源和電阻并聯(lián)單口進(jìn)行等效互換。等效互換的辦法是將受控源當(dāng)做獨(dú)立源一樣進(jìn)行變換，但在變換過程中一定要把握受控源的控制量在變換前后不變異。

例2-8

求圖2-27所示電路中的開路電壓uab

圖2-27例2-8用圖解在圖2-27中可見，uab=2I1，根據(jù)KCL可得I1=I+8I=9I

按圖2-27所標(biāo)的繞行方向，根據(jù)KVL可得

2I1-20+2I=2×9I-20+2I=0

解得I=1AI1=9A所以u(píng)ab=2×9=18V

例2-9

求圖2-28(a)所示電路中的電壓U。圖2-28例2-9用圖

解將電流源等效互換為電壓源,如圖2-28(b)所示。設(shè)電流I的參考方向及回路Ⅰ的繞行方向如圖2-28(b)所標(biāo)。在圖2-28(b)中可見

U=2I由KVL可得2I+U+2I+4U-14=0將2I=U代入上式可得U+U+U+4U=14解得U=2V

例2-10電路如圖2-29(a)所示，求ab端的輸出電阻Ro。圖2-29例2-10用圖

解結(jié)合這個(gè)例子介紹二端電路輸入電阻、輸出電阻的概念。在電路中一般把加激勵(lì)源(信號(hào))的端子稱為輸入端。由輸入端看，不含獨(dú)立源的電阻電路(可以含受控源)的等效電阻，稱為二端電路的輸入電阻，記為Ri。電路中接負(fù)載的端子稱為輸出端，由輸出兩個(gè)端子看，不含獨(dú)立源的電阻電路(可以含受控源)的等效電阻，稱為二端電路的輸出電阻,記為Ro。求二端電路的輸入電阻的方法與求輸出電阻的方法是完全一樣的。對(duì)于僅含有受控源、電阻的二端電路在求等效電阻(即輸入電阻或輸出電阻)時(shí)，不能簡(jiǎn)單地用電阻串、并聯(lián)等效的方法，而應(yīng)該用端子間加電源的辦法來(lái)求：加電壓源u，求電流i；加電流源i，求電壓u(注意：所設(shè)u、i的參考方向?qū)Χ穗娐穪?lái)說(shuō)是關(guān)聯(lián)的)，則其等效電阻為對(duì)于既不含獨(dú)立源又不含受控源的電阻二端電路在求等效電阻時(shí)，當(dāng)然亦可用端子間加電源的辦法，但常用更簡(jiǎn)便的串并聯(lián)等效方法來(lái)求。這里還應(yīng)提醒讀者：由于受控源的作用的原因，含有受控源的電阻二端電路的輸入電阻（或輸出電阻）可以是正值，可以是負(fù)值，當(dāng)然亦可以為零，今后若遇到求出的這類二端電路的輸入（或輸出）電阻的值為負(fù)值，不必大驚小怪。下面具體求本例的輸出電阻。在a、b兩端外加電流源i，設(shè)電壓u使u、i對(duì)二端電路來(lái)說(shuō)參考方向關(guān)聯(lián)，并設(shè)電流i1、i2的參考方向如圖2-29(b)上所標(biāo)。