（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用62平面向量的運(yùn)算624向量的數(shù)量積課后習(xí)題

6.2.4向量的數(shù)量積課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.若向量a與b的夾角為60°,則向量a與b的夾角是 ()A.60° B.120° C.30° D.150°解析:平移向量a,b使它們有公共起點(diǎn)O,如圖所示,則由對(duì)頂角相等可得向量a與b的夾角也是60°.答案:A2.已知向量m,n的夾角為π6,且|m|=3,|n|=1,則|mn|等于(A.4 B.3 C.2 D.1解析:∵|mn|2=m22m·n+n2=32×3×1×32∴|mn|=1.答案:D3.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,且a與b的夾角為π6,則(a+b)·(2ab)等于(A.12 B.32 C.解析:∵|a|=1,|b|=3,a與b的夾角為π6∴a·b=1×3×cos∴(a+b)·(2ab)=2a2+a·bb2=2+323=答案:A4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量為32b,則a·b等于(A.3 B.92 C.解析:設(shè)向量a,b的夾角為θ.∵a在b上的投影向量為|a|cosθb|∴|a|cosθ|b|=∴a·b=|a||b|cosθ=3×答案:D5.(多選題)已知a,b,c是三個(gè)非零向量,則下列命題中是真命題的為()A.|a·b|=|a||b|?a∥bB.a,b反向?a·b=|a||b|C.a⊥b?|a+b|=|ab|D.|a|=|b|?|a·c|=|b·c|解析:A.∵a·b=|a||b|cosθ(θ為a與b的夾角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b為非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆,故命題A是真命題.B.若a,b反向,則a,b的夾角為π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=|a||b|且以上各步均可逆,故命題B是真命題.C.當(dāng)a⊥b時(shí),將向量a,b的起點(diǎn)移至同一點(diǎn),則以向量a,b為鄰邊作平行四邊形,則該平行四邊形必為矩形,于是它的兩對(duì)角線長(zhǎng)相等,即有|a+b|=|ab|.反過(guò)來(lái),若|a+b|=|ab|,則以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以有a⊥b,故命題C是真命題.D.當(dāng)|a|=|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí),|a·c|≠|(zhì)b·c|,反過(guò)來(lái)由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|,故命題D是假命題.答案:ABC6.若向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·(a+b)=1,則向量a,b的夾角的大小為.

解析:∵|a|=2,a·(a+b)=1,∴a2+a·b=2+a·b=1,∴a·b=1.設(shè)a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=-12×答案:37.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1t)b,若b⊥c,則t=.

解析:因?yàn)閎⊥c,所以b·c=b·[ta+(1t)b]=ta·b+(1t)b2=12t+1t=112t=0,解得t=答案:28.已知向量a,b,|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夾角為120°,求|3a4b|;(2)若|a+b|=23,求a與b的夾角θ.解:(1)a·b=|a||b|cos120°=4×2×-12∵|3a4b|2=(3a4b)2=9a224a·b+16b2=9×4224×(4)+16×22=304,∴|3a4b|=419(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(23)2,∴a·b=4,∴cosθ=a·b又θ∈[0,π],∴θ=29.如圖,在平面內(nèi)將一副直角三角板拼接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,記AB=a,AC=b.(1)試用a,b表示向量AD,(2)若|b|=1,求AB·解:(1)CB=ab,由題意可知,AC∥BD,BD=3BC=3AC.∴BD=3b,則AD=AB+BD=a+3b,CD=AD(2)∵|b|=1,∴|a|=2,a·b=2cos45°=1,則AB·CD=a·[a+(31)b]=a2+(31)a·b=2+31=3+二、B組1.(多選題)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,設(shè)AB=2a,BC=b,則下列結(jié)論正確的是()A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=1解析:由題意知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角是120°,故B錯(cuò)誤;∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=3,故A錯(cuò)誤;∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正確;a·b=1×2×cos120°=1,故D正確.答案:CD2.定義:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ為向量a與b的夾角,若|a|=2,|b|=5,a·b=6,則|a×b|等于()A.8 B.8 C.8或8 D.6解析:因?yàn)閨a|=2,|b|=5,a·b=6,所以cosθ=a·b又θ∈[0,π],所以sinθ=45所以|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×45=答案:A3.已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=23,且a⊥(a+b),則b在a上的投影向量為()A.3a B.a C.3a D.a解析:設(shè)向量a,b的夾角為θ.由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=9,因此b在a上的投影向量為|b|cosθa|a|答案:B4.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是()A.0,π6 B.解析:Δ=a24|a||b|cosθ(θ為向量a與b夾角),若方程有實(shí)根,則有Δ≥0即a24|a||b|cosθ≥0,因?yàn)閨a|=2|b|,所以4|b|28|b|2cosθ≥0,所以cosθ又因?yàn)?≤θ≤π,所以π3≤答案:B5.設(shè)向量a,b滿足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=3|akb|(k>0).若a與b的夾角為60°,則k=.

解析:由|ka+b|=3|akb|,得k2a2+2ka·b+b2=3a26ka·b+3k2b2,即(k23)a2+8ka·b+(13k2)b2=0.∵|a|=1,|b|=1,a·b=1×1×cos60°=12∴k22k+1=0,∴k=1.答案:16.在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若AC·BE=1,則AB的長(zhǎng)為解析:因?yàn)锽E=所以AC·BE=(AB+AD)·AD-12AB=AD2+12所以14|AB|12|AB|2答案:17.已知|a|=1,a·b=12,(ab)·(a+b)=1(1)a與b的夾角;(2)ab與a+b的夾角的余弦值.解:(1)∵(ab)·(a+b)=12,∴|a|2|b|2=∵|a|=1,∴|b|=|設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.(2)∵(ab)2=a22a·b+b2=12,∴|ab|=∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=52,∴|a+b|=設(shè)ab與a+b的夾角為α,則cosα=(8.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在實(shí)數(shù)μ,