線性代數(shù)與概率統(tǒng)計及答案

第3行元的余子式依次為-2,5,1,x第3行元的余子式依次為-2,5,1,x,貝Ux=().(A)0(B)-3(C)3 (D)2代數(shù)部一、單項選擇題00010010/、1. =().01001000(A)0 (B)-1 (C)1 (D)200100100/ 、2. =( ).00011000(A)0 (B)-1 (C)1 (D)24aa r1aka / 、3.右11 12=a，則12 22=( ).aa aka21 22 11 21(A)ka (B-)ka (C)k2a (D)-k2a第一章行列式4．已知4階行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,x+x+kx=05.k等于下列選項中哪個值時，i2齊次線性方程組4x+kx+123x=05.k等于下列選項中哪個值時，i2齊次線性方程組4x+kx+123x=0有非零解（）3(A)-1(B-)2(C-)3kx+x+x=0123(D0)6．設(shè)行列式aiia21a12a22a13a23aiia2i則行列式a a -a11 12 13a a -a21 22 23等于（）A.nA.n-mB.C.m+C.m+nD.m-n二、填空題1110? ,-…01011.行列式01110010

2．3．4．10... 002... 0.........=.00...n-100... 0aaaaa-2．3．4．10... 002... 0.........=.00...n-100... 0aaaaa-3a 3a11 12 1311 13 12 12aaa=M，則UD=aa-3a3a21 22 231 21 23 22 22aaaaa-3a 3a31 32 3331 33 32 321 -1 1x-11 -1x+1-11x-1 1-1一 .00行列式0n如果D=行列式-11-15．已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3,其對應(yīng)的余子式依次為3,2,1，則該行列式的值為kx+2x+x=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 36.齊次線性方程組hx+kx =0僅有零解的充要條件是1 2 x-x+x=012 3x+2x+x=01 237.若齊次線性方程組2x+5x=0有非零解，賺二.23 -3x-2x+kx=0123三、計算題TOC\o"1-5"\h\zxy x+y.y x+y x；x+y x y01x1AF、-1 0 1 x.解方程 =0;x110x101 ... 131-b 1 ... 16.1 1 2-b... 11 1 1 ... (n-1)-b

11a2+—a——1a2a11b2+b11.設(shè)abcd=1,證明:b21b1=0.c2+—c—1c2c11d2+d1d2d11aa......11aa1a1b〃1〃11aa......11aa1a1b〃1〃7.22

aax

a1xa

IXala．8bbb...a123n四、證明題aaa...x

123a+bxax+bcabc111111112.a+bxax+bc=(1一x2)abc22222222a+bxax+bcabc33333333113．1b

b2

b41

d

d2

d4=(b一a)(c一a)(d一a)(c一b)(d一b)(d一c)(a+b+c+d).第二章矩陣一、單項選擇題AB為n階方陣，則下列各式中成立的是工(a)A2=閭2(b)a2一B2=(A-B)(A+B)(c)(A-B)A=A2-AB(d)(AB)t=AtBt2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足()時，B=C。(a)AB=BA(b)|A|豐0 (c)方程組AX=0有非零解 (d)B、C可逆.若A為n階方陣，k為非零常數(shù)，則k：A\=()。(a)k|A| (a)k|A| (b)|kA| (c)kn|A|4.設(shè)A為n階方陣，且A|=0,則((a)A中兩行(列)對應(yīng)元素成比例A中至少有一行元素全為零|k|n|A|)。(b)A中任意一行為其它行的線性組合(d)A中必有一行為其它行的線性組合.設(shè)A為n階方陣A*為A的伴隨矩陣則()。(a)(a)A*(a)(a)A*=A-1 (b)A*=|A|(c)A*=|A|n+1 (d)A*=|A|n-1.設(shè)A,B為n階方矩陣，A2=B2，則下列各式成立的是（）。(d)|A|2=|B|2(a)A=B(b)(d)|A|2=|B|27.設(shè)A7.設(shè)A為“階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（）。(a)|2(a)|2A|=2At(b)(2A)-1=2A-1[(A[(A-1)-1]t=[(At)t]-1[(At)T]-1=[(A-1)T]T.已知A=(a)At=A（c）A100001，則（.已知A=(a)At=A（c）A100001，則（）。(b)A-1=a*.設(shè)A,B,C,I為同階方陣，2'1J（d）2'

1JI為單位矩陣若ABC=I(a)ACB=I(b)CAB=I(c)cba=I（d）bac=I階矩陣a可逆的充要條件是（）。A的每個行向量都是非零向量A中任意兩個行向量都不成比例A的行向量中有一個向量可由其它向量線性表示（d）對任何n維非零向量X,均有AX中011,設(shè)矩陣11,設(shè)矩陣A=(1,2),B=6J則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（）B.ABCA.ACBB.ABCC.BACD.CBAC.BAC12.設(shè)矩陣A,B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（D）A.1Ab'VBJ可逆，且其逆為B.C.可逆，且其逆為( B-1)A-19JD.可逆，且其逆為13.已知向量2a+B=(1,-2,-2,-1)T,3a+20=(1,-4,-3,0)t，貝|Ja+p=(A)A. (0，-2,-1,1)tC.(1,T,-2,0)tB.(-2,0,-1,1)tD. (2,-6,-5,-1)t14.設(shè)A和B為n階方陣，下列說法正確的是（C）A.若AB=AC，貝QB=CB.若AB=0，則A=0或B=0C.若1AB10，則A=0或lBl=0D.若IA-E\=0，則A=E6、設(shè)兩事、填空題.設(shè)A為n階方陣I為n階單位陣且A2=I，則行歹列式A|= .行列式-a-b.設(shè)A為5階方陣，A*是其伴隨矩陣，且A|=3,則A*= .設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A*的秩為 三、計算題1.解下列矩陣方程X為未知矩陣.(21)1-1V2-(21)1-1V2-12-2J(02|;0、0X11J(2V-1(1=21V3、-10J(423、3)AX=A+2X，其中A=110V-123J2.設(shè)A為n階對稱陣，且A2=0，求A.3.設(shè)A=3.設(shè)A=1A1A3A、a[4,'24.設(shè)'24.設(shè)A=11\1,求非奇異矩陣。，使A=CtBC.10J四、證明題.設(shè)A、B均為n階非奇異陣求證AB可逆..設(shè)A笈=0(k為整數(shù))，求證I—A可逆..設(shè)n階方陣A與B中有一個是非奇異的,求證矩陣AB相似于BA..證明可逆的對稱矩陣的逆也是對稱矩陣.第三章向量一、單項選擇題1 2P\=m,aPaa|=n，則行列式1 1 2 3 21P+PI=()1 2P\=m,aPaa|=n，則行列式1 1 2 3 21P+PI=()|aaa1 2 3aaa1 2 3.設(shè)A為n階方陣，且|A|=0，則()。.設(shè)A為n階方陣，r(A)=r<n，則在A的n個行向量中()。(a)必有r個行向量線性無關(guān).n階方陣A可逆的充分必要條件是()TOC\o"1-5"\h\z.n維向量組a,a，…,a線性無關(guān)的充分條件是()1 2sa,a，…,a都不是零向量1 2 sa,a，…,a中任一向量均不能由其它向量線性表示1 2 sa,a，…,a中任意兩個向量都不成比例12 sa,a，…,a中有一個部分組線性無關(guān)12 s則土= 二、填空題則土= .若a=(1,1,1)t，a=(1,2,3)t，a=(1,3,t)t線性相關(guān)，1 2 3。.n維零向量一定線性關(guān)。.向量a線性無關(guān)的充要條件是 。.若a,a,a線性相關(guān)，則a,a,...,a(s>3)線性關(guān)。123 12s.n維單位向量組一定線性。三、計算題.設(shè)a=(1+X,1,1)t,a=(1,1十九,1)t,a=(1,1,1+九)t,123B=(0,九，九2)T，問(1)九為何值時，P能由a,a,a唯一地線性表示？123(2)九為何值時，P能由a,a,a線性表示，但表達(dá)式不唯一？123(3)九為何值時，P不能由a,a,a線性表示？123.設(shè)a=(1,0,2,3)t，a=(1,1,3,5)t，a=(1,1,a+2,1)t，1 23a二(1,2,4,a+8)t，0=(1,1,b+3,5)t問：4(1)a,b為何值時，0不能表示為a,a,a,a的線性組合？1234(2)a,b為何值時，0能唯一地表示為a,a,a,a的線性組合？1234.求向量組a=(1,-1,0,4)t，a=(2,1,5,6)t，a=(1,2,5,2)t，1 23a二(1,-1,-2,0)t，a=(3,0,7,14)t的一個極大線性無關(guān)組，并45將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。四、證明題.設(shè)0=a+a,0=3a-a,0二2a-a，試證0,0,0線性相關(guān)。1 1 22 2 13 1 2 123.設(shè)a,a，…,a線性無關(guān)，證明a+a,a+a，…,a+a在n為奇數(shù)時線性無關(guān)；12n 1 22 3n1在n為偶數(shù)時線性相關(guān)。第四章線性方程組一、單項選擇題.設(shè)n元齊次線性方程組直二0的系數(shù)矩陣的秩為r，則AX二0有非零解的充分必要條件是()(A) r=n (B) r<n(C) r>n (D) r>n.設(shè)A是mxn矩陣，則線性方程組AX二b有無窮解的充要條件是()(A) r(A)<m (B) r(A)< n(C)r(Ab)=r(A)<m(D)r(Ab)=r(A)<n.設(shè)A是mxn矩陣，非齊次線性方程組AX二b的導(dǎo)出組為AX=0，若m<n,則()(A)AX=b必有無窮多解 (B)AX二b必有唯一解(C)AX=0必有非零解 (D)AX=0必有唯一解

x+2x-x=41 2 34.5.x+2x=2 無解的充分條件是X=()4.5.23(X-2)x=-(X-3)(九一4)(九一1)3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4x+x+x=X-11 2 3解的充分條件是X二（2x-x=解的充分條件是X二（2 3.,有唯x=X-43(X-1)x=-(X-3))(X-1))3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空題.設(shè)A為100階矩陣，且對任意100維的非零列向量X,均有AX中0，則A的秩為—：kx+2x+x=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 3.線性方程組42x+kx=0僅有零解的充分必要條件是 .12 x-x+x=0112 3.設(shè)X,X，…X和cX+cX+...+cX均為非齊次線性方程組4X=b的解1 2 s11 2 2 ss（c,c，…c為常數(shù)），則c+c+…+C= .12s 1 2 S .若線性方程組AX二b的導(dǎo)出組與BX=0（"B）=r）有相同的基礎(chǔ)解系，則r(A)=.若線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣的秩加，則其增廣矩陣的秩為m義n三、計算題1.已知。，a,a是齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，問1 2 3a+a,a+a,a+a是否是該方程組的一個基礎(chǔ)解系？為什么?1 2 2 3 3 13.設(shè)四元齊次線性方程組為（I）：3.設(shè)四元齊次線性方程組為（I）：4x+x=01 2x-x=02 4■5433-1一--1-2010一012265-6001設(shè)A=,B=,已知B的行向量都是線性3211-31-2100111111-23-202.方程組AX=0的解，試問B的四個行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為什么?1）求（I）的一個基礎(chǔ)解系2)如果k(0,1,1,0"+k(-1,2,2,1”是某齊次線性方程組(II)的通解，問方程組(I)12和(II)是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若無，說明理由。第五章特征值與特征向量一、單項選擇題/001、.設(shè)A=010，則A的特征值是()。(100)(a)-1,1,1 (b)0,1,1 (c)-1,1,2 (d)1,1,2」10、.設(shè)A=101,則A的特征值是()。1011)(a)0,1,1 (b)1,1,2 (c)-1,1,2 (d)-1,1,1.設(shè)A為n階方陣，A2二I，則()。(a)IA1=1(b)A的特征根都是1(c)r(A)=n(d)A一定是對稱陣.若x,x分別是方陣A的兩個不同的特征值對應(yīng)的特征向量則kx+kx也是A1 2 11 22的特征向量的充分條件是()。(a)k=0且k=0(b)k豐0且k豐0(c)kk=0(d)k豐0且k=01 2 1 2 12 1 2.若n階方陣A,B的特征值相同,則()。(a)A=B(b)IAI=IBI (c)A與B相似(d)A與B合同二、填空題n階零矩陣的全部特征值為。.設(shè)A為n階方陣，且A2=I，則A的全部特征值為。.設(shè)A為n階方陣，且A，”=0(山是自然數(shù))，則A的特征值為。.若A2=A，則A的全部特征值為。.若方陣A與41相似，則A=。三、計算題.若n階方陣A的每一行元素之和都等于a，試求A的一個特征值及該特征值對應(yīng)的一個特征向量..求非奇異矩陣P，使P-1AP為對角陣.

1)1、2J,1 11)1、2JA二-1-311-20-1J四、證明題.設(shè)A是非奇異陣，九是A的任一特征根，求證1是A-1的一個特征根，并且A關(guān)于,九的特征向量也是A-1關(guān)于1的特征向量.入.設(shè)A2=段求證A的特征根只能是±1..設(shè)n階方陣A與B中有一個是非奇異的，求證矩陣AB相似于BA..證明:相似矩陣具有相同的特征值..設(shè)n階矩陣A豐E，如果r(A+E)+r(A-E)=n，證明：-1是A的特征值。.設(shè)A^B，證明Ak?Bk。.設(shè)a,a是n階矩陣A分別屬于九,九的特征向量，且九。九，證明a+a不是A12 12 1 2 1 2的特征向量。概率論部分一、填空：(每題3分，共15分).假設(shè)A,B是兩獨(dú)立的事件，P(AuB)=0.7,P(A)=0.3，則P(B)=。.設(shè)A,B是兩事件，P(AIB)=1/4,P(B)=1/3,則P(AB)=。若二維隨機(jī)變量 ，滿足E(XY)=E(X)E(Y)，則X與Y。隨機(jī)變量X~N(0,1),Y=2X+3,則Y~。設(shè)總體X~N(0,1),X1,X2,…，X]°是來自總體X的樣本，則X服從分布。二、選擇：(每題3分，共15分)如果()成立，則事件A,B互為對立事件x 0<x<2.若X的概率密度為f(x)=<4-x2<x<4，則P{X<3}=()0 其它.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，則方差var(X)=().下列結(jié)論正確的是()X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)X與Y不獨(dú)立，則X與Y相關(guān)X與Y不相關(guān)，則X與Y相互獨(dú)立X與Y相關(guān)，則X與Y相互獨(dú)立

5.設(shè)X,X，…,X為來自正態(tài)總體X~N（從,a2）的一個樣本，其中N已知，o2未知，則下12 n面不是統(tǒng)計量的是（）三、計算：（共70分）1.（15分）甲乙兩袋，甲袋中有兩白球一個黑球，乙袋中有一個白球兩個黑球。先從甲袋中取一球放到乙袋中，再從乙袋中取一球，（1）求從乙袋中取出的是白球的概率；（2）已發(fā)現(xiàn)從乙袋中取出的是白球，問從甲袋中取出放入乙袋中的球為白球的概率。2.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X2.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）=cx2,0<x<20,其它0<x<1;，求Y=X2的概率密度;其他，試求：（1）常數(shù)c0<x<1;，求Y=X2的概率密度;其他，12x,.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）=jo.（10分）一袋中裝有5只球，編碼為1,2,3,4,5,在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最小號碼，求隨機(jī)變量X的分布律與數(shù)學(xué)期望.5.（15分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為16x,0<y<x<1

f(x,y)=]0,5.（15分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為（1）試求關(guān)于X及Y的邊緣概率密度；（2）判斷X與Y是否相互獨(dú)立，并說明理由.[2x2x0<x<0n6.（10分）總體X的概率密度函數(shù)為f（x）=《02 ,0>0是未知參數(shù)，0 其它求未知參數(shù)0的矩估計量,并驗證未知參數(shù)0的矩估計量是0的有偏還是無偏估計量。線性代數(shù)部分參考答案第一章行列式一、單項選擇題1. (C).2.(C).3.(B).4(C)5..(A)6.(C)二.填空題1.0;2.(-1)n-in!;3.—3M;4.x4；5.—2;6.kw—2,3;7.k=7三.計算題.-2(x3+y3)；.x=-2,0,1;-(2+b)(1-b)...((n-2)-b);(-1)nIni(b-a);kkk=1

Ea)InI(x—

kk=Ea)InI(x—

kk=1 k=1第二章參考答案12.(D))14.(C).1.1或-1；2.0；5.81；6.0；(一10°三、)、-13-216 °、；2）、3)、|3-8-6'、-212-972.0；':-12° °I° °第三章向量參考答案、單項選擇二、填空題1.5 2.相關(guān)3.aw° 4.相關(guān)三、解答題1.解：設(shè)P=xa+xa+xaTOC\o"1-5"\h\z11 22 33(1+九)x+x+x=°1 2 3則對應(yīng)方程組為1x+(1+九)x+x八

1 2 3x+x+(1+九)x=九2

12 31十1十九其系數(shù)行列式|A|=111 11+九1 二九2(九+3)1 1十九1°、 1°、 (11°°、，°°,（1）當(dāng)九?！?九w-3時，|A|w°，方程組有唯一解，所以P可由a「a2a3唯一地線性表示；（2）當(dāng)工°時，方程組的增廣陣A=[11U1r（A）=r（A）=1<3，方程組有無窮多解，所以P可由a,aa線性表示，但1 2, 3表示式不唯一；(3)當(dāng)X=-3時，方程組的增廣陣11-2-211-2-2-30-3-12-18,NA)豐r(A),方程組無解，所以P不能由a,a1a線性表示。2, 322.解：以a,a,a,a,P為列構(gòu)造矩陣

1234(1)當(dāng)a=±1且b豐0時，P不能表示為a,a,a的線性組合;234(2)當(dāng)aw±1,b任意時，P能唯一地表示為a,a,a,a的線性組合。3.解:(a(1)當(dāng)a=±1且b豐0時，P不能表示為a,a,a的線性組合;234(2)當(dāng)aw±1,b任意時，P能唯一地表示為a,a,a,a的線性組合。3.解:(a,a,a,a,a)=

123451-104215612521-1-203071410000100-110000102

1

-1

0,a為一個極大無關(guān)組，且a=-a+a

4 3 1+0a2 4=2a+a-a1 2 4四、證明題.證::3(P+P)-4(2P-P)=01213???-5P+3P+4P=01 2 3???P,P,P線性相關(guān)123.證：設(shè)k(a+a)+k(a+a)+…+k(a11 2 22 3則(k+k)a+(k+k)a+…(k1n1 1 2 2 n-1+k)ann\,a,a,,a線性無關(guān)12 n'k+k=01nk+k=0.J1 2100…01110…00其系數(shù)行列式011…00=1+(-1)n+1=<2n為奇數(shù)0,n為偶數(shù)1………………000…10000…11k+k=0n-1 n，當(dāng)n為奇數(shù)時，k,k,

12,k只能為零，na,a12,a線性無關(guān);n當(dāng)n為偶數(shù)時，k,k,……,k可以不全為零，a,a,……,a線性相關(guān)。

12 n 12 n參考答案、單項選擇題二、填空題kW—2且k中3 4.r5.m三、計算題是2.不能1）v=（0,0,1,0）r#=（—1,1,0,1）t 2）k（—1,1,1,1）t（其中k為任意非零常數(shù)）12第五章參考答案一、單項選擇題二、填空題,-1 ,1三、計算題1.〃,（1,1，…,1）72.(1)(-112.(1)(-11)1 1LJ(1—3)⑵-2四.證明題（略）概率論部分、填空（每題3分共15分）1.4/7；2.1/12；3.不相關(guān)；4.1.4/7；2.1/12；3.不相關(guān)；4.Y~N(3,4)；5.N(0,1/10)二、選擇（每題3分共15分）1．C； 2.C； 3.D；4.A；5.B三、計算TOC\o"1-5"\h\z（15分）解：設(shè)A=｛第一次從甲袋中摸的是黑球｝A=｛第一次從甲袋中摸的是白球｝12由全概率公式11P(A"3P(aj=2P(B)=P(BIA)P(A)+P(B11P(A"3P(aj=22 2P