四川省瀘州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

四川省瀘州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④2．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．4．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．86．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb7．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．8．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其前n項(xiàng)和，若（），則（）A．30 B． C． D．6211．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．12012．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．14．已知向量，滿足，，，則向量在的夾角為______.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點(diǎn)Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．16．已知，，且，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.19．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的求值范圍．20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為；（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2）若直線與曲線交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，求的值．22．（10分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時(shí)，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤；,,則,故②錯(cuò)誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).2、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價(jià)于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因?yàn)閷θ我?，，都有，所以函?shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.3、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.4、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與對比，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對比，屬于基礎(chǔ)題..5、D【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】試題分析：對于選項(xiàng)A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號方向，所以選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.7、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計(jì)算，意在考察學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.8、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．9、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公式，最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，因此.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、C【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故選C.考點(diǎn)：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14、【解析】

把平方利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡即得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，∴，∴，因?yàn)樗?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.15、【解析】

設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個(gè)圓的方程，列出方程組，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足題意，點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點(diǎn)Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點(diǎn)即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查圓與圓的位置關(guān)系，其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)問題，兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的判定方式.16、1【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉，，再處理只含的算式即可．【詳解】解：，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號成立，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，但是由于有3個(gè)變量，導(dǎo)致該題不易找到思路，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見詳解；(2).【解析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦危土庑蝺?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2)在圖中找到對應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?，A，C，G，D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.(2)過B作延長線于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳B平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼牵谥?，又因?yàn)楣?，所?而在中,，即二面角的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法．最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題考查考生的空間想象能力．18、（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式，將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)（1）求出曲線的極坐標(biāo)方程，分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標(biāo)方程，求出和，即可求出.【詳解】解：（1）因?yàn)椋閰?shù)），所以消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為.因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)的極徑分別為和，將（）代入，解得，將（）代入，解得.故.【點(diǎn)睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，還考查極徑的運(yùn)用和兩點(diǎn)間距離，屬于中檔題.19、（1）或；（2）．【解析】

（1）通過討論的范圍，將絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因?yàn)?，所以若函?shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分類討論求絕對值不等式的解集，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)的問題來解決，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于簡單題目.20、（1）（2）【解析】

（1）求出及其導(dǎo)函數(shù)，利用研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得的范圍．（2）令，題意說明時(shí)，恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù)，由研究的單調(diào)性，通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】解（1）函數(shù)所以討論：①當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.取，則又，所以，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）或當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意，得，所以（舍）或綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）令，根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，恒成立.又討論：①若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以存在使，不符合題意.②若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，據(jù)①求解知，不符合題意.③若，則當(dāng)時(shí)，恒有，故