2025屆北京市西城區(qū)第十三中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆北京市西城區(qū)第十三中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．2．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．5．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z等于()A． B． C． D．07．已知，則的值等于（）A． B． C． D．8．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過且交的左支于兩點(diǎn)，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．10．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C． D．11．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則的最小值是______.14．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．15．假設(shè)10公里長跑，甲跑出優(yōu)秀的概率為，乙跑出優(yōu)秀的概率為，丙跑出優(yōu)秀的概率為，則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________．16．如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，其中，，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.18．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，試判斷點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系．19．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動直線l過右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．20．（12分）某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為，21．（12分）已知圓外有一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線．(1)當(dāng)直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當(dāng)直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．22．（10分）為了加強(qiáng)環(huán)保知識的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.2、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.3、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.4、D【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可．5、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導(dǎo)公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題8、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.9、B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點(diǎn)為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.10、D【解析】

首先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù)，則，所以A選項(xiàng)不正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，所以B選項(xiàng)不正確；，所以C選項(xiàng)不正確；，所以D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想.11、D【解析】

先計(jì)算集合，再計(jì)算，最后計(jì)算．【詳解】解：，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運(yùn)算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍枺?，所以最小值?【點(diǎn)睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.14、9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意可知，，在和中，利用余弦定理建立方程求，同理求，求，代入求值.【詳解】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,．連接BD，在中，有．在中，．所以,則，所以．連接AC，同理可得,所以．所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對角互補(bǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知計(jì)算出與，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，則，化簡得，，解得或（負(fù)值舍去），，，，，，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）點(diǎn)在曲線外．【解析】

（1）先消參化曲線的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程；（2）由點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn),利用的范圍判斷的范圍,即可判斷位置關(guān)系.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為可得曲線的普通方程為,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即（2）由題,點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以點(diǎn)在曲線外.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.19、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】（1）由離心率為，可得，，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，，，故而橢圓方程為．（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，，，由于；②當(dāng)直線l的斜率為0時，，，則；③當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，，，由及，得，有，∴，，，，∴，綜上所述：．【點(diǎn)睛】該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求向量數(shù)量積，在解題的過程中，注意對直線方程的分類討論，屬于中檔題目.20、（1）選取更合適；（2）；（3）時，煤氣用量最小.【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，可得更適合；（2）先建立關(guān)于的回歸方程，再得出關(guān)于的回歸方程；（3）寫出函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】（1）選取更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型；（2）由公式可得：，，所以所求回歸直線方程為：；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即時，煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程，利用線性回歸方程的求法得解，結(jié)合基本不等式求最值.21、（1）或（2）．【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結(jié)果;(2)先求出直線方程，然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當(dāng)斜率不存在時，直線的方程為,滿足題意當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.22、（1）所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人；（2）分布列見解析，.【解析