新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第36講圓錐曲線的離心率問(wèn)題教師版

第36講圓錐曲線的離心率問(wèn)題一．選擇題（共27小題）1．（2024春?滁州期末）如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在其次象限上的點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，若直線平分線段于，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，橢圓的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在其次象限上的點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，直線平分線段于，為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率．故選：．2．（2024?常德期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與橢圓相交于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，左焦點(diǎn)且以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與橢圓相交于點(diǎn)，可得，，，可得，所以，，所以，，解得，解得，故選：．3．（2024?浙江期中）如圖，，，是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，若且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，，設(shè)，由對(duì)稱性可知：，由橢圓的定義可知：，由，則，則△中，由，則，整理得：，在△中，，將代入解得橢圓的離心率．故選：．4．（2024?衢州期末）已知，，是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，，設(shè)，由對(duì)稱性可知：，由橢圓的定義可知：，由，則，則△中，由，則，整理得：，在△中，，將，代入解得橢圓的離心率，故選：．5．（2024?湖南校級(jí)模擬）如圖所示，，，是雙曲線上的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，若，且，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．3【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則四邊形是矩形，由，，可得．又，在直角三角形中，，解得．故選：．6．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為直徑的圓交雙曲線右支上一點(diǎn)，，則雙曲線的離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，則，，，，，．故選：．7．（2024?運(yùn)城模擬）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖：雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，，可知是正三角形，所以，，代入雙曲線方程可得：．又，，可得，解得．故選：．8．（2024?天心區(qū)校級(jí)月考）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若，且雙曲線的離心率為2．則A． B． C． D．【解答】解：由雙曲線的定義知，，，，即，，在△中，由余弦定理知，，，，，故選：．9．（2024?河南模擬）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支相交于點(diǎn)，與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，則，，，同理，，，，，在，中，，即，得，有，，在△，中，由，即，得，即離心率，故選：．10．（2024?雙流區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，滿意，若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，記的最大值為，記最小值為，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?，所以，即，所以，由已知得的最大值為，最小值為，則，又由得，所以，所以，所以，所以的取值范圍為，故選：．11．（2024?濱州期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，交雙曲線的右支于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，，依題意可得，，，，，，，，雙曲線的漸近線方程為．故選：．12．（2024?福建模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，過(guò)作圓的切線交的右支于點(diǎn)．若，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為，連接，過(guò)作，垂足為，由，且為△的中位線，可得，，即有，則，即有，由雙曲線的定義可得，則，，即，又，，解得：（舍或．故選：．13．（2024?廣州一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的平分線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【解答】解：延長(zhǎng)交與，由為的角平分線，，所以為的中點(diǎn)，，連接，則為△的中位線，所以，而因?yàn)?，而所以整理可得，即，解得?，再由雙曲線的離心率大于1，可得，故選：．14．（2024?榆林四模）已知直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、且，則雙曲線的離心率為A． B．或3 C． D．或4【解答】解：雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，可得，即有直線的斜率為，由直線與雙曲線：雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，可得，可得，即有，化為，由可得，解得或，由，可得，即，可得舍去．故選：．15．（2024?新疆模擬）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓切于點(diǎn)，且與雙曲線右支交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，即，①連接，在直角三角形中，可得，又，可得，則，，又在直角三角形中，，所以，由為△的中位線，可得，由雙曲線的定義可得，即，②由①②解得，，所以雙曲線的方程為．故選：．16．（2024?西青區(qū)期末）已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線、的離心率相同．若是雙曲線一條漸近線上的點(diǎn)，且為原點(diǎn)），若，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【解答】解：雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由的面積為16，可得，即，又，且，解得，，，即有雙曲線的方程為，故選：．17．（2024?臨汾模擬）已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線一條漸近線上的點(diǎn)，且，若的面積為16，且雙曲線，的離心率相同，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由的面積為16，可得，即，又，且，解得，，，即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16．故選：．18．（2024?河北區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)橹本€過(guò)左焦點(diǎn)，若，即焦點(diǎn)三角形為直角三角形，且，依據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，當(dāng)為短軸頂點(diǎn)（設(shè)為時(shí)，有最大值，所以若有，則，所以，即，也即，所以離心率，又因?yàn)闄E圓離心率，所以，，故選：．19．（2024?昌邑區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓的離心率等于A． B． C． D．【解答】解：，，，△是直角三角形，，，由橢圓的定義可得，，，．故選：．20．（2024?湖北模擬）設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，，為其共同的左、右的焦點(diǎn)，且，若橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：依題意有，即，，，解得，，，，，故選：．21．（2024春?浙江月考）已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的左頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若不是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解答】解：因?yàn)椴皇卿J角三角形，所以為鈍角，因?yàn)殡p曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且直線垂直軸，所以，所以，因?yàn)闉橛医裹c(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，所以，所，，所以，所以，所以（舍去）或，所以雙曲線的離心率為，．故選：．22．（2024?浙江模擬）已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A．， B． C．， D．，【解答】解：點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，不妨在第一象限，，代入雙曲線方程可得：即：，可得，可得，直線，，可知，，，，所以，．故選：．23．（2024?重慶期末）已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，設(shè)，，，則，，依據(jù)雙曲線的定義，得，即，解得，，即，，，△中，，在三角形中，，，，可得，因此，該雙曲線的離心率．故選：．24．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，是雙曲線的一條漸近線上兩個(gè)不同點(diǎn)，滿意，都垂直于軸，過(guò)作，垂足為，若四邊形的面積是三角形面積的4倍，則雙曲線的離心率A． B．2 C．3 D．【解答】解：由雙曲線的方程可得，，漸近線方程為，由題意可得，都在漸近線上，可得，矩形的面積為，三角形的面積為，由題意可得，即為，所以．故選：．25．（2024春?浙江月考）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，因?yàn)?，且，所以，可得，，故．過(guò)作，在直角三角形中，，，由，可得．即可得，．故選：．26．（2024?包河區(qū)校級(jí)模擬）已知雙曲線的離心率，過(guò)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線交另一條漸近線于，則A．2 B． C． D．【解答】解：由題意雙曲線的離心率為：，可得，可得，所以，漸近線方程為：，如圖：，則，，所以，所以，．故選：．27．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿意，，則橢圓的離心率的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：取橢圓的左焦點(diǎn)兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得直線過(guò)原點(diǎn)，如圖所示：由，可得，即為矩形，，，，可得，，，當(dāng)在上頂點(diǎn)時(shí)，最小，當(dāng)，最大，所以離心率，即，，故選：．二．填空題（共18小題）28．（2024春?昌江區(qū)校級(jí)期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，，直線交軸于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．【解答】解：設(shè)，設(shè)，，，設(shè)，，，，則，，解得，，即，，，，即，，，得，解得，即，，在雙曲線上，，而，可得：或5，由于，可得，故答案為：．29．（2024?浙江模擬）如圖，橢圓的離心率為，是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上第一象限內(nèi)隨意一點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得，，，可得，，由，可得，即為，化為，可得，對(duì)恒成立，由，可得，即為，可得，即，故答案為：，．30．（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，橢圓的離心率為，是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上第一象限內(nèi)隨意一點(diǎn)．且，，若，則離心率的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)，，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得：，化簡(jiǎn)可得：，又因?yàn)?，則化簡(jiǎn)可得：恒成立，因?yàn)?，所以，所以，令，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以，則，所以解得，故答案為：．31．（2024?杭州校級(jí)模擬）如圖，橢圓的離心率，，分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右點(diǎn)頂點(diǎn)，是橢圓上隨意一點(diǎn)，若的最大值是12，則橢圓方程為．【解答】解：，，設(shè)，，則，，，．．當(dāng)時(shí)，有最大值為．，則，．所求橢圓方程為．故答案為：．32．（2024春?恩施州期末）設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，設(shè)則雙曲線離心率是．【解答】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，是等邊三角形，，，代入雙曲線，可得，，，，，．故答案為：．33．（2024?章貢區(qū)校級(jí)三模）設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，設(shè)，且，，則雙曲線離心率的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)左焦點(diǎn)為，令，，則，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，．故答案為：，．34．（2024?永康市模擬）已知橢圓，若存在過(guò)點(diǎn)且相互垂直的直線，使得，與橢圓均無(wú)公共點(diǎn)，則該橢圓離心率的取值范圍是．【解答】解：橢圓，明顯，中一條斜率不存在和另一條斜率為0，兩直線與橢圓相交，可設(shè)，即，聯(lián)立橢圓方程可得，由直線和橢圓無(wú)交點(diǎn)，可得△，化為，解得，由兩直線垂直的條件，可將換為，即有，化為，解得或，由題意可得，，化為，由于時(shí)，，可得；同樣，解得，則．故答案為：．35．（2024?河南月考）橢圓上存在第一象限的點(diǎn)，，使得過(guò)點(diǎn)且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)為橢圓半焦距），則橢圓離心率的取值范圍是，．【解答】解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)可得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，所以，則，所以，即橢圓的離心率的范圍為，，故答案為：，．36．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，連接，過(guò)作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，，且，四邊形的面積為，則橢圓的離心率為．【解答】解：由過(guò)作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則，由，則△的面積，△的面積，直角梯形的面積，四邊形的面積為，，橢圓的離心率，故答案為：．37．（2024春?確山縣校級(jí)期中）已知橢圓，雙曲線，若以的長(zhǎng)軸為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段三等分，則的離心率為．【解答】解：設(shè)橢圓與雙曲線的漸近線相交于、兩點(diǎn)，以的長(zhǎng)軸為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)（如圖）與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段三等分，，，由得，由，得即，即，即，即故答案為：38．（2024春?濠江區(qū)校級(jí)期中）已知為橢圓在第一象限上一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，設(shè)，，由題意可得，，，，因?yàn)?，設(shè)，，則，所以，即，，，的坐標(biāo)代入，所以，所以，即，而因?yàn)?，所以，所以可得，由，，三點(diǎn)共線，所以，即，即，將其代入中，，又，所以．故答案為：．39．（2024?渝中區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知為橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線與上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，若平行四邊形四邊長(zhǎng)的平方和為定值，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，則直線的方程為，直線方程為，聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得，則，又點(diǎn)在橢圓上，則有，又為定值，則，即，得．故答案為：．40．（2024?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）已知為橢圓上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線與上，且，，若為定值，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，則直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立方程組，解得，，聯(lián)立方程組，解得，，，，在橢圓上，，為定值，，．．故答案為：．41．（2024?道里區(qū)校級(jí)期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，射線平分交軸于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線平行于直線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．【解答】解：設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為