新高考2025屆高考數學二輪復習專題突破精練第3講函數的性質：奇偶性單調性周期性對稱性教師版

第3講函數的性質：奇偶性、單調性、周期性、對稱性一．選擇題（共34小題）1．函數的定義域為，若與都是奇函數，則A．是偶函數 B．是奇函數 C． D．是奇函數【解答】解：與都是奇函數，，，函數關于點及點對稱，，，故有，函數是周期的周期函數，，，即，是奇函數．故選：．【點評】本題主要考查抽象函數中一些主條件的變形，來考查函數有關性質，方法往往是緊扣性質的定義．2．（2024?山東三模）已知，且，函數，設函數的最大值為，最小值為，則A． B． C． D．【解答】解：，令，，，由，可知，故函數的圖象關于原點對稱，設的最大值是，則的最小值是，由，令，時，在，遞減，的最小值是，的最大值是（1），故（1），的最大值與最小值的和是，時，在，遞增，的最大值是，的最小值是（1），故（1），故函數的最大值與最小值之和為8，綜上：函數的最大值與最小值之和為8，故選：．【點評】本題考查了函數的單調性、奇偶性問題，考查函數的最值問題，是一道中檔題．3．（2024春?昆明期中）設函數的定義域為，為奇函數，且當時，，若最大值為，最小值為．現有下列四個結論：①；②；③；④．其中全部正確結論的編號為A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【解答】解：由已知得的圖象關于點對稱，當時，，所以當，時，，當時，，作出函數的簡圖如下：所以函數的最大值，最小值，所以，，，，所以①②正確．故選：．【點評】本題考查的學問要點：函數的性質，對稱性和單調性的應用，函數的導數和單調性的關系，函數的極值的求法和應用，主要考查學生的運算實力和數學思維實力，屬于中檔題．4．（2024?潁州區(qū)校級開學）定義在上的函數滿意，則的值為A． B． C．2 D．0【解答】解：當時，①，②，兩式相加可得，則有，故，所以的周期為6．（3）（2）（1），故選：．【點評】本題主要考查利用函數的周期求值．先利用周期把所求化到已知區(qū)間，再代入對應的解析式即可．屬于基礎題．5．（2024?甲卷）設是定義域為的奇函數，且．若，則A． B． C． D．【解答】解：由題意得，又，所以，又，則．故選：．【點評】本題主要考查了利用函數的奇偶性求解函數值，解題的關鍵是進行合理的轉化，屬于基礎題．6．（2024秋?道里區(qū)校級月考）設，是定義在上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數，當，時，，，其中，則在區(qū)間，上函數與與圖象交點個數是A．7 B．8 C．10 D．11【解答】解：當，時，，即，，當時，過點，，此時直線與半圓相交，當時，圓心到直線的距離，此時直線與半圓相切，故當，與相交，當，時有2個交點，因為是周期為4的奇函數，周期為2，作出圖像如下：由圖可得，在區(qū)間，上函數與圖象交點個數是11個，故選：．【點評】本題考查函數零點個數的判定，考查分段函數的應用，體現了數形結合的解題思想方法，是中檔題．7．（2024秋?禪城區(qū)月考）已知函數，若（1），則的取值范圍A．，， B． C． D．，【解答】解：，，則函數是偶函數，由（1）得（1），即（1），得（1），當時，，恒成立，即函數在，上為增函數，則不等式（1），等價為（1），則或，得或，即的取值范圍，，，故選：．【點評】本題主要考查不等式的求解，結合條件推斷函數的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強，有肯定的難度．8．（2024秋?瀘州期末）已知函數為自然對數的底數），若實數滿意（1），則實數的取值范圍是A．，， B．，， C．， D．，【解答】解：，求導，則在單調遞增，則，則為奇函數，則由（1），則（1），（1），由，解得：，實數的取值范圍，．故選：．【點評】本題考查利用導數求函數的單調性，函數的奇偶性及對數的運算性質，考查轉化思想，屬于中檔題．9．（2024秋?秦州區(qū)校級期末）已知函數是定義域在上的奇函數，且在區(qū)間，單調遞增，若實數滿意（1），則的取值范圍是A．， B． C． D．，【解答】解：是定義域為上的奇函數，不等式（1），等價為（1），即（1），則（1），在區(qū)間，上是單調遞增函數，，解得，故選：．【點評】本題主要考查不等式的求解，結合函數奇偶性和單調性之間的關系以及對數的運算性質是解決本題的關鍵10．（2024秋?四川期末）已知函數是定義在，，上的奇函數，在區(qū)間上是單調遞增，且．若實數滿意（1），則實數的取值范圍是A．， B． C．， D．【解答】解：為奇函數；（1），且；由得，；；①若，，依據題意在上單調遞增；由得，（1）；；；②若，，在上單調遞增；由得，；；；綜上得，實數的取值范圍是．故選：．【點評】考查奇函數的定義，奇函數在對稱區(qū)間上的單調性特點，對數的換底公式，對數函數的單調性，以及增函數的定義．11．（2024春?海安縣校級期中）若定義在上的函數滿意：對隨意的，，有為非零常數），則下列說法肯定正確的是A．為偶函數 B．為奇函數 C．為偶函數 D．為奇函數【解答】解：令，則由得，則，，，即不是奇函數，解除，令，，則由，得，即，則不成立，即不是偶函數，解除，，即是奇函數，故解除，故選：．【點評】本題主要考查函數奇偶性的推斷，結合抽象函數關系以及利用函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵．12．（2024?西湖區(qū)校級模擬）定義在上的函數滿意：對隨意，有，則A．是偶函數 B．是奇函數 C．是偶函數 D．是奇函數【解答】解：依據題意，對隨意，有，令可得：，解可得，再令，，則有，變形可得，不是偶函數也是奇函數，、錯誤；對于，進而變形可得，則是奇函數不是偶函數，錯誤；正確；故選：．【點評】本題考查函數奇偶性的推斷，涉及抽象函數的解析式，屬于基礎題．13．（2024?新高考Ⅱ）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則A． B． C．（2） D．（4）【解答】解：由題意，為偶函數，可得，為奇函數，可得，令為奇函數，可得（1），（3）（1），即，，易知的周期，其他選項的值不肯定等于0．即，故選：．【點評】本題考查了函數的奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．14．（2024秋?公主嶺市校級期中）若定義在上的函數滿意：對隨意，有，且時，，記在，上的最大值和最小值為，，則的值為A．2024 B．2024 C．4032 D．4034【解答】解：令得，，令得，，令，則，，，是奇函數，，即，．故選：．【點評】本題考查了奇偶性的推斷與性質，屬于中檔題．15．（2024秋?吉林校級月考）已知函數，且，則實數的取值范圍為A．，， B．，， C．， D．【解答】解：函數為自然對數的底數），，故函數為偶函數，且在單調遞增，，，即，解得，實數的取值范圍為：，，．故選：．【點評】本題考查了偶函數的性質，單調性，解函數不等式的基本方法，屬于中檔題16．（2024秋?長安區(qū)校級期中）已知函數是定義域為的奇函數，滿意．若（1），則（1）（2）（3）A． B．0 C．2 D．60【解答】解：依據題意，是定義域為的奇函數，則，且；又由即有，則，進而得到，為周期為4的函數，若（1），可得（3）（1），（2），（4），則（1）（2）（3）（4），則（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）；故選：．【點評】本題考查函數奇偶性的性質以及應用，留意分析函數的周期，屬于基礎題．17．（2024?浙江模擬）設函數滿意，且當，時，，當時，，又函數，函數在，上的零點個數為A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：因為函數滿意，所以為偶函數，圖象關于軸對稱，因為當，時，，當時，，所以當時，，所以，，當，時，，，所以，又，所以，所以為偶函數，圖象關于軸對稱，令，得，所以求函數在，上的零點個數，即求圖象與圖象在，上交點的個數，在同一坐標系中畫出的圖象與的圖象，如下圖所示，又，，所以函數在，上的零點個數為7個．故選：．【點評】本題主要考查了函數的零點與方程根的關系，解題的關鍵是將函數零點問題轉化成求圖象交點的問題，同時考查了數形結合的思想和轉化實力，屬于中檔題．18．（2024?北京）設函數為常數），則“”是“為偶函數”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：設函數為常數），則“”“為偶函數”，“為偶函數”“”，函數為常數），則“”是“為偶函數”的充分必要條件．故選：．【點評】本題考查命題真假的推斷，考查函數的奇偶性等基礎學問，考查推理實力與計算實力，屬于基礎題．19．（2024秋?大武口區(qū)校級期末）已知函數滿意，若函數與圖象的交點為，，，，，，，則交點的全部橫坐標和縱坐標之和為A．1010 B． C．2024 D．4040【解答】解：函數滿意，即為，可得的圖象關于點對稱，函數的圖象關于點對稱，可得若，為交點，則，也為交點，同理可得若，為交點，則，也為交點，則交點的全部橫坐標和縱坐標之和為，故選：．【點評】本題考查函數的對稱性的推斷和運用，考查轉化思想和運算實力、推理實力，屬于中檔題．20．（2024?江西模擬）已知偶函數滿意，，且當，時，，關于的不等式在，上有且只有300個整數解，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：偶函數滿意滿意，，的周期為8，且的圖象關于直線對稱．由于，上含有50個周期，且在每個周期內都是軸對稱圖形，關于的不等式在，上有3個整數解．當，時，，在上單調遞增，在，上單調遞減，（1），（2）（3）（4），當，2，3，時，，當時，在，上有4個整數解，不符合題意，，由可得或．明顯在，上無整數解，故而在，上有3個整數解，分別為1，2，3．（4），（3），（1），．故選：．【點評】本題考查了函數單調性與不等式的解的關系，屬于中檔題．21．（2024春?興慶區(qū)校級期末）設函數，則使得成立的的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：函數，那么可知是偶函數，當，是遞增函數，成立，等價于，解得：，故選：．【點評】本題主要考查不等式的解法，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合考查函數性質的應用．22．（2024秋?莊河市校級期末）設偶函數在，單調遞增，則使得成立的的取值范圍是A．， B．，， C．， D．，，【解答】解：因為為偶函數，所以可化為又在區(qū)間，上單調遞增，所以，即，解得，所以的取值范圍是，，故選：．【點評】本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查抽象不等式的求解，考查學生敏捷運用學問解決問題的實力．23．（2024秋?城中區(qū)校級期末）已知函數，其中是自然對數的底數，若，則實數的取值范圍是A． B．， C． D．，，【解答】解：函數的定義域為，且，所以為奇函數，，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，所以為減函數，所以不等式等價于，所以，解得或，即實數的取值范圍是．故選：．【點評】本題主要考查利用導數探討函數的單調性，函數奇偶性的推斷，利用函數的性質解不等式，屬于中檔題．24．（2024秋?平頂山期末）已知函數，（a），則A． B．2 C． D．3【解答】解：（a），（a），即，則，故選：．【點評】本題主要考查函數值的計算，結合對數函數的運算性質進行轉化是解決本題的關鍵．25．（2024?河南模擬）已知函數，若（a），則A．0 B． C． D．【解答】解：由題意知，（a），故，故選：．【點評】本題考查了學生的化簡運算實力．26．（2024?杭州模擬）已知函數是偶函數，則，的值可能是A．， B．， C．， D．，【解答】解：依據題意，設，則，則，，又由為偶函數，則，即，變形可得：對于隨意恒成立，則有，分析選項：滿意，故選：．【點評】本題考查函數的奇偶性的性質以及應用，涉及三角函數誘導公式的應用，屬于基礎題．27．（2024?內江一模）已知函數，，若與的圖象上分別存在點，，使得，關于直線對稱，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：與的圖象上分別存在點，，使得，關于直線對稱，函數的圖象關于直線對稱圖像與函數圖像有交點．函數圖像關于直線對稱圖像函數為的反函數．函數為的反函數為，對稱圖像函數為．此圖像與與函數的圖像在，上有交點可轉化為關于的方程在，上有解．可得．問題又可轉化為求函數的值域即為的取值范圍．得，函數在，上的遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為，，的最小值為（e），的最大值為，函數的值域，，的取值范圍為，，故選：．【點評】本題考查反函數、導數應用、函數方程思想、轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題．28．（2024春?歷城區(qū)校級月考）已知函數，與函數，若與的圖象上分別存在點，，使得關于直線對稱，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：關于直線的對稱函數為，則與在，上有交點，作出與在，上的函數圖象如圖所示：設經過點，，則，設與相切，切點為，，則，解得，．．故選：．【點評】本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要仔細審題，留意函數性質的合理運用．29．（2024?寶雞三模）函數的圖象的對稱性為A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【解答】解：因為，所以，所以函數是偶函數，即函數圖象關于軸對稱．故選：．【點評】本題主要考查函數奇偶性和函數圖象的關系，利用函數奇偶性的定義推斷函數的奇偶性是解決本題的關鍵．30．（2024秋?和平區(qū)校級月考）已知定義域為且函數圖象關于原點對稱，并滿意，當時，，則A． B． C． D．【解答】解：依據題意，定義域為且函數圖象關于原點對稱，則為奇函數，則有，滿意，則有，故，變形可得，為奇函數，則，又由，則，則，故選：．【點評】本題考查抽象函數的求值，涉及函數的奇偶性和對稱性的應用，屬于基礎題．31．（2024秋?咸陽月考）已知定義在上的函數的圖象關于點對稱，，且函數在上單調遞增，則A． B． C． D．【解答】解：因為函數的圖象關于點對稱，故函數的圖象關于點對稱，所以函數為上的奇函數，由，可得，故函數的周期為2，因為函數在上單調遞增，則在上也是單調遞增函數，因為，且，則．故選：．【點評】本題考查了函數性質的綜合應用，涉及了函數的對稱性、周期性以及單調性的應用，函數圖象變換的應用，考查了邏輯推理實力與轉化化歸實力，屬于中檔題．32．（2024秋?9月份月考）已知函數關于直線對稱，對隨意實數，恒成立，且當，時，，則A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由函數關于直線對稱，所以函數的圖象關于軸對稱，故為偶函數，所以，又對隨意實數，恒成立，所以，所以，所以函數的周期為2，當，時，，則（1）．故選：．【點評】本題考查了抽象函數的應用，函數奇偶性、對稱性以及周期性的應用，考查了轉化思想與邏輯推理實力，屬于中檔題．33．（2024春?東城區(qū)校級期中）已知定義在上的奇函數滿意，關于對稱且在區(qū)間，上單調遞增，則A． B． C． D．【解答】解：因為滿意，所以的周期為8，則，，（3），又因為為上的奇函數，且關于對稱，所以（3）（1），又在區(qū)間，上單調遞增，則在，上也是單調遞增，所以在，上單調遞增，故（1），所以．故選：．【點評】本題考查了函數性質的綜合應用，函數奇偶性、周期性、單調性的應用，解題的關鍵是將所要推斷的函數值進行等價轉化，考查了邏輯推理實力與轉化化歸實力，屬于中檔題．34．（2024秋?靜寧縣校級月考）已知函數的定義域為，且函數的圖象關于點對稱，對于隨意的，總有成立，當時，，函數，對隨意，存在，使得成立，則滿意條件的實數構成的集合為A． B． C． D．【解答】解：的圖象關于點對稱，的圖象關于點對稱，即是奇函數，由得，即函數是周期為4的周期函數，當時，，當時，，即，同時（4），（2），當時，，，則的值域為，若對隨意，存在，使得成立，則存在，使得即可．即，即可，則有解，當時，拋物線開口向下，滿意條件，當時，則滿意判別式△，得，綜上，故選：．【點評】本題主要考查函數恒成立問題，依據條件求出函數的值域，利用存在性與隨意性的關系進行轉化是解決本題的關鍵，是中檔題．二．多選題（共2小題）35．（2024春?臨沂期末）已知函數在上單調遞增，且，（2），則A．的圖象關于點對稱 B． C． D．不等式的解集為，，【解答】解：依據題意，依次分析選項：對于，函數滿意，即，則的圖象關于點對稱，正確；對于，函數滿意，令可得，又由在上單調遞增，則，則有，錯誤；對于，函數滿意，令可得，又由在上單調遞增，則，則有，正確；對于，函數滿意，令可得：（2），則有，不等式即或，則有或，即不等式的解集為，，，正確；故選：．【點評】本題考查函數單調性以及對稱性的應用，留意分析函數的對稱中心，屬于中檔題．36．（2024秋?姑蘇區(qū)校級月考）設函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數，則以下說法正確的有A．函數的圖像關于直線對稱 B．函數的圖像關于點對稱 C．函數的一個周期為4 D．（2）【解答】解：因為定義域為，且為偶函數，所以，①所以關于直線，對稱，故正確；又為奇函數，所以，即，用替換上式中，得，②所以關于點對稱，故正確；由①②得：③所以④，所以，即，所以函數周期為4，故正確；因為為奇函數，所以，無法推斷（2）的取值，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了抽象函數的性質，屬于中檔題．三．填空題（共14小題）37．（2005?西城區(qū)校級一模）函數，，中，是奇函數，是偶函數．【解答】解：函數，，為偶函數．函數，當時，，．又，．當時，，．又，．當時，，．又，．綜上，對隨意都有，為偶函數．函數，，為奇函數．故答案為：；，【點評】本題以函數為載體，考查函數奇偶性的推斷，應先推斷函數的定義域關于原點對稱，再合理運用定義，要留意分段函數的推斷，需分段探討．38．設函數的最大值為，最小值為，則2．【解答】解：，令，則為奇函數，的最大值與最小值的和為0，函數的最大值和最小值的和為，即，故答案為：2．【點評】本題考查了函數的奇偶性問題，考查轉化思想，是基礎題．39．（2024秋?廣東期中）設函數的最大值為，最小值為，則2．【解答】解：，令，函數的定義域為，且，則函數為奇函數，設其最大值為，則其最小值為，，，．故答案為：2．【點評】本題考查函數奇偶性的判定及其應用，考查函數的最值，考查數學轉化思想方法，是中檔題．40．（2024秋?上饒縣校級月考）設函數的最大值為，最小值為，則2．【解答】解：函數，則為奇函數，則，即，則，故答案為：2．【點評】本題主要考查函數最值的求解，利用分式函數的性質構造奇函數是解決本題的關鍵．41．定義在上的奇函數，設函數的最大值為，最小值為，則2．【解答】解：函數為奇函數，，又的最大值為，最小值為，又，即為奇函數，且的最大最小值分別為，，由奇函數的性質可得，解得．故答案為：2．【點評】本題考查函數的奇偶性，涉及函數的最值問題，屬基礎題．42．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，設函數的最大值為，最小值為，則的值為4039．【解答】解：函數令，由于是單調遞增，是單調遞增，可得．，，（a）則故答案為：4039．【點評】本題考查分別常數處理方法，函數的單調性的應用，構造為定值是解題的關鍵．屬于中檔題．43．（2012?臨川區(qū)校級模擬）設函數的最大值為，最小值為，那么4021．【解答】解：函數在上為增函數，在上為減函數在上為增函數，而在上也為增函數在上為增函數，故答案為4021【點評】本題主要考查了利用函數的單調性求函數的最大值與最小值，關鍵是把函數化簡成可以推斷單調性的形式．44．（2024秋?東麗區(qū)校級月考）設函數的定義域為，滿意，且當，時，．若對隨意，，都有，則的取值范圍是．【解答】解：因為，，，時，，，，時，，，，；，時，，，，，當，時，由解得或，若對隨意，，都有，則．故答案為：，．