新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇專題6概率與統(tǒng)計(jì)第3講統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的分析核心考點(diǎn)4獨(dú)立性檢驗(yàn)教師用書

核心考點(diǎn)4獨(dú)立性檢驗(yàn)核心學(xué)問·精歸納假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．典例研析·悟方法典例2(2024·全國一模)某學(xué)校號召學(xué)生參與“每天熬煉1小時(shí)”活動，為了了解學(xué)生參與活動的狀況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月(30天)完成熬煉活動的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：天數(shù)[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]人數(shù)4153331116(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參與體育熬煉天數(shù)X近似聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值)，且σ＝6.1，若全校有3000名學(xué)生，求參與“每天熬煉1小時(shí)”活動超過21天的人數(shù)(精確到1)；(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與“每天熬煉1小時(shí)”活動的天數(shù)在(15,30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0,15]的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對當(dāng)月參與“每天熬煉1小時(shí)”活動超過15天的學(xué)生授予“運(yùn)動達(dá)人”稱號．請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：性別活動天數(shù)合計(jì)[0,15](15,30]男生女生合計(jì)并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號有關(guān)聯(lián)．假如結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請說明它們之間如何相互影響．附：參考數(shù)據(jù)：P(μ－α≤X≤μ＋σ)＝0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973.χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)由頻數(shù)分布表知μ＝eq\f(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5,100)＝14.9，則X～N(14.9,6.12)，∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，∴P(X＞21)＝P(X＞14.9＋6.1)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865，∴3000×0.15865＝475.95≈476，∴參與“每天熬煉1小時(shí)”活動超過21天的人數(shù)約為476人．(2)由頻數(shù)分布表知，熬煉活動的天數(shù)在[0,15]的人數(shù)為：4＋15＋33＝52，∵參與“每天熬煉1小時(shí)”活動的天數(shù)在[0,15]的學(xué)生中有20名男生，∴參與“每天熬煉1小時(shí)”活動的天數(shù)在[0,15]的學(xué)生中有女生人數(shù)：52－20＝32，由頻數(shù)分布表知，熬煉活動的天數(shù)在(15,30]的人數(shù)為31＋11＋6＝48，∵參與“每天熬煉1小時(shí)”活動的天數(shù)在(15,30]的學(xué)生中有30名男生，∴參與“每天熬煉1小時(shí)”活動的天數(shù)在(15,30]的學(xué)生中有女生人數(shù)：48－30＝18，列聯(lián)表如下：性別活動天數(shù)合計(jì)[0,15](15,30]男生203050女生321850合計(jì)5248100零假設(shè)為H0：學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號無關(guān)，χ2＝eq\f(100×30×32－20×182,50×50×52×48)≈5.769＞3.841，依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即：可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號有關(guān)；而且此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動天數(shù)超過15天的頻率分別為：eq\f(30,50)＝0.6和eq\f(18,50)＝0.36，可見男生中獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號的頻率是女生中獲得“運(yùn)動達(dá)人”的稱號頻率的eq\f(0.6,0.36)≈1.67倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)為男生獲得“運(yùn)動達(dá)人”的概率大于女生，即男生更簡單獲得運(yùn)動達(dá)人稱號．方法技巧·精提煉獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．加固訓(xùn)練·促提高(2024·日照模擬)第五代移動通信技術(shù)(簡稱5G)是最新一代蜂窩移動通信技術(shù)，是實(shí)現(xiàn)人、機(jī)、物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施．某市工信部門為了解本市5G手機(jī)用戶對5G網(wǎng)絡(luò)的滿足狀況，隨機(jī)抽取了本市200名5G手機(jī)用戶進(jìn)行調(diào)查，所得狀況統(tǒng)計(jì)如下：滿足狀況年齡合計(jì)50歲以下50歲或50歲以上滿足95不滿足25合計(jì)120200(1)完成上述列聯(lián)表，并估計(jì)本市5G手機(jī)用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足的概率；(2)依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析本市5G手機(jī)用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足與年齡在50歲以下是否有關(guān)．附：α0.100.050.0250.0100.001xα2.7063.8415.0246.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下：滿足狀況年齡合計(jì)50歲以下50歲或50歲以上滿足9555150不滿足252550合計(jì)12080200所以本市5G手機(jī)用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足的概率約為eq\f(150,200)＝eq\f(3,4).(2)零假設(shè)為H0：本市5G手機(jī)用戶對5G網(wǎng)絡(luò)滿足與年齡在50歲以下無關(guān)．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算可得χ2＝eq\f(200×95×25－25×552,120