2025年中考數(shù)學二輪復習《壓軸題》專項練習（一）（含答案）

2025年中考數(shù)學二輪復習《壓軸題》專項練習（一）LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線的頂點為A(h，﹣1)，與y軸交于點B(0，﹣eq\f(1,2))，點F(2，1)為其對稱軸上的一個定點．(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知直線l是過點C(0，﹣3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P(m，n)到直線l的距離為d，求證：PF＝d；(3)已知坐標平面內(nèi)的點D(4，3)，請在拋物線上找一點Q，使△DFQ的周長最小，并求此時△DFQ周長的最小值及點Q的坐標．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點A(﹣1，0)和點B(0，3)，頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)、C，與y軸交于點B(0，3)，拋物線的頂點為P．(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線向下平移k個單位后經(jīng)過點(﹣5，6)．①求k的值及平移后拋物線所對應函數(shù)的最小值；②設平移后拋物線與y軸交于點D，頂點為Q，點M是平移后的拋物線上的一個動點，請?zhí)骄浚寒旤cM在何處時，△MBD的面積是△MPQ面積的2倍？求出此時點M的坐標．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y＝x2﹣bx＋c過點B(3，0)，C(0，﹣3)，D為拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式以及頂點坐標；(2)連接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；(3)點C關于拋物線y＝x2﹣bx＋c對稱軸的對稱點為E點，連接BE，直線BE與對稱軸交于點M，在(2)的條件下，點P是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點P使△CDB和△BMP相似，若存在，求點P坐標，若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的頂點D坐標為(1，4)，且與x軸相交于A，B兩點(點A在點B的左側，與y軸相交于點C，點E在x軸上方且在對稱軸左側的拋物線上運動，點F在拋物線上并且和點E關于拋物線的對稱軸對稱，作矩形EFGH，其中點G，H都在x軸上．(1)求拋物線解析式；(2)設點F橫坐標為m，①用含有m的代數(shù)式表示點E的橫坐標為(直接填空)；②當矩形EFGH為正方形時，求點G的坐標；③連接AD，當EG與AD垂直時，求點G的坐標；(3)過頂點D作DM⊥x軸于點M，過點F作FP⊥AD于點P，直接寫出△DFP與△DAM相似時，點F的坐標．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA＝4，OC＝3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交AC于點D，動點P在拋物線對稱軸上，動點Q在拋物線上.(1)求拋物線的解析式；(2)當PO＋PC的值最小時，求點P的坐標；(3)是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P，Q的坐標；若不存在，請說明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，且(x1＜0＜x2)，交y軸于點C，頂點為D．(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求該二次函數(shù)的對稱軸方程及頂點坐標；②定義：若點P在某函數(shù)圖象上，且點P的橫縱坐標互為相反數(shù)，則稱點P為這個函數(shù)的“零和點”，求證：此二次函數(shù)有兩個不同的“零和點”；(2)如圖，過D、C兩點的直線交x軸于點E，滿足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A(﹣3，0)、B(1，0)，與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式(2)在拋物線對稱軸上找一點M，使△MBC的周長最小，并求出點M的坐標和△MBC的周長(3)若點P是x軸上的一個動點，過點P作PQ∥BC交拋物線與點Q，在拋物線上是否存在點Q，使B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點Q的坐標，若不存在請說明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1，0)，點B(3，0)，與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線L的表達式；(2)若點P是直線y＝x＋1上的一個動點，將拋物線L進行平移得到拋物線L'，點B的對應點為點Q，是否存在以A、B、P、Q四個點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出拋物線的平移方式；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝﹣eq\f(1,2)有唯一的公共點A，與直線y＝eq\f(3,2)交于點B，C(C在B的右側)，且△ABC是等腰直角三角形．過C作x軸的垂線，垂足為D(3，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)直線y＝2x與拋物線的交點為P，Q，且P在Q的左側．(ⅰ)求P，Q兩點的坐標；(ⅱ)設直線y＝2x＋m(m＞0)與拋物線的交點為M，N，求證：直線PM，QN，CD交于一點．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由題意拋物線的頂點A(2，﹣1)，可以假設拋物線的解析式為y＝a(x﹣2)2﹣1，∵拋物線經(jīng)過B(0，﹣eq\f(1,2))，∴﹣eq\f(1,2)＝4a﹣1，∴a＝eq\f(1,8)∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,8)(x﹣2)2﹣1．(2)證明：過點P作PJ⊥AF于J．∵P(m，n)，∴n＝eq\f(1,8)(m﹣2)2﹣1＝eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m﹣eq\f(1,2)，∴P(m，eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m﹣eq\f(1,2))，∴d＝eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m﹣eq\f(1,2)﹣(﹣3)＝eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m＋eq\f(5,2)，∵F(2，1)，∴PF＝＝，∵d2＝eq\f(1,64)m4﹣eq\f(1,8)m3＋eq\f(7,8)m2﹣eq\f(5,2)m＋eq\f(25,4)，PF2＝eq\f(1,64)m4﹣eq\f(1,8)m3＋eq\f(7,8)m2﹣eq\f(5,2)m＋eq\f(25,4)，∴d2＝PF2，∴PF＝d．(3)如圖，過點Q作QH⊥直線l于H，過點D作DN⊥直線l于N．∵△DFQ的周長＝DF＋DQ＋FQ，DF是定值＝2eq\r(2)，∴DQ＋QF的值最小時，△DFQ的周長最小，由(2)可知QF＝QH，∴DQ＋QF＝DQ＋QH，根據(jù)垂線段最短可知，當D，Q，H共線時，DQ＋QH的值最小，此時點H與N重合，點Q在線段DN上，∴DQ＋QH的最小值為6，∴△DFQ的周長的最小值為2eq\r(2)＋6，此時Q(4，﹣eq\f(1,2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把A(﹣1，0)和點B(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得，解得：，∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；(2)∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，∴C(1，4)，拋物線的對稱軸為直線x＝1，如圖，設CD＝t，則D(1，4﹣t)，∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處，∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，∴P(1＋t，4﹣t)，把P(1＋t，4﹣t)代入y＝﹣x2＋2x＋3得：﹣(1＋t)2＋2(1＋t)＋3＝4﹣t，整理得t2﹣t＝0，解得：t1＝0(舍去)，t2＝1，∴P(2，3)；(3)∵P點坐標為(2，3)，頂點C坐標為(1，4)，將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，∴E點坐標為(1，﹣1)，∴點E關于y軸的對稱點F(﹣1，﹣1)，連接PF交y軸于M，則MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小，設直線PF的解析式為y＝kx＋n，∴，解得：，∴直線PF的解析式為y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)，∴點M的坐標為(0，eq\f(1,3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵點A(﹣1，0)、點B(0，3)，在拋物線上，∴，解得：，∴所求的拋物線解析式為y=x2+4x+3；(2)設平移后拋物線的解析式為y=x2+4x+3+k．∵它經(jīng)過點(﹣5，6)，∴6=(﹣5)2+4(﹣5)+3+k．∴k=﹣2．∴平移后拋物線的解析式為y=x2+4x+3﹣2=x2+4x+1．配方，得y=(x+2)2﹣3．∵a=1＞0，∴平移后的拋物線的最小值是﹣3．(3)由(2)可知，BD=PQ=2，對稱軸為x=﹣2．又∵S△MBD=2S△MPQ，∴BD邊上的高是PQ邊上的高的2倍．設M點坐標為(m，n)．①當M點的對稱軸的左側時，則有0﹣m=2(﹣2﹣m)．∴m=﹣4．∴n=(﹣4)2+4(﹣4)+1=1．∴M(﹣4，1)．②當M點在對稱軸與y軸之間時，則有0﹣m=2[m﹣(﹣2)]．∴m=﹣eq\f(4,3)．∴n=(﹣eq\f(4,3))2+(﹣eq\f(16,3))+1=﹣2eq\f(5,9)．∴M(﹣eq\f(4,3)，﹣2eq\f(5,9))．③當M點在y軸的右側時，則有m=2[(m﹣(﹣2)]．∴m=﹣4＜0，不合題意，應舍去．綜合上述，得所求的M點的坐標是(﹣4，1)或(﹣eq\f(4,3)，﹣2eq\f(5,9))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將點B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得，故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴D(1，﹣4)；(2)如圖．∵B(3，0)，C(0，﹣3)，D(1，﹣4)，∴BC2＝32＋32＝18，BC＝3eq\r(2)，CD2＝12＋(4﹣3)2＝2，CD＝eq\r(2)，BD2＝42＋(3﹣1)2＝20，BD＝2eq\r(5)，∴BD2＝BC2＋CD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝；(3)∵點C關于拋物線y＝x2﹣2x﹣3對稱軸的對稱點為E點，y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸為x＝1，∴E(2，﹣3)，∵B(3，0)，∴直線BE為y＝3x﹣9，∴M(1，﹣6)，由(2)知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，若△CDB和△BMP相似，可分兩種情況進行解析：①∠MPB＝∠BCD＝90°時，點P在x軸上，∵M(1，﹣6)，B(3，0)，∴PM＝6，BP＝2，∴，∴＝，∵∠MPB＝∠BCD＝90°，∴△CDB和△PBM，∴P(1，0)；②∠MBP＝∠BCD＝90°時，∵M(1，﹣6)，B(3，0)，∴MB＝2eq\r(10)，∵△CDB和△BPM，∴，∴，解得PM＝，∴點MP的縱坐標為eq\f(20,3)﹣6＝eq\f(2,3)，∴P(1，eq\f(2,3))．綜上所述，存在，點P的坐標為(1，0)或(1，eq\f(2,3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的頂點D坐標為(1，4)，∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x﹣1＋4＝﹣x2＋2x＋3，∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；(2)①當y＝0時，﹣x2＋2x＋3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A(﹣1，0)，B(3，0)，∴1＜m＜3，設E點的橫坐標為t，∵m﹣1＝1﹣t，∴t＝2﹣m，∴點E的橫坐標為2﹣m；故答案為：2﹣m；②設F(m，﹣m2＋2m＋3)(1＜m＜3)，則E(2﹣m，﹣m2＋2m＋3)，∵矩形EFGH為正方形，∴FG＝FE，即﹣m2＋2m＋3＝m﹣(2﹣m)，整理得m2＝5，解得m1＝﹣eq\r(5)(舍去)，m2＝eq\r(5)，∴G點坐標為(eq\r(5)，0)；③過點D作DM⊥x軸于M，∵EG⊥AD，而DM⊥x軸，∴∠1＝∠4，∴Rt△GEH∽Rt△DAM，∴，即∴GH＝2EH，即2m﹣2＝2(﹣m2＋2m＋3)，整理得m2﹣m﹣4＝0，解得m1＝(舍去)，m2＝，∴G點坐標為(，0)；(3)設AD交EF于Q，如圖，∵FP⊥AD，∴∠DPF＝90°，∵△DFP與△DAM相似∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，而FP⊥DQ，∴△FDQ為等腰三角形，∴FD＝FQ，設直線AD的解析式為y＝px＋q，把A(﹣1，0)，D(1，4)代入得，解得，∴直線AD的解析式為y＝2x＋2，當y＝﹣m2＋2m＋3時，2x＋2＝﹣m2＋2m＋3，解得x＝﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2)，則Q(﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2)，﹣m2＋2m＋3)，∴FQ＝m﹣(﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)m2﹣eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(m＋1)(m﹣1)，而DF2＝(m﹣1)2＋(﹣m2＋2m＋3﹣4)2＝(m﹣1)2＋(m﹣1)4，∴(m﹣1)2＋(m﹣1)4＝[eq\f(1,2)(m＋1)(m﹣1)]2，而m≠1，∴1＋(m﹣1)2＝eq\f(1,4)(m＋1)2整理得3m2﹣10m＋7＝0，解得m1＝1(舍去)，m2＝eq\f(7,3)，∴F點坐標為(eq\f(7,3)，eq\f(20,9))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，∴A(4，0)，C(0，3)，∵拋物線經(jīng)過O、A兩點，∴拋物線的頂點的橫坐標為2，∵頂點在BC邊上，∴拋物線頂點坐標為(2，3)，設拋物線解析式為y＝a(x﹣2)2＋3，把(0，0)坐標代入可得0＝a(0﹣2)2＋3，解得a＝﹣eq\f(3,4)，∴拋物線解析式為y＝﹣eq\f(3,4)(x﹣2)2＋3，即y＝﹣eq\f(3,4)x2＋3x；(2)連接PA，如圖，∵點P在拋物線對稱軸上，∴PA＝PO，∴PO＋PC＝PA＋PC.當點P與點D重合時，PA＋PC＝AC；當點P不與點D重合時，PA＋PC＞AC；∴當點P與點D重合時，PO＋PC的值最小，設直線AC的解析式為y＝kx＋b，根據(jù)題意，得，解得∴直線AC的解析式為y＝﹣eq\f(3,4)x＋3，當x＝2時，y＝﹣eq\f(3,4)x＋3＝eq\f(3,2)，則D(2，eq\f(3,2))，∴當PO＋PC的值最小時，點P的坐標為(2，eq\f(3,2))；(3)存在.當以AC為對角線時，當四邊形AQCP為平行四邊形，點Q為拋物線的頂點，即Q(2，3)，則P(2，0)；當AC為邊時，當四邊形AQPC為平行四邊形，點C向右平移2個單位得到P，則點A向右平移2個單位得到點Q，則Q點的橫坐標為6，當x＝6時，y＝﹣eq\f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此時Q(6，﹣9)，則點A(4，0)向右平移2個單位，向下平移9個單位得到點Q，所以點C(0，3)向右平移2個單位，向下平移9個單位得到點P，則P(2，﹣6)；當四邊形APQC為平行四邊形，點A向左平移2個單位得到P，則點C向左平移2個單位得到點Q，則Q點的橫坐標為﹣2，當x＝﹣2時，y＝﹣eq\f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此時Q(﹣2，﹣9)，則點C(0，3)向左平移2個單位，向下平移12個單位得到點Q，所以點A(4，0)向左平移2個單位，向下平移12個單位得到點P，則P(2，﹣12)；綜上所述，P(2，0)，Q(2，3)或P(2，﹣6)，Q(6，﹣9)或P(2，﹣12)，Q(﹣2，﹣9).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)①當a＝﹣1，b＝2，c＝4時，拋物線解析式為y＝﹣x2＋2x＋4，∵y＝﹣x2＋2x＋4＝﹣(x﹣1)2＋5，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點為D(1，5)；②當y＝﹣x時，﹣x2＋2x＋4＝﹣x，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，∴二次函數(shù)y＝﹣x2＋2x＋4有兩個不同的“零和點”；(2)如圖，連接AC，∵y＝ax2＋bx＋c，∴C(0，c)，頂點D(﹣，)，設直線CD的解析式為y＝kx＋n，則，解得：，∴直線CD的解析式為y＝x＋c，∴E(﹣，0)，∵A(，0)，B(，0)，∴AE＝﹣(﹣)＝＋，BE＝﹣(﹣)＝＋，∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，∴△EAC∽△ECB，∴＝，∴CE2＝AE?BE，在Rt△CEO中，CE2＝OC2＋OE2＝c2＋()2＝c2＋，∴c2＋＝(＋)(＋)，化簡得：ac＝﹣1，故ac的值為﹣1．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣eq\f(2,3)x2﹣x+2.(2)當x=0時，y=﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2=2，∴點C的坐標為(0，2).∵拋物線的解析式為y=﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2，∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1.連接AC，交拋物線對稱軸于點M，如圖1所示.∵點A，B關于直線x=﹣1對稱，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此時△MBC的周長取最小值.∵點A的坐標為(﹣3，0)，點B的坐標為(1，0)，點C的坐標為(0，2)，∴AC=eq\r(13)，BC=eq\r(5)，直線AC的解析式為y=eq\f(2,3)x+2(可用待定系數(shù)法求出來).當x=﹣1時，y=eq\f(2,3)x+2=eq\f(4,3)，∴當△MBC的周長最小時，點M的坐標為(﹣1，eq\f(4,3))，△MBC的周長為eq\r(13)+eq\r(5).(3)∵以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點B，P的縱坐標為0，點C的縱坐標為2，∴點Q的縱坐標為2或﹣2，如圖2所示.當y=2時，﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，∴點Q的坐標為(﹣2，2)；當y=﹣2時，﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，∴點Q的坐標為(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).∴在拋物線上存在點Q，使B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點Q的坐標為(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由題意得：，解得：．∴拋物線L的表達式為y＝﹣x2＋2x＋3；(2)存在以A、B、P、Q四個點為頂點的四邊形是菱形．理由：∵點A(﹣1，0)，點B(3，0)，∴AB＝4．如圖，當四邊形ABQP為菱形時，過點P作PC⊥x軸于點C，令x＝0，則y＝1，∴D(0，1)，∴OD＝1，令y＝0，則x＋1＝0，∴x＝﹣1，∴A(﹣1，0)．∴OA＝1．∴OA＝OD，∴∠DAO＝45°．∵PC⊥x軸，∴PC＝AC．∵四邊形ABQP為菱形，∴PA＝AB＝4．∴PC＝AC＝PA?sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴P(2eq\r(2)﹣1，2eq\r(2))，Q(3＋2eq\r(2)，2eq\r(