大學《高等數(shù)學A》課后復習題及解析答案

大學數(shù)學A(1)課后復習題

第一章

一、選擇題

1.下列各組函數(shù)中相等的是…?…...................................()

A.f(x)=2Inx,g(x)=InA,2B./(x)=l,g(x)=X°

C.f(x)=A/X+1,g(x)=Vx2-1D.f(x)=\x\,g(x)=E

2.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是..............................().

A.f(x)=ln(x+ylx2+1)B.f(x)=ew

x-12

「j、V()sinx

C.f(X)=cosxD./(x)=-——：------：-------

<1、

3.極限lim=+―7+?一+二的值為....................()

〃-n-J

A.0B.1C.—D.8

2

4.極限lim叱當色的值為?

........................................()

I00X

A.0B.1C.2D.co

x

5.當x-0時，下列各項中與—為等價無窮小的是...................()

2

A.x3(ex-1)B.1-cosxC.tanx-sinxD.ln(l+x)

6.設/(x)=2'—l,則當x-0時，有............................().

A./(X)與尤是等價無窮小B./(X)與X同階但非等價無窮小

C./(X)是比X島階的無窮小D./(X)是比X低階的無窮小

7函數(shù)/(%)在點X0可導是/(X)在點X0連續(xù)的條件..............()

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2-x,1<x<2

8.設函數(shù)/(x)=?x,OWxcl,則下述結(jié)論正確的是...............()

x2—1,—1x<0

A.在x=O,x=l處間斷B.在X=O,X=1處連續(xù)

C.在工=0處間斷，在X=1處連續(xù)D.在X=1處間斷，在x=0處連續(xù)

9.極限lim(l-x)-；的值為....................................()

XTO

1

A.1B.-CC.-D.e

e

二、填空題

10.函數(shù)y=J口+lnx的定義域為(用區(qū)間表示).

11.函數(shù)1y=的定義域為(用區(qū)間表示).

X

12.已知/(幻=^—，則/(/(]))=________________.

1+X

13.函數(shù)y二工^的反函數(shù)為______________.

3+2x

14.limx2sin—=_________________.

iox

15.當a=時，x"與sin2x是xT0時的同階無窮小.

16.設lim(l+kx)x=e2,則％=.

.v-?0

、“sinkx,,

17.設lim------=-1,則nl后二

XTOX

r2x4-3

18.lim

A->00k2x4-1

9.i殳/(x)=「s.in-1">。0在點》=0處連續(xù)，則”

a+x2,x<0

三、解答與證明題

20.求下列數(shù)列極限

(111A

(1)lim----+-----+…+-----------(2)limyfii(J〃+2-J〃+1)

W->00

2X3nx(n+1)>

,、「(〃〃〃、

(3)lim———+-----+?-?+------(4)limMl"+2〃+...+10”

—大〃~+1ir+2n~+n)X-?00

21.求下列函數(shù)極限

「3x3-2.r2+7

(1)hm——：、

xfg5x+x+1

(2X-3)20(3X+2)30

(3)lim

XfK(2x+l)50

lim與13

(5)(6)lim(-----------)

3

XT2X-2—\-x\-x

lim(7x+l-Vx),、「(A-1)X

(7)(8)hm------—

XT+8IInx

sinx/、sin2x

limIn(10)hm------

x->0xXTOsin3x

/、..tanx-sinx/、「〃廣、一

(11)lim------------(12)Iim(l-5x)r

x-?0XTO

22.lim+=4,求u的值.

7x-3

...Jx+Q+D1生

23.若己知lim---------二一,求a,b值.

Ix--14

24.當a取何值時，函數(shù)/（x）在x=0處連續(xù):

Vx+T-1n

e'v<0----------,x>0

⑴/(x)='(2)f(x)=x

a+x,x>0

cos(〃4-x),x<0

25.證明（1）方程——4/+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個根.

（2）方程0V=3x在（0,1）內(nèi)至少有一個根.

9、曲線y=1+sinx在點(0,1)處的切線方程是....................().

(A)x-y-1=0(B)+1=0(C)x+y+1=0(D)x+y-1=0

10.下列函數(shù)在所給區(qū)間滿足羅爾定理條件的是................()

(A)/(x)=x2,xe[0,3](B)f(x)=

x

(C)/(X)=|X|,XG[-1,1](0)f(x)=x\j3-x,xe[0,3]

二、填空題

11、設y=sin/+2x,貝lj力=.

12>已知""-"二工5工，(〃23,〃eN),則“")=.

13、已知過曲線y=4--上點0的切線平行于直線j二工，則切點。的坐標

為.

14.已知/'(1)=2,則lim小)—川)二

-x3+x-2

15.設y=。、(〃>0且〃w1),則y(")=.

16.曲線y=(x-l)3的拐點是.

17.設函數(shù)/(x)在/處可導，則則"一+、)-/(>-二)=.

A”>°

*

18.設/'(x)=<,當。=時，在x=0處可導.

Q+Xx>0

19.若函數(shù)/(x)=ad+工_5在(。，小)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍

為.

20.設由參數(shù)方程r=(其中。>o)確定的函數(shù)為歹=義工)，則

y=a(\-cost)

@=

dx

三、解答與證明題

21.設求y.

22.求下列函數(shù)的二階導數(shù).

1—Y

(1)設》="飛后》，求歹(2)設^=2「血11---,求y"

1+x

23.求曲線y=/在點2)處的切線方程和法線方程.

24.討論下列函數(shù)在點x=0處的連續(xù)性和可導性：

(1)/(x)=《，(2)f(x)=.

tAx<°tanxxx<0

25.求由方程x-ylnx=/所確定的隱函數(shù)y的導數(shù)半.

ax

26.求極限：

(1)lim[—i------]；

(2)lim-----：----

3

XTOln(l+x)xx->0Y

(3)limx(--arctanx)；(4)lim/；

X-?+€O2XTO,

[sintdt

(5)lim(—5----)；(6)lim由「一

x->°sinxx

2

27.設函數(shù)片歹(x)由參數(shù)方程、=ln(l+。所確定，求夕.

y=t-arctantdx~

28.求函數(shù)/(工)=(工-4)，(工+1)2的單調(diào)區(qū)間、極值.

29.求函數(shù)y=-3/+3x+2的凹凸區(qū)間、拐點.

30.已知點(1,3)為曲線y=/+ax°+bx+14的拐點.

(1)求4,6的值；⑵求函數(shù)y=/+〃/+bx+14的極值.

31.設〉二上三，求嚴

1+X

、八八,田口2。\nb-\na

3oo2.設證明：---<--------.

a~+b7b-a

33.設xNOJ(x)連續(xù)，/(0)=0,當x>0時存在且/⑺單調(diào)增加,

證明：當x>0時函數(shù)出單調(diào)增加.

X

X

34.證明：當x>0時，--<ln(l+x)<x.

l+x

35.證明：當x>0時，有xce'-lcxl成立.

第三章

一、選擇題：

1.下列湊微分正確的一個是()

A.cosxdx=J(sin2x)；B.arctanxdx=d(-

1+x-

1,“1、

C.\nxdx=d(—)D.—dx=d(——)

x廠x

2?若JJ\x)dx=X+c,則J/(2-3x)dx=()

1

A.2-3x+c：B.——x+c；C.x+c；D.—(2—3x)~+c

3

3.在以下等式中，正確的一個是()

A.\f\x)clx=j\x)

C.d[\f(x)dx]=f(x)

4.設/'(x)=sin3x,則，/(x)dx是()

1rsin3x

A.cos3x；B.cos3x+c；C.——cos3x+c；D.-------+c1x+c2

X,X>0廣2八，、.

5.若/(x)=次x<0,則「/(x)dx=().

A.3~c1B.3+c1C.3—eD.3+<?

6,下列定積分是負數(shù)的是()

(A)f2sinxdx(B)[2cosxdx

JoJo

(C)Lsinxdx(D)1^cosxdx

22

7.若『(2x+l心=4,則”()

3⑻20(D)4

(A。(B)4

(C)3(D)-3

33

2

9.—(Pty/\+tdt)=()

dx

(A)X2y/\+X(B)X2y/\+X—V2

(C)X4V1+X2(D)2X5YI\+X2

.vii

io.若［r/?)力=不/(工)-不且〃())=1,則/(x)=()

J°22

(A)「(B)-e'(C)e2x(吐”

2

二、填空題:

dx

1.d(arcsin退x).

71-3x2

2.J力--------------

3.若J/(x)么=cos3x+c,則f(x)=

4.J)/'，跳二

F(X)=￡V3+/2Jr,MF(l)=

5.

o,

cos,d

6.供PRUUI」J--------

XT。X

「3esinx.

7.----；——ax=

J-3x+X~+1

8.設/(x)連續(xù)，/(0)=l,則曲線y=J：/(x)dx在(0,0)處的切線方程是

三、解答題：

1、JVx(x2-

dx

2、

J廠+2x-3

3、—^dx

I+x2

(3r4+3r24-h

4、dx.

l+x2

rCOS2x,

5、-----------dx.

Jcosx-sinx

6、J

x

7、Jdx

8、卜2arctan.Yt/r

9、廣;7^

ridx

、v-x

10Joe+e

fiarctanVx,

11、

J；(|x|+x)e?dx；

12、

x

13.dx：

4

I"1f■Inx

產(chǎn)1x

15.-----dr

Jox\nx

2x-

sin"/dr

0

16.lim-

XTOx

17.求曲線y=e\y=及直線x=1所圍成的平面圖形的面積.

18.求由曲線/?=2〃（2+cos。）所圍圖形的面積

19.由曲線），=/和X=/所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體體積.

20.計算曲線y=-y^（3-x）上相應于10x43的一段弧的弧長

3

大學數(shù)學A(1)復習題參考答案

第一章

一、選擇題

1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D

二、填空題

x3r+5/3、

10、(0,3]11、2)12、13、14、0

1+2x3-2x2

15>116、217、-118、e19、0

三、解答與證明題

11心(」+」+.?.+?)

20(1)lim----+-----+…+

n>oc

11x22x3flX(〃+1);">8223〃〃十1

1

=lim(l-)=1.

“TOO

(2)lim4n(+2-Jn+1)=lim=lim

……J〃+2++l“TOO

nnnn

(3)因為<~1—；+…十—；---<———

n~+1n~+2n~+nn+1

而hm—=hm-=1,

〃nni

所以hm———+—----+???+------=1.

n+2ir+/?J

(4)因為io=ViF<《i〃+2"+...+i(r<也0〃+io”+...+10〃=10函,

lim癡=lim10』，

〃一>8/rToo

故lim.”+2"+...+10〃=10.

“TOO

.2L

32

.,、「3x-2x+7r1+?3

21(1)hm——；=hm——y-=-.

?J005x++1xe115

JH----+-r

(3)

.生H與Q-OH!iZL二J。)"。：。)'。Ji

—8(2x+l)50xlim*(2+](2+0)12

⑷所二=lim(?一D(吁+爪+1)=|皿叱+V7+1)=3.

x->'Vx-1xfVx-1XT

_O

(5)lim--------=lim(x2+2x+4)=12.

12x-2x->2、

(6)lim(—--------、)=liml+x+：_3一而"2

\-X1-XXTl1-X'el+X+廠

(7)lim(Jx+1-V7)=lim/------=0.

i°x"Jx+l+Jx

、「(x-l)x(x-l)x,

(8)hm--------=lim--------=1.

7\nxXTIx-\

..,sinx,sinx.

(9)hmIn------=Inlim-------=0.

x->0xt->0x

..sin2x..2x,.22

(10)hm--------=hm—=hm—=—.

XTOsin3xi)3%.—o33

2

X-

x

..tanx-sinA..tanx(l-cosx)..7

(11)hm----------------=Inn-----------------------=hm-----=-

XT。/

(12)

22解由題意知lim(x2-2x+^/)=0,即32-2x6+4=0從而a=-3.

23解因x-1時，而函數(shù)極限存在，則Jx+〃+20(x-1)

即limJx+a+6=0

x->1

從而\j\+a+b=0(1)

故原式二喃5"=助……$+后)

1

=lim-------..---/

I(X+I)(jx+O+J1+。)4VF+7

即J_=-(2)

4V14-a4

由(1)(2)解得。=0力=一1.

24解(1)因為limf(x)=lim(6/+x)=a,lim/(x)=limex=\,

x->0*XT0'r->0~x-MT

而/(0)=/故要使lim/(x)=lim/(x)=/(()),須且只須a=\.

Xf。-Kf。.

所以當且僅當4=1時，函數(shù)/(X)在X=0處連續(xù).

Jr4-1-111

(2)因為limf(x)=lim--------=lim/——=—,

io，*TO'xXTO*Jx+]+12

lim/'(x)=limcos(tz+x)=cosa,

X->(TX->0-

而/(0)=cost7,故要使limf(x)=limf(x)=/(0),

x->0-.v->0+

17F

須且只須cosa=—,即a=2攵乃士一(kwZ).

3

所以當且僅當。=2%r士工(左EZ)時，函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù).

25證(1)令/(x)=/-4x123+1,

則/(X)在。1]上連續(xù)，

且/(O)=1>OJ⑴=-2<0,

由零點定理知，三《￡(0,1),使/0=0,

即-4長+1=0,

所以方程/-4/+1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個根.

(2)設/(x)=e*-3x,

則/(x)在［0』上連續(xù),

且/(0)=l〉0,〃l)=e-3<0,

故由零點定理知方程在(0,1)內(nèi)至少有一個根.

第二章

一、選擇題

1、C2、D3、A4、C5、C

6、B7、A8、D9、B10、D

填空題

()、

11、(2xcosx~+2)dx12、13、_i"14g15、/(Inq)"

x2(2'4

(g，+8)sin/

16、(1,0)17、2/G。)18、1.19、20、

1-cos/

三、解答與證明題

21、解：y-尸

22、解:

(1)y=ev(sinx4-cosx)?

yn=ex(sinx+cosx)+，(cosx-sinx)=2excosx.

11-x

(2)y=—

'1-Xs\1+-V>

1+

J+X>

(心)2

(1+X)2+(1-X)2(1+x)2

-2

2(1+4(1+x)

r=-i[(")]=(1+巧

(")

1--1--

r221

23、解：y=—x,所以歹'(由二,Xx=4=4

所以切線方程為y-2=-(x-4),法線方程為y-2=-4(x-4).

4

24、解:

(1)因為lim/(x)=0，limJ\x)=0,

.jo’XT(T

所以，lim/U)=0.且f(0)=0,因此，函數(shù)在x=0處連續(xù).

x->0

〃。)=如/3一/(°)=如曰=1,

—o’x-0XTO'X-0

小。”巫幽二碗她上二八

X->0X—0XT。'x—0

所以函數(shù)在x=0處可導.

(2)因為limf(x)=0lim/(x)=0,

x->o?x-?(r

所以，lim/'(x)=O.且/(O)=O,因此，函數(shù)在x=O處連續(xù).

x->0

x?sin——0

f(0)=hm------:----=hm----------=hmxsin—=0

XTO'X-0x-*0'X-0XTO'x

f(O)=lim?&=lim強工1,

XT。-X-0I。-X-0

所以函數(shù)在x=0處不可導.

.1———ycx)

25、解：兩邊同時對x求導得，l—y'lnx-yL=eq(y+；9/),所以，/=一匚一

xInx+xex-

26、解：

1-----

(1)原式=lim%一皿1+勸==、一叫十%)=1加」±^=lim—^=L

v

XTOxln(l4-X)IOX~XTO2X--*°2(1+x)2

,sinx(-----1)./[、x—x2.

/、..tanx-sinx「osx「sinx(l-cosx)71

(2)lim-----；----=hm-----——C=hm——------------=lim-f-=-.

A?°X3°XXT°X'-cosx一°x'12

,71、i

(——arctanx)-----r

22

,、、.K、，.2!1+rX,

(3)limx(---arctanx)=hm------------=hm—~~-=lim-----7=1.

X-?-HO2.tTX1XT+81XT田]+x~

Xx-2

limxlnx

(4)limxA=limevlnr=e'^,limxlnx=0,所以原極限e°=l.

x->0-XTO*XTO*

、「/11、x-sinxx-sinx1-cosxsinx八

(5)lim(-------)=lim-------=lim----；——=lim-------=lim-----=0.

XTOsin.rx…xsinx…xx->02xx->02

fsintdt

「sinx1

(6)=lim----=—

XT。2x2

27、解：蟲=1+dj

dx%~2

l+r2

41

d?y_dt曲(dx、)_2_1+/

dx2dx_ItAt

ItT+7

28、解：函數(shù)定義域為(一8,+00).八%):5尸),令尸(幻=0,得駐點x=l,x=-\

3依+1)

為不可導點?

X(f-1)-1(-1,1)10,8)

f\x)+不可導-0+

/(x)T0J-3孤T

山上表可以看出，函數(shù)在(一8,-1),(1,十8)上單調(diào)上升，

函數(shù)在(7,1)上單調(diào)下降；

函數(shù)在X=-1處取得極大值/(-1)=0,在X=1處取得極小值/(1)=-3V4,

29、解：函數(shù)定義域為(70,+8).

yr=3x2-6x+3,/=6x-6=6(x-1),

令y〃=o,得x=l.

當x>l時，/>0；當x<l時，

所以函數(shù)的拐點為(1,3),在(g,1)上是凸的；在(1,+8)上是凹的.

30>解：(1)J=3/+2or+〃，y"=6x+2〃.

3=l+a4-6+14

由條件，有《,,解得。二一31=一9.

0=6+2。

⑵y=/一3九一97+14,函數(shù)定義域為(-oo,+oo).

f\x)=3x2-6x-9=3(x+l)(x-3),/"(x)=6x-6=6(x-1).

r

令f(x)=0,得穩(wěn)定點=-1,x2=3.

又/"(-1)=72<0,/〃(3)=12>0

故y=/一3/-9(+]4在點％=_]處取極大值，極大值為/(-1)=19,

在點x=3處取極小值，極小值為/(3)=-13.

皿—1—x+22

31.解：y=----------=—1H------

1+x14-X

y=2(-i)—

-'7(l+x)2

j〃=2(7)(—2)771V

[1+x)

)尸=2(-1)(-2)(-3)771V

(1+x)

/_2(-\)nn\-----——-

32.證明:令/(x)=lnx,則/(x)在［〃,〃］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導.

所以由Lagrange中值定理知，3^G(ab),使一,

yb-a

\nb-\na_1

b-aJ

又由一3故卜齊帚

\nb-\na2a

即

33.證明：1)令F(x)=&(x>0)

x

⑺0仆_M'(x)—/(X)/⑼=°VW-[fW-/(0)]

\￡)r(入J—A5

X~X~

微分中值定理MXD-M紇)o

?<u<§<X)

X

X

,??當x>0時,/")單調(diào)增加

??./'《)</'(X),即/'(X)-/'&)>o

故有F\x)>0.即要在(0,+x)單調(diào)增加

X

34.證明:令/?=ln(l+〃),則/(〃)在[0戶]上滿足Lagrange中值定理條件,

故無w(0,x),使f(x)-/(O)=r?)(x-0),

1Y

即ln(l+x)-ln(l+0)=----(x-0)?即ln(l+x)=——.

1+J1+J

又由Je(0,x),故——<*vx,即一^―<ln(l+x)vx.

1+xl+J1+x

35.證明：令/(1)=e'/￡[0,x],

/(r)="在［0,x］應用拉格朗日中值定理

ex-e0=(x-0),0<^<x

?，是單調(diào)增函數(shù),

?.e0<e^<e\

故有x<e"-\<xex,x>0證畢

第三章

一、選擇題

1-5DCBDA6-10CBCDC

二、填空題

111八0)

1.2.-arctan-x+C3.?3sin3x4.一尸(x-)+C

334~

5.-26.-I7.08.>=x

三、解答題

5522

1.)dx=^x2dx-^5dx=—x2-5x+C

yfx7

dxrdx\(c\.fl.

—-----------=----------------=-------ax--------dx

X2+2X-3J*+3)(X—1)4U1Jx+3

2.

x-\

4x+3

x1r6f(1+x2)=|ln|l+x2|+C

3.-------dx=------------

1+x22J1+x

rf3X4+3X2+1

-----7dx=x3+arctanx+C.

4.J、1+/