2024-2025學(xué)年上學(xué)期山東高二數(shù)學(xué)期末典型卷1

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期山東高二數(shù)學(xué)期末典型卷1一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春?高坪區(qū)校級(jí)期中）數(shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．2．（5分）（2023秋?東光縣月考）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則a2024＝（）A．22023﹣1 B．22023 C．22024﹣1 D．220243．（5分）（2019秋?三明期中）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．y＝±2x4．（5分）（2024?江西模擬）已知橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)恰好是等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．（5分）（2023秋?赤峰期中）設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（4，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（）A． B． C． D．6．（5分）（2022春?南通期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法．這種方法是依次寫(xiě)出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個(gè)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來(lái)，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù)．在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為（）A．333 B．335 C．337 D．3417．（5分）（2023秋?定邊縣校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，若an＞an+1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． D．8．（5分）（2023秋?杭州期末）已知雙曲線(xiàn)左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線(xiàn)左支上存在點(diǎn)P使得，則離心率的取值范圍為（）A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2023秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2023＜0，S2024＞0，則（）A．使an＞0的n的最小值為2024 B．|a1012|＜|a1013| C．當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝1012 D．為單調(diào)遞減的數(shù)列（多選）10．（5分）（2023秋?牡丹江校級(jí)期中）已知曲線(xiàn)C：1（m∈R），則下列結(jié)論正確的是（）A．若m＜0，則C表示雙曲線(xiàn) B．C可能表示一個(gè)圓 C．若C是橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 D．若m＝1，則C中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為（多選）11．（5分）（2023秋?福州期中）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若方程mx﹣y+5m＝0所表示的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)N在以點(diǎn)M為圓心，C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓上，則下列說(shuō)法正確的是（）A．橢圓C的離心率為 B．△PF1F2的面積可能為2 C．|PF1|?|PF2|的最大值為4 D．|PN|﹣|PF2|的最小值為（多選）12．（5分）（2023春?景德鎮(zhèn)期末）“內(nèi)卷”是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)流行詞，一般用于形容某個(gè)領(lǐng)域中發(fā)生了過(guò)度的競(jìng)爭(zhēng)，導(dǎo)致人們進(jìn)入了互相傾軋、內(nèi)耗的狀態(tài)，從而導(dǎo)致個(gè)體“收益努力比”下降的現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)中的螺旋線(xiàn)可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線(xiàn)這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫(huà)法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分E，F(xiàn)，G，H作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第3個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a1，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為a2，a3，an；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為b1，后續(xù)各直角三角形面積依次為b2，b3，bn，下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列{an}均是公比為的等比數(shù)列 B．從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)4個(gè)正方形的面積之和為 C．b5和a4滿(mǎn)足等式 D．設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）13．（5分）（2022秋?三門(mén)峽月考）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則稱(chēng)該數(shù)列為“和等比”數(shù)列．已知“和等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a1＝a2＝1，a3＝3，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11＝．14．（5分）（2021?涼山州模擬）雙曲線(xiàn)1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則它的離心率為．15．（5分）（2023秋?嶗山區(qū)校級(jí)月考）若橢圓2kx2+ky2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，﹣4），則k的值為．16．（5分）（2020秋?婁星區(qū)校級(jí)期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8＝6S3，an+1＝2an+1，若恒成立，則λ的最小值為．四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分）17．（10分）（2024春?銅仁市期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝27，，bn＝log3an．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若對(duì)任意n∈N*都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）（2023秋?萊西市期末）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為e，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且直線(xiàn)y＝ex是雙曲線(xiàn)y2＝1的一條漸近線(xiàn)．直線(xiàn)x＝x0與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且△CDF1的周長(zhǎng)最大值為8．橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PQ與x軸相交于點(diǎn)M（m，0），記直線(xiàn)AP的斜率為k1，直線(xiàn)QB的斜率為k2．（1）求．（2）若m＝1，設(shè)△AQP和△BPQ的面積分別為S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．19．（12分）（2021秋?牟定縣校級(jí)期末）已知F1是拋物線(xiàn)C1：y2＝4x的焦點(diǎn)，F(xiàn)2是拋物線(xiàn)C2：y2＝﹣2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（﹣1，y0）在C2上，且|MF1||．（1）求C2的方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)MF1與C1交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．20．（12分）（2023秋?高州市期末）治理垃圾是M市改善環(huán)境的重要舉措．去年M市產(chǎn)生的垃圾量為100萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始，連續(xù)6年，每年的垃圾排放量比上一年減少10萬(wàn)噸，從第7年開(kāi)始，每年的垃圾排放量為上一年的80%．（1）寫(xiě)出M市從今年開(kāi)始的年垃圾排放量與治理年數(shù)n（n∈N*）的表達(dá)式；（2）設(shè)Fn為從今年開(kāi)始n年內(nèi)的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無(wú)效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說(shuō)明理由．21．（12分）（2023秋?龍巖期末）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+f（1﹣x）＝2，數(shù)列{an}滿(mǎn)足：．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．22．（12分）（2022秋?駐馬店期末）已知圓，，動(dòng)圓M與圓C1，C2均外切，記圓心M的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C2，且與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期山東高二數(shù)學(xué)期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春?高坪區(qū)校級(jí)期中）數(shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】由數(shù)列若干項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，歸納數(shù)列前4項(xiàng)的變化規(guī)律，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列，…，有a1，a2，a3，a4，依次類(lèi)推：an．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2023秋?東光縣月考）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則a2024＝（）A．22023﹣1 B．22023 C．22024﹣1 D．22024【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出首項(xiàng)和公比，代入求解即可．【解答】解：設(shè){an}公比為q，顯然q≠1，由已知得，q2，故a5﹣a3＝16a1﹣4a1＝12，即a1＝1，可得a2024＝1×22023＝22023．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）（2019秋?三明期中）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．y＝±2x【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的幾何特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用雙曲線(xiàn)的離心率求出a，然后求解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程即可．【解答】解：雙曲線(xiàn)的離心率為，可得，解得a＝2，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：yx．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．4．（5分）（2024?江西模擬）已知橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)恰好是等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)，依題意可得|AB|＝|BF|，結(jié)合b2+c2＝a2即可求得橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)，則A（0，b），B（a，0），F(xiàn)（﹣c，0），且b2+c2＝a2，所以，，|BF|＝a+c，依題意△ABF為等腰三角形，|AB|＝|BF|，所以，化簡(jiǎn)得b2＝c2+2ac，又b2+c2＝a2，所以2c2+2ac﹣a2＝0，即2e2+2e﹣1＝0，解得，又0＜e＜1，所以，即橢圓的離心率為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求解，屬中檔題．5．（5分）（2023秋?赤峰期中）設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（4，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】首先利用焦半徑公式確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求|AB|．【解答】解：由題意可知，F(xiàn)（1，0），B（4，0），由|AF|＝|BF|＝3，設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），所以，得x0＝2，則，即或，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．（5分）（2022春?南通期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法．這種方法是依次寫(xiě)出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個(gè)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來(lái)，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù)．在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為（）A．333 B．335 C．337 D．341【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；歸納推理．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】方法一：由“埃拉托塞尼篩法”，找出所有被剔除的數(shù)，再求和即可；方法二：先求出2到30的全部整數(shù)和，再求出2到30的全部素?cái)?shù)和，作差即可．【解答】解：方法一：由“埃拉托塞尼篩法”可知，先從2開(kāi)始，剔除2的倍數(shù)有4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30；再?gòu)?開(kāi)始，剔除3的倍數(shù)有9，15，21，27；再?gòu)?開(kāi)始，剔除5的倍數(shù)有25，從7和7之后的數(shù)開(kāi)始，已在前面剔除所有7和7之后的數(shù)的倍數(shù)，所以在此過(guò)程中剔除的所有數(shù)為4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，30，這些數(shù)的和為4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26+27+28+30＝335．方法二：2到30的全部整數(shù)和S1464，2到30的全部素?cái)?shù)和S2＝2+3+5+7+11+13+17+19+23+29＝129，所以剔除的所有數(shù)的和為464﹣129＝335．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，理解“埃拉托塞尼篩法”，素?cái)?shù)的概念是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（5分）（2023秋?定邊縣校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，若an＞an+1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． D．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)an＞an+1建立不等式，不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)一切n∈N*恒成立，求出即可．【解答】解：據(jù)題設(shè)知，k（n+1）2+2（n+1）﹣4＜kn2+2n﹣4對(duì)一切n∈N*恒成立，所以2kn+k+2＜0對(duì)一切n∈N*恒成立，即對(duì)一切n∈N*恒成立．又當(dāng)n∈N*時(shí)，，所以，所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（5分）（2023秋?杭州期末）已知雙曲線(xiàn)左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線(xiàn)左支上存在點(diǎn)P使得，則離心率的取值范圍為（）A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的幾何特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解離心率的范圍．【解答】解：雙曲線(xiàn)左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），雙曲線(xiàn)左支上存在點(diǎn)P使得，可得a+c，解得e≥6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2023秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2023＜0，S2024＞0，則（）A．使an＞0的n的最小值為2024 B．|a1012|＜|a1013| C．當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝1012 D．為單調(diào)遞減的數(shù)列【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得a1012＜0和a1012+a1013＞0，由此可得B、C正確，進(jìn)而由Sn和的表達(dá)式，分析可得A正確，D錯(cuò)誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，若S2023＜0，則有S20232023a1012＜0，變形可得a1012＜0，若S2024＞0，則S2024（a1012+a1013）×1012＞0，變形可a1012+a1013＞0，故a1012＜0，a1013＞0，且|a1013|＞|a1012|，B正確；故當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝1012，C正確；同時(shí)d＝a1013﹣a1012＞0，Sn＝na1dn2+（a1）n，d＞0，且S2023＜0，S2024＞0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得使an＞0的n的最小值為2024，A正確；同時(shí)，n+（a1），數(shù)列{}為等差數(shù)列，其公差為0，是遞增數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）（2023秋?牡丹江校級(jí)期中）已知曲線(xiàn)C：1（m∈R），則下列結(jié)論正確的是（）A．若m＜0，則C表示雙曲線(xiàn) B．C可能表示一個(gè)圓 C．若C是橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 D．若m＝1，則C中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的幾何特征；曲線(xiàn)與方程；橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓的方程的特點(diǎn)，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，即可分別求解．【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，∵m2+2＞0，又m＜0，∴C表示雙曲線(xiàn)，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，令m2+2＝m，∴，∴m無(wú)解，∴C不可能表示一個(gè)圓，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，若C是橢圓，則m＞0，又，∴m2+2＞m＞0，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，若m＝1，則C可化為，∴C中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為通徑長(zhǎng)，∴D選項(xiàng)正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓的方程的特點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）（2023秋?福州期中）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若方程mx﹣y+5m＝0所表示的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)N在以點(diǎn)M為圓心，C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓上，則下列說(shuō)法正確的是（）A．橢圓C的離心率為 B．△PF1F2的面積可能為2 C．|PF1|?|PF2|的最大值為4 D．|PN|﹣|PF2|的最小值為【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】由橢圓方程求出離心率判斷A；求出△PF1F2的面積的最大值判斷B；由橢圓定義結(jié)合基本不等式判斷C；利用轉(zhuǎn)化思想求解|PN|﹣|PF2|的最小值判斷D．【解答】解：由橢圓C：，可得a＝2，b＝1，c，則e，故A正確；，則△PF1F2的面積不可能為2，故B錯(cuò)誤；橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝2a＝4，∴mn，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時(shí)取等號(hào)，因此|PF1|?|PF2|的最大值為4，故C正確；方程mx﹣y+5m＝0所表示的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)M（﹣5，0），∴以點(diǎn)M為圓心，C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓的方程為：（x+5）2+y2＝4，|PN|﹣|PF2|＝|PN|﹣（2a﹣|PF1|）＝|PN|+|PF1|﹣4≥|MF1|﹣2﹣4＝56，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P、N、M、F1共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的方程、基本不等式的應(yīng)用、三角形的面積計(jì)算公式、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．（多選）12．（5分）（2023春?景德鎮(zhèn)期末）“內(nèi)卷”是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)流行詞，一般用于形容某個(gè)領(lǐng)域中發(fā)生了過(guò)度的競(jìng)爭(zhēng)，導(dǎo)致人們進(jìn)入了互相傾軋、內(nèi)耗的狀態(tài)，從而導(dǎo)致個(gè)體“收益努力比”下降的現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)中的螺旋線(xiàn)可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線(xiàn)這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫(huà)法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分E，F(xiàn)，G，H作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第3個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a1，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為a2，a3，an；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為b1，后續(xù)各直角三角形面積依次為b2，b3，bn，下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列{an}均是公比為的等比數(shù)列 B．從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)4個(gè)正方形的面積之和為 C．b5和a4滿(mǎn)足等式 D．設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；歸納推理．【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，{an}，{bn}都是等比數(shù)列，從而可求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，再對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得到答案．【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知，且an＞0，所以，又因?yàn)閍1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可得，bn，所以，由，得數(shù)列與數(shù)列{an}均是公比為的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由上，a1＝4，，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且n∈N*，所以，因?yàn)閚∈N*時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，而，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)遞推關(guān)系求出{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生推理能力、計(jì)算能力，屬中檔題．三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）13．（5分）（2022秋?三門(mén)峽月考）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則稱(chēng)該數(shù)列為“和等比”數(shù)列．已知“和等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a1＝a2＝1，a3＝3，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11＝1365．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】1365．【分析】根據(jù)給定條件，求出這個(gè)等比數(shù)列的公比、通項(xiàng)，再利用并項(xiàng)求和法計(jì)算作答．【解答】解：根據(jù)題意，a1+a2＝2，a2+a3＝4，因此等比數(shù)列{an+an+1}的首項(xiàng)是2，公比為2，有，所以．故答案為：1365．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（2021?涼山州模擬）雙曲線(xiàn)1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則它的離心率為．【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的幾何特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】由題可知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，然后求出a＝b，代入離心率，即可得解．【解答】解：雙曲線(xiàn)1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，∵兩條漸近線(xiàn)互相垂直，∴a＝b，∴離心率e．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和離心率，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）（2023秋?嶗山區(qū)校級(jí)月考）若橢圓2kx2+ky2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，﹣4），則k的值為．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】先把橢圓2kx2+ky2＝1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c2＝16，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的關(guān)系即得雙曲線(xiàn)方程中的k的值．【解答】解：易知k≠0，方程2kx2+ky2＝1變形為，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以，解得，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）（2020秋?婁星區(qū)校級(jí)期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8＝6S3，an+1＝2an+1，若恒成立，則λ的最小值為2．【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】2【分析】直接利用等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)相消法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8＝6S3，整理得：，解得a1＝da2n+1＝2an+1，所以a3＝2a1+1，整理得a1＝d＝1，故an＝n整理得，所以，所以2（1）＝2（1）＜2＜λ．所以λ的最小正值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)相消法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分）17．（10分）（2024春?銅仁市期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝27，，bn＝log3an．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若對(duì)任意n∈N*都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】（1）an＝32n﹣1，bn＝2n﹣1；（2）{m|m≤1}．【分析】（1）由已知遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求an，進(jìn)而可求bn；（2）利用裂項(xiàng)求和求出Tn，進(jìn)而可求出Tn的范圍，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：（1）數(shù)列{an}中，a2＝27，，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1，故n≥2時(shí)，兩式相減得，Sn﹣Sn﹣1an，即an+1＝9an，n≥2，因?yàn)镾13，則a2＝9a1，故數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，以9為公比的等比數(shù)列，所以an＝3×9n﹣1＝32n﹣1，bn＝log3an＝2n﹣1；（2）由（1）得，，故Tn＝111，若對(duì)任意n∈N*都成立，則，解得m≤1，故m的范圍為{m|m≤1}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了裂項(xiàng)求和，不等式恒成立求解參數(shù)范圍，屬于中檔題．18．（12分）（2023秋?萊西市期末）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為e，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且直線(xiàn)y＝ex是雙曲線(xiàn)y2＝1的一條漸近線(xiàn)．直線(xiàn)x＝x0與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且△CDF1的周長(zhǎng)最大值為8．橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PQ與x軸相交于點(diǎn)M（m，0），記直線(xiàn)AP的斜率為k1，直線(xiàn)QB的斜率為k2．（1）求．（2）若m＝1，設(shè)△AQP和△BPQ的面積分別為S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）依題意可求曲線(xiàn)C的方程，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程，聯(lián)立方程組后，用韋達(dá)定理結(jié)合斜率公式求解即可；（2）依題意表示|S1﹣S2|的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求解．【解答】解：（1）設(shè)CD與x軸的交點(diǎn)為H，由題意可知CH|≤|CF2|，則|CF1|+|CH|≤|CF1|+|CF2|＝2a，當(dāng)CD過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，△CDF1的周長(zhǎng)取最大值4a＝8，所以a＝2，雙曲線(xiàn)y2＝1的漸近線(xiàn)為y，又直線(xiàn)y＝ex是雙曲線(xiàn)y2＝1的一條漸近線(xiàn)，∴e，即，所以c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線(xiàn)PQ的方程為x＝ty+m，聯(lián)立，消去x得（3t2+4）y2+6tmy+3m2﹣12＝0，則Δ＝（6tm）2﹣4（3t2+4）（3m2﹣12）＞0，即3t2+4＞m2，由書(shū)達(dá)定理得：y1+y2，y1?y2，∴，即﹣2tmy1y2＝（m2﹣4）（y1+y2），由題意k2≠0，所以．（2）若m＝1，則直線(xiàn)PQ的方程為x＝y(tǒng)+1，由韋達(dá)定理得：y1+y2，y1?y2，S1|AM||y1﹣y2|，S2|BM||y1﹣y2|，所以|S1﹣S2|||AM|﹣|BM||y1﹣y2|，∵t2≥0，則1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝3x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故34，所以|S1﹣S2|3，當(dāng)1，即t＝0時(shí)，等號(hào)成立，所以|S1﹣S2|的最大值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)解決綜合問(wèn)題，是難題．19．（12分）（2021秋?牟定縣校級(jí)期末）已知F1是拋物線(xiàn)C1：y2＝4x的焦點(diǎn)，F(xiàn)2是拋物線(xiàn)C2：y2＝﹣2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（﹣1，y0）在C2上，且|MF1||．（1）求C2的方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)MF1與C1交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合；拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)．【專(zhuān)題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）y2＝﹣4x；（2）．【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，三角形面積公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）易知F1（1，0），．因?yàn)?，，所以，解得p＝2，則C2的方程為y2＝﹣4x；（2）不妨令y0＞0，即M（﹣1，2），直線(xiàn)MF1的方程為y＝﹣x+1，不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，由韋達(dá)定理得x1+x2＝6，x1x2＝1，所以，又點(diǎn)O到直線(xiàn)MF1的距離，故△OAB的面積S．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的方程以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）（2023秋?高州市期末）治理垃圾是M市改善環(huán)境的重要舉措．去年M市產(chǎn)生的垃圾量為100萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始，連續(xù)6年，每年的垃圾排放量比上一年減少10萬(wàn)噸，從第7年開(kāi)始，每年的垃圾排放量為上一年的80%．（1）寫(xiě)出M市從今年開(kāi)始的年垃圾排放量與治理年數(shù)n（n∈N*）的表達(dá)式；（2）設(shè)Fn為從今年開(kāi)始n年內(nèi)的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無(wú)效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）an；（2）現(xiàn)有的治理措施是有效的，理由詳見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，依次求出分段數(shù)列，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，先求出Fn，再結(jié)合作差法，以及（1）的結(jié)論，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)治理n年后，M市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列{an}，當(dāng)n≤6時(shí)，{an}是首項(xiàng)為a1＝100﹣10＝90，公差為﹣10的等差數(shù)列，所以an＝a1+（n﹣1）d＝90﹣10（n﹣1）＝100﹣10n，，當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}是以a7為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以；所以治理n年后，M市的年垃圾排放量的表達(dá)式為an；（2）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則，由于，由（1）知，1≤n≤6時(shí)，an＝100﹣10n，所以{an}為遞減數(shù)列，n≥7時(shí)，，所以{an}為遞減數(shù)列，且a7＜a6，所以{an}為遞減數(shù)列，于是an+1﹣a1＜0an+1﹣a2＜0，…，an+1﹣an＜0，因此Fn+1﹣Fn＜0，所以數(shù)列{Fn}為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．21．（12分）（2023秋?龍巖期末）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+f（1﹣x）＝2，數(shù)列{an}滿(mǎn)足：．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用f（x）+f（1﹣x）＝2及倒序求和即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減求得Sn，對(duì)一切n∈N*恒成立，則對(duì)一切n∈N*恒成立，求出的最大值即可．【解答】解：（1）∵f（x）+f（1﹣x）＝2，，則，∴①+②可得：，∴．（2）∵，∴，，兩式相減得，，∴，又對(duì)一切n∈N*恒成立，∴對(duì)一切n∈N*恒成立，即有對(duì)一切n∈N*恒成立，當(dāng)n＝1時(shí)，取得最大值，∴，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，屬于中檔題．22．（12分）（2022秋?駐馬店期末）已知圓，，動(dòng)圓M與圓C1，C2均外切，記圓心M的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C2，且與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合；軌跡方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義分析求解；（2）不妨設(shè)，A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y1＝﹣3y2，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解．【解答】解：（1）由題意可知：圓C1的圓心C1（﹣3，0），半徑r1＝3，圓C2的圓心C2（﹣3，0），半徑r2＝3，由條件可得|MC1|﹣3＝|MC2|﹣1，即|MC1|﹣|MC2|＝2＜|C1C2|，則根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)M是以C1，C2為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)的右支，則a＝1，c＝2，可得b2＝c2﹣a2＝8，所以曲線(xiàn)C的方程為．（2）由（1）可知：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，由于C2（3，0）且直線(xiàn)AB的斜率不等于0，不妨設(shè)，A（x1，y1），B（x2，y2），則，，由可得y1＝﹣3y2，聯(lián)立方程，消去x得（8m2﹣1）y2+48my+64＝0，則Δ＞0，由韋達(dá)定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直線(xiàn)，即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求法，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà)．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線(xiàn)模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線(xiàn)式上升（x的系數(shù)k＞0），通過(guò)圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y（k＞0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸．④對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來(lái)越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過(guò)程：如下圖所示．【解題方法點(diǎn)撥】用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，針對(duì)具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問(wèn)題；③給出實(shí)際問(wèn)題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類(lèi)型；②抽象函數(shù)模型在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問(wèn)題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義和題目的要求，給出實(shí)際問(wèn)題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)利潤(rùn)的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿(mǎn)足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x?25%，然后一一驗(yàn)證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿(mǎn)足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x?25%x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x＞200時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x＞600時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿(mǎn)足①，當(dāng)x＝1000時(shí)，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故滿(mǎn)足公司要求；D中，函數(shù)yx2，易知滿(mǎn)足①，當(dāng)x＝400時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；故選C點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是一一驗(yàn)證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，服裝的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足關(guān)系式3﹣x（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，服裝的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費(fèi)用需要3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件服裝需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件服裝的售價(jià)定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？（注：利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）分析：（1）通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可用基本不等式求出最值，即促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x，且當(dāng)t＝0時(shí)，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價(jià)，…（2分）所以，y（3分）＝16x，（t≥50）；…（2分）（2）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即t＝7時(shí)取等號(hào)，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．…（1分）點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．2．由數(shù)列若干項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)列及其有關(guān)概念，（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，又稱(chēng)為首項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，..簡(jiǎn)記作{an}，此處的n是序號(hào)．3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分為兩類(lèi)，有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類(lèi)，可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列；4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，則稱(chēng)這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．幾個(gè)認(rèn)識(shí)：（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求同數(shù)列的項(xiàng)，這與已知函數(shù)的解析式，求某一自變量的函數(shù)值是一致的．（2）有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，如的近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，…時(shí)，所構(gòu)成的數(shù)列，1，1.4，1.41，1.414，…，此數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（前幾項(xiàng)）（n≥2，n∈N*）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【解題方法點(diǎn)撥】﹣觀察規(guī)律：通過(guò)觀察數(shù)列前幾項(xiàng)的規(guī)律，推導(dǎo)出通項(xiàng)公式．﹣設(shè)未知數(shù)：假設(shè)通項(xiàng)公式an＝f（n），代入前幾項(xiàng)求解參數(shù)．﹣驗(yàn)證公式：驗(yàn)證推導(dǎo)出的通項(xiàng)公式是否適用于數(shù)列的每一項(xiàng)．【命題方向】常見(jiàn)題型包括通過(guò)數(shù)列的前幾項(xiàng)推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．?dāng)?shù)列﹣2，1，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A．a(chǎn)n＝（﹣1）n+1B．a(chǎn)n＝（﹣1）nC．a(chǎn)n＝（﹣1）nD．a(chǎn)n＝（﹣1）n+1解：根據(jù)題意，數(shù)列﹣2，1，，，，…的前5項(xiàng)可以寫(xiě)成（﹣1）1、（﹣1）2、（﹣1）3、（﹣1）4、（﹣1）5，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為an＝（﹣1）n．故選：C．3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話(huà)會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．4．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．5．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1?qn﹣13．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．6．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．7．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合．8．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．點(diǎn)評(píng)：該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．9．裂項(xiàng)相消法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（）．【解題方法點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過(guò)將數(shù)列項(xiàng)裂解成兩個(gè)或多個(gè)部分進(jìn)行相消來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．求和：．解：因?yàn)?，所以原式．故答案為?．10．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an．在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．11．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的函數(shù)特性：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．【解題方法點(diǎn)撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問(wèn)題時(shí)：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程．（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無(wú)一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類(lèi)旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時(shí)）時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問(wèn)題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過(guò)少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（I）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；（II）設(shè)bn＝anf（an），數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)時(shí)，求Sn．分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達(dá)式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式，再用定義來(lái)證{an}是等比數(shù)列即可；（II）先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再對(duì)數(shù)列{bn}利用錯(cuò)位相減法求和即可．解答：證明：（I）f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logaan＝2n+2，可得an＝a2n+2．∴為定值．∴{an}為等比數(shù)列．（5分）（II）解：bn＝anf（an）＝a2n+2logaa2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）當(dāng)時(shí)，．（8分）Sn＝2×23+3×24+4×25++（n+1）?2n+2①2Sn＝2×24+3×25+4×26++n?2n+2+（n+1）?2n+3②①﹣②得﹣Sn＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）?2n+3（12分）（n+1）?2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n?2n+3﹣2n+3．∴Sn＝n?2n+3．（14分）點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．12．?dāng)?shù)列與不等式的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項(xiàng)放縮后求和；（3）先將通項(xiàng)放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明．常用的放縮方法有：，，，[]（n≥2），（）（n≥2），，2（）2（）．．【解題方法點(diǎn)撥】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿(mǎn)思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽試題命題的極好素材．這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：|a|；n；（2）將分子或分母放大（或縮?。?；（3）利用基本不等式；；（4）二項(xiàng)式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性．（7）常見(jiàn)模型：①等差模型；②等比模型；③錯(cuò)位相減模型；④裂項(xiàng)相消模型；⑤二項(xiàng)式定理模型；⑥基本不等式模型．【命題方向】題型一：等比模型典例1：對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿(mǎn)足n+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：對(duì)于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，當(dāng)n≥2時(shí)，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不適合上式．綜上得；（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，．∴．∴當(dāng)n≥2時(shí)，．題型二：裂項(xiàng)相消模型典例2：數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N*，總有an，Sn，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：．分析：（1）根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）進(jìn)而可判斷出數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，從而得證．解答：（1）由已知：對(duì)于n∈N*，總有2Sn＝an①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝anan﹣1，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n＝1時(shí)，2S1＝a1，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放縮的方向要一致．（2）放與縮要適度．（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）．（4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象．所以對(duì)放縮法，只需要了解，不宜深入．13．橢圓的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱(chēng)性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線(xiàn)段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫(huà)橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．14．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：15．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置判斷：將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交?Δ＞0；直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切?Δ＝0；直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】研究直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，一般是將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時(shí)應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．直線(xiàn)y＝kx+b與拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組的解的個(gè)數(shù)．（1）若k≠0，則當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)．（2）若k＝0，則直線(xiàn)y＝b與y2＝2px（p＞0）相交，有一個(gè)公共點(diǎn)；特別地，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)x＝m，則當(dāng)m＞0時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＝0時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＜0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)．【命題方向】掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力．對(duì)相對(duì)固定的題型，比如弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題等，要以課本為例，理解通性通法，熟練步驟．對(duì)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的綜合研究，涉及到定點(diǎn)、定值等相關(guān)結(jié)論，往往是高考考試的熱點(diǎn)．16．雙曲線(xiàn)的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e（e＞1）準(zhǔn)線(xiàn)x＝±y＝±漸近線(xiàn)±0±017．曲線(xiàn)與方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)．那么，這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)．求解曲線(xiàn)方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】例：：定義點(diǎn)M到曲線(xiàn)C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)M到曲線(xiàn)C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（）A：直線(xiàn)B：圓C：橢圓D：雙曲線(xiàn)一支．解：對(duì)定點(diǎn)B分類(lèi)討論：①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線(xiàn)段PB的垂直平分線(xiàn)l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線(xiàn)段PB的垂直平分線(xiàn)l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線(xiàn)的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一支．③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線(xiàn)段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿(mǎn)足條件，因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓．④若點(diǎn)B在圓A上，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)B．綜上可知：可以看到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線(xiàn)的一支，圓，一個(gè)點(diǎn)，而不可能是一條直線(xiàn)．故選A．這是一個(gè)非常好的題，一個(gè)題把幾個(gè)很重要的曲線(xiàn)都包含了，我認(rèn)為這個(gè)題值得每一個(gè)學(xué)生去好好研究一下．這個(gè)題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個(gè)等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線(xiàn)到兩端點(diǎn)的距離相等這個(gè)特點(diǎn)，最后還需結(jié)合曲線(xiàn)的第二定義等來(lái)判斷，是個(gè)非常有價(jià)值的題．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)非常重要，但也比較難，我們?cè)趯W(xué)習(xí)這個(gè)考點(diǎn)的時(shí)候，先要認(rèn)真掌握各曲線(xiàn)的定義，特別是橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的第二定義，然后學(xué)會(huì)去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．18．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題是高考的必考點(diǎn)，比方說(shuō)求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知圓錐曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線(xiàn)C的離心率．（1）求圓錐曲線(xiàn)C的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的任意一條直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P，使的值是常數(shù)．解：（1）依題意，設(shè)曲線(xiàn)C的方程為（a＞b＞0），∴c＝1，∵，∴a＝2，∴，所求方程為．（2）當(dāng)直線(xiàn)