2024-2025學(xué)年上學(xué)期長沙高二數(shù)學(xué)期末典型卷1

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期長沙高二數(shù)學(xué)期末典型卷1一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春?長寧區(qū)校級期末）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1與Z2，則關(guān)于點(diǎn)Z1、Z2與以原點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓C的位置關(guān)系，描述正確的是（）A．點(diǎn)Z1在圓C上，點(diǎn)Z2不在圓C上 B．點(diǎn)Z1不在圓C上，點(diǎn)Z2在圓C上 C．點(diǎn)Z1、Z2都在圓C上 D．點(diǎn)Z1、Z2都不在圓C上2．（5分）下列直線l1與直線l2平行的有（）A．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），B（﹣3，5），直線l2過點(diǎn)C（3，﹣3），D（8，﹣7） B．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（﹣2，﹣1），直線l2過點(diǎn)C（3，4），D（5，2） C．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（2，23），直線l2的傾斜角為60°且過原點(diǎn) D．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），B（0，1），直線l2的斜率為03．（5分）（2023秋?仁懷市校級期中）已知α的終邊上有一點(diǎn)P（1，3），則cos（π+α）的值為（）A．13 B．1010 C．?104．（5分）（2023秋?新鄭市校級月考）人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級d（x）（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：W/m2）滿足d(x)=9lgx1×10?13．一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級約為45A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍5．（5分）（2024春?余姚市校級月考）若（x﹣a）（1﹣2x）5的展開式中x3的系數(shù)為20，則a＝（）A．?14 B．14 C．?6．（5分）（2017春?陸川縣校級期中）橢圓x24+y2＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍7．（5分）（2022秋?大興區(qū)期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小平行四邊形構(gòu)成如圖圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點(diǎn)，若AG→=xAB→+yAD→A．25 B．45 C．18．（5分）（2020春?正定縣校級月考）已知函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝alnx，其中a＞0，若?x1∈[2，3]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，則a＝（）A．ln22e B．2eln2 C．ln33e二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2024春?東?？h校級月考）美術(shù)館計(jì)劃從6幅油畫，4幅國畫中，選出4幅展出，若某兩幅畫至少有一幅參展，則不同的參展方案有多少種？（）A．C104?CC．C93+（多選）10．（5分）（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a6a7＞1，a6A．0＜q＜1 B．0＜a6a8＜1 C．Sn的最大值為S7 D．Tn的最大值為T6（多選）11．（5分）（2023秋?廣東月考）若函數(shù)f（x）＝x3e|x|，則（）A．f（x）是奇函數(shù) B．f（x）有2個(gè)極值點(diǎn) C．f（x）有1個(gè)零點(diǎn) D．f（x）的一條切線方程為y＝4ex﹣3e（多選）12．（5分）（2023秋?江岸區(qū)月考）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球的半徑為22B．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為π3C．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4D．點(diǎn)D到面ACD1的距離為3三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2024秋?閔行區(qū)期中）函數(shù)y＝x2+x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是．14．（5分）（2024秋?萬州區(qū)期中）已知圓C：（x+2）2+（y﹣1）2＝8，直線l：4x﹣y﹣8＝0，M為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)P（2，3），則|MN|+|MP|的最小值為．15．（5分）（2023春?旌陽區(qū)校級月考）已知a、b、c分別為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，D為BC中點(diǎn)，a＝2，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，則AD長度的取值范圍為．16．（5分）（2020秋?鄭州期末）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點(diǎn)，且A四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023春?蕪湖縣校級期中）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+3cos2x，x∈（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．18．（12分）（2023春?日照期末）某煙花廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一款環(huán)保、安全的迷你小煙花，初步設(shè)計(jì)了一個(gè)平面圖，如圖所示，該平面圖由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C為圓心的四分之一圓弧ED構(gòu)成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC＝BF＝1，CE＝2，AB=72，將平面圖形ADEF以（1）求該煙花的體積；（2）工廠準(zhǔn)備將矩形PMNQ（該矩形內(nèi)接于圖形BDEF，M在弧DE上，N在線段EF上，PQ在AD上）旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體用來安放燃料，設(shè)∠MCE＝θ（0＜θ≤π①請用θ表示燃料的體積V；②若煙花燃燒時(shí)間t和燃料體積V滿足關(guān)系t=V19．（12分）（2023春?江門期末）如圖，ABDC是平面四邊形，△ABC為正三角形，BC＝CD＝4，BC⊥CD．將△ABC沿BC翻折，過點(diǎn)A作平面BCD的垂線，垂足為H．（1）若點(diǎn)H在線段BD上，求AD的長；（2）若點(diǎn)H在BCD內(nèi)部，且直線AB與平面ACD所成角的正弦值為31313，求二面角A﹣BC﹣20．（12分）（2023秋?高郵市月考）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2a3＝a4+3，S7＝49．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an，n為奇數(shù)2n21．（12分）（2019秋?桃城區(qū)校級月考）已知F是拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，恰好又是雙曲線C：x2a2?y2（1）求拋物線E和雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l過點(diǎn)F，且與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑作圓M，設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)P，Q，求∠PMQ的最大值．22．（12分）（2024?鎮(zhèn)江開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1．（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，π（2）若f（x）≤ax恒成立，求實(shí)數(shù)a．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期長沙高二數(shù)學(xué)期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春?長寧區(qū)校級期末）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1與Z2，則關(guān)于點(diǎn)Z1、Z2與以原點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓C的位置關(guān)系，描述正確的是（）A．點(diǎn)Z1在圓C上，點(diǎn)Z2不在圓C上 B．點(diǎn)Z1不在圓C上，點(diǎn)Z2在圓C上 C．點(diǎn)Z1、Z2都在圓C上 D．點(diǎn)Z1、Z2都不在圓C上【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷可得結(jié)論．【解答】解：復(fù)數(shù)z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1（﹣6，8），Z2（5，﹣9），由于（﹣6）2+82＝102，52+（﹣9）2≠102，可得點(diǎn)Z1在圓C上，點(diǎn)Z2不在圓C上，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及點(diǎn)圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）下列直線l1與直線l2平行的有（）A．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），B（﹣3，5），直線l2過點(diǎn)C（3，﹣3），D（8，﹣7） B．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（﹣2，﹣1），直線l2過點(diǎn)C（3，4），D（5，2） C．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（2，23），直線l2的傾斜角為60°且過原點(diǎn) D．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），B（0，1），直線l2的斜率為0【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行時(shí)的斜率關(guān)系求解．【解答】解：對于選項(xiàng)A：直線l1的斜率k1=?45，直線l2的斜率k2∵k1＝k2，且兩直線不重合，∴l(xiāng)1∥l2，對于選項(xiàng)B：直線l1的斜率k1＝1，直線l2的斜率k2＝﹣1，∵k1≠k2，∴l(xiāng)1與l2不平行，對于選項(xiàng)C：直線l1的斜率k1=3，方程為y=直線l2的斜率k2=3，方程為y=∴兩直線重合，對于選項(xiàng)D：直線l1的方程為x＝0，直線l2的斜率為0，∴l(xiāng)1⊥l2，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了兩直線平行的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．（5分）（2023秋?仁懷市校級期中）已知α的終邊上有一點(diǎn)P（1，3），則cos（π+α）的值為（）A．13 B．1010 C．?10【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式計(jì)算．【解答】解：因?yàn)棣恋慕K邊上有一點(diǎn)P（1，3），所以cosα=1可得cos(π+α)=?cosα=?10故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2023秋?新鄭市校級月考）人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級d（x）（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：W/m2）滿足d(x)=9lgx1×10?13．一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級約為45A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)所給聲音等級與聲音強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系，求出聲音強(qiáng)度即可比較得解．【解答】解：∵聲音的等級式d（x）（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：W/m2）滿足d(x)=9lgx又∵老師的聲音的等級約為63dB，∴63=9lgx10?13，解得x＝10﹣6，即老師的聲音強(qiáng)度約為10﹣6W∵兩人交談時(shí)的聲音等級大約為45dB，∴45=9lgx10?13，解得x＝10﹣8，即兩人交談時(shí)的聲音強(qiáng)度約為10﹣8W∴老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）（2024春?余姚市校級月考）若（x﹣a）（1﹣2x）5的展開式中x3的系數(shù)為20，則a＝（）A．?14 B．14 C．?【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及組合數(shù)求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)（1﹣2x）5的展開式Tr+1=C當(dāng)與x配對時(shí)，展開式中x3的系數(shù)為C5當(dāng)與﹣a配對時(shí)，展開式中x3的系數(shù)為C5故40+80a＝20，解得a=?1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）（2017春?陸川縣校級期中）橢圓x24+y2＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】橢圓x24+y2＝1，a＝2，b＝1，|PF1|+|PF2＝4．由線段PF1的中點(diǎn)E在y軸上，O為F1F2的中點(diǎn)，可得PF2∥OE．求出|PF2|=b【解答】解：∵橢圓x24+y2＝1，∴a＝2，b＝1，|PF1|+|∵線段PF1的中點(diǎn)E在y軸上，O為F1F2的中點(diǎn)，∴PF2∥OE．∴|PF2|=b2a=12∴|PF1|＝7|PF2|，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（5分）（2022秋?大興區(qū)期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小平行四邊形構(gòu)成如圖圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點(diǎn)，若AG→=xAB→+yAD→A．25 B．45 C．1【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用平面向量線性運(yùn)算法則以及平面向量基本定理，得到AG→=45AB【解答】解：∵AG→=AB=AB∵EFGH是平行四邊形，∴AG→∴AG→∴AG→∵AG→=xAB→∴x=45，y∴2x+y=8故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于中檔題．8．（5分）（2020春?正定縣校級月考）已知函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝alnx，其中a＞0，若?x1∈[2，3]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，則a＝（）A．ln22e B．2eln2 C．ln33e【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）得f(x1)g(x1)=g(x2)f(x2)，令?(x)=f(x1)g(x1)，u(x)=g(x2)f(x2)所以?(x)=xalnx【解答】解：由f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2），得f(x令?(x)=f(所以?(x)=x而?′(x)=lnx?1令h′（x）＝0，得x＝e，所以2≤x≤e，h′（x）≤0，e≤x≤3，h′（x）≥0，所以h（x）在（2，e）上單調(diào)遞減，在（e，3）上單調(diào)遞增，而?(e)=ea，?(2)=2aln2所以h（x）在[2，3]上的值域?yàn)閇e又u′(x)=a(1?lnx)x2，令u′（x）＝0，得x所以2≤x≤e，u′（x）≥0，e≤x≤3，u′（x）≤0，所以u（x）在（2，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，而u(e)=ae，u(2)=aln22所以u（x）在[2，3]上的值域?yàn)閇aln2因?yàn)?x1∈[2，3]，?x2∈[2，3]所以h（x）的值域?yàn)閡（x）的值域的子集，所以ea故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的存在和任意的問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，并對其求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性，繼而得出其值域的包含關(guān)系，屬于中檔題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2024春?東?？h校級月考）美術(shù)館計(jì)劃從6幅油畫，4幅國畫中，選出4幅展出，若某兩幅畫至少有一幅參展，則不同的參展方案有多少種？（）A．C104?CC．C93+【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】采用間接法或分類研究．【解答】解：對于A，從對立面考慮，這兩幅畫一幅也沒參展有C8則至少一幅參展方案為C104?對于C，將該兩幅畫分別記為甲、乙，若甲參展，則不需要考慮乙的參展情況，有C9若甲不參展，則乙必須參展，需要在剩余8幅畫中再選3幅，有C8故滿足題意的方案有C93+對于B，若兩幅中只有一幅參展，有C2若兩幅都參展，有C2則共有方案C21C對于D，C104?2故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）10．（5分）（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a6a7＞1，a6A．0＜q＜1 B．0＜a6a8＜1 C．Sn的最大值為S7 D．Tn的最大值為T6【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】由條件a1＞1，a6a7＞1，a6?1a7?1＜0，可得：1＜【解答】解：由條件a1＞1，a6a7＞1，a6可得：1＜a6，0＜a7＜1．∴a7a6=q∈（0，1），a6a8=a72∈（0，1），Sn則下列結(jié)論正確的是ABD．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）（2023秋?廣東月考）若函數(shù)f（x）＝x3e|x|，則（）A．f（x）是奇函數(shù) B．f（x）有2個(gè)極值點(diǎn) C．f（x）有1個(gè)零點(diǎn) D．f（x）的一條切線方程為y＝4ex﹣3e【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷A選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性及極值點(diǎn)判斷B，C選項(xiàng)，求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程判斷D選項(xiàng)．【解答】解：A選項(xiàng)，由題意，f（﹣x）＝（﹣x）3e|﹣x|＝﹣x3e|x|＝﹣f（x），故f（x）是奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）＝3x2ex+x3ex＝exx2（3+x）≥0，故此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，又f（x）是奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）在x＝0處圖象不間斷，因此f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（0）＝0，故f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確；D選項(xiàng)，由題意設(shè)f（x）在（x0，f（x0））處的切線斜率k=f′(x0)=x因此f（x）在這兩點(diǎn)處的切線方程分別為y＝4ex﹣3e，y＝4ex+3e，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，還考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）12．（5分）（2023秋?江岸區(qū)月考）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球的半徑為22B．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為π3C．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4D．點(diǎn)D到面ACD1的距離為3【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；球外切幾何體；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】對于A：根據(jù)條件，易求內(nèi)切球的半徑判斷A；對于B：根據(jù)條件，可得異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1C，然后求出∠AD1C即可；對于C：可證B1C⊥平面ABC1D1，則直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1；對于D：對于C：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換VD?ACD1=VD【解答】解：對于A項(xiàng)，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球的半徑即為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長的一半，即R=12，故對于B項(xiàng)，如圖，連接AC、CD1，因?yàn)锳B∥C1D1且AB＝C1D1，則四邊形ABC1D1為平行四邊形，BC1∥AD1，所以異面直線D1C和BC1所成的角的大小即等于直線D1C和AD1所成的角∠AD1C的大小，又AC=AD1=D1C=2，則△對于C項(xiàng)，如圖，連接B1C，在正方形BB1C1C中，BC1⊥B1C，因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，AB?平面ABC1D1，BC1?平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，所以直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1=對于D項(xiàng)，如圖，設(shè)點(diǎn)D到面ACD1的距離為h，因?yàn)椤鰽CD1為正三角形，所以S△ACD1=12×AC×AD1?sinπ3=3根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：VD?ACD1=VD2?ACD，即13即13×?×32=故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間角、空間距離的計(jì)算，幾何體的外接球問題，屬于中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2024秋?閔行區(qū)期中）函數(shù)y＝x2+x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是3．【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】利用求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則，求得導(dǎo)函數(shù)，代入數(shù)值，可得答案．【解答】解：由題意可知，y′＝2x+1，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝2×1+1＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（2024秋?萬州區(qū)期中）已知圓C：（x+2）2+（y﹣1）2＝8，直線l：4x﹣y﹣8＝0，M為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)P（2，3），則|MN|+|MP|的最小值為22．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；直線與圓；邏輯思維．【答案】22【分析】易知，點(diǎn)P與圓在直線l的同側(cè)，先求出P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′，然后將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P′距離最小的問題求解．【解答】解：圓C的圓心C（﹣2，1），半徑r=22點(diǎn)C到直線l的距離d=|4×(?2)?1?8|42+1=將點(diǎn)C（﹣2，1）代入直線l的方程左側(cè)得：﹣17＜0，點(diǎn)P（2，3）坐標(biāo)代入直線l方程左側(cè)得﹣3＜0，所以圓C與點(diǎn)P在直線l的同側(cè)，設(shè)P關(guān)于l的對稱點(diǎn)為P′（a，b），則4×a+2解得a=5817，b=45所以|P′C|=(5817所以|MN|+|MP|＝|MN|+|MP′|≥|P′N|≥|P′C|?22=2故答案為：22【點(diǎn)評】本題考查對稱問題、點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系等，屬于中檔題．15．（5分）（2023春?旌陽區(qū)校級月考）已知a、b、c分別為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，D為BC中點(diǎn)，a＝2，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，則AD長度的取值范圍為(213【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】(【分析】利用正弦定理與余弦定理可求cosA，由平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，可得|AD【解答】解：由正弦定理及（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC得，（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，整理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cosA=b因?yàn)?＜A＜π，所以A=π由正弦定理得，bsinB所以bc==4因?yàn)殇J角△ABC，所以0＜B＜π20＜C=所以2B?π所以sin(2B?π所以bc的取值范圍為(8因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以AD→所以|AD因?yàn)閎2+c2﹣a2＝bc，所以|AD故答案為：(21【點(diǎn)評】本題考查解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握正余弦定理，三角恒等變換公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（5分）（2020秋?鄭州期末）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點(diǎn)，且AF1【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】173【分析】由題意，設(shè)|AF2|＝m，則|BF2|＝2m，利用勾股定理，求出a，m的關(guān)系，再利用勾股定理確定a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，設(shè)|AF2|＝m，|AF2||BF2∴|AF1|＝2a+m，|BF1|＝2a+2m，∵AF2⊥AF1，∴（2a+2m）2＝（2a+m）2+（3m）2，∴m=23∵（2c）2＝（2a+m）2+（m）2，∴e=c故答案為：173【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023春?蕪湖縣校級期中）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+3cos2x，x∈（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）π；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?5π12，kπ+【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）利用整體代換的方法，分別計(jì)算2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π【解答】（1）解：f(x)=2sinxcosx+3所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π（2）令2kπ?π2≤2x+∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?5π令2kπ+π2≤2x+∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π【點(diǎn)評】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式，還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（12分）（2023春?日照期末）某煙花廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一款環(huán)保、安全的迷你小煙花，初步設(shè)計(jì)了一個(gè)平面圖，如圖所示，該平面圖由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C為圓心的四分之一圓弧ED構(gòu)成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC＝BF＝1，CE＝2，AB=72，將平面圖形ADEF以（1）求該煙花的體積；（2）工廠準(zhǔn)備將矩形PMNQ（該矩形內(nèi)接于圖形BDEF，M在弧DE上，N在線段EF上，PQ在AD上）旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體用來安放燃料，設(shè)∠MCE＝θ（0＜θ≤π①請用θ表示燃料的體積V；②若煙花燃燒時(shí)間t和燃料體積V滿足關(guān)系t=V【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；直觀想象；運(yùn)算求解．【答案】（1）V=53π（2）①V＝π|MP|2?|PQ|＝8πcos2θ（1+sinθ﹣cosθ）；（2）2π．【分析】（1）該煙花由半球，圓臺，圓錐三部分組成，求解體積，即可得到結(jié)果．（2）①求解PQ，然后通過V＝π|MP|2?|PQ|求解即可．（2）t=V【解答】解：（1）該煙花由半球，圓臺，圓錐三部分組成，又V半球=12×所以該煙花的體積V=16π（2）①由圖可知：PM＝NQ＝2cosθ，PC＝2sinθ，在梯形BCEF中，由CE＝2，BF＝BC＝1，易知∠CEF=π4，故CQ＝2﹣2cos則PQ＝CP+CQ＝2+2sinθ﹣2cosθ，所以V＝π|MP|2?|PQ|＝8πcos2θ（1+sinθ﹣cosθ）．②由上問可知：t=即t==8π(si令m=tanθ2，則上式即為t=8π(又令n＝8m﹣1，n∈(?1，833當(dāng)n＝0時(shí)，t＝π，當(dāng)﹣1＜n＜0時(shí)，t＜π，當(dāng)n＞0時(shí)，t=π[1+n當(dāng)且僅當(dāng)n=9n，即n＝3，即該煙花燃燒的最長時(shí)間為2π．【點(diǎn)評】本題考查幾何體體積的求解，函數(shù)的最值的求法，考查換元法以及基本不等式的應(yīng)用，是難題．19．（12分）（2023春?江門期末）如圖，ABDC是平面四邊形，△ABC為正三角形，BC＝CD＝4，BC⊥CD．將△ABC沿BC翻折，過點(diǎn)A作平面BCD的垂線，垂足為H．（1）若點(diǎn)H在線段BD上，求AD的長；（2）若點(diǎn)H在BCD內(nèi)部，且直線AB與平面ACD所成角的正弦值為31313，求二面角A﹣BC﹣【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；數(shù)學(xué)建模；運(yùn)算求解．【答案】（1）4；（2）12【分析】（1）由AH⊥平面BCD得AH⊥BD，AH⊥CH，結(jié)合勾股定理可得BH＝CH，從而BH＝CH＝DH，H為BC中點(diǎn)，由勾股定理計(jì)算可得AD；（2）方法一：當(dāng)點(diǎn)H在△BCD內(nèi)部，知AH⊥平面BCD，則AH⊥BC，設(shè)O是BC的中點(diǎn)，AO⊥BC，得BC⊥平面AOH，BC⊥OH，則∠AOH為二面角A﹣BC﹣D的平面角．利用等體積法得：VA﹣BCD＝VB﹣ACD，求得AH，從而得出答案；方法二：由點(diǎn)H在△BCD內(nèi)部，知AH⊥平面BCD，∠AOH為二面角A﹣BC﹣D的平面角．過點(diǎn)H作HN∥BC交CD于N，可證得CD⊥平面AHN，平面ACD⊥平面AHN，過點(diǎn)H作HQ⊥AN，交AN于點(diǎn)Q，則HQ⊥平面ACD，由直線AB與平面ACD所成的角，求得HQ，進(jìn)而出AH，OH，即可得解．【解答】解：（1）∵AH⊥平面BCD，BD，CH?平面BCD，∴AH⊥BD，AH⊥CH，∴在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，在Rt△ACH中，AH2+CH2＝AC2，∵AB＝AC，∴BH＝CH，由于△BCD為等腰直角三角形，∴BH＝CH＝DH，H為BC中點(diǎn)，在Rt△ACH中由勾股定理得，AH2＝AC2﹣CH2＝16﹣8＝8，∴AH=22在Rt△ADH中由勾股定理得，AD2＝AH2+DH2＝8+8＝16，∴AD＝4；（2）方法一：當(dāng)點(diǎn)H在△BCD內(nèi)部，知AH⊥平面BCD，BC?平面BCD，則AH⊥BC，設(shè)O是BC的中點(diǎn)，連接OH，∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC，∵AO∩AH＝A，AO，AH?平面AOH，∴BC⊥平面AOH，∵OH?平面AOH，∴BC⊥OH，∴∠AOH為二面角A﹣BC﹣D的平面角，設(shè)B點(diǎn)到平面ACD的距離為hB，則?B過H點(diǎn)作HN∥BC，連接AN，由AH⊥平面BCD，AB＝AC，∴HB＝HC?H在BC的中垂線上，設(shè)AH＝h，則AN=?由等體積法得：VA﹣BCD＝VB﹣ACD，∴13S△BCD∴BC?AH＝AN?hB，解得h＝3，所以O(shè)H=3∴cos∠AOH=OH方法二：當(dāng)點(diǎn)H在△BCD內(nèi)部，知AH⊥平面BCD，此時(shí)H在線段OM（不含端點(diǎn)）上，∵AO⊥BC，OM⊥BC，∴∠AOH為二面角A﹣BC﹣D的平面角，由于CD?平面BCD，AH⊥CD，過點(diǎn)H作HN∥BC交CD于N，連接AN，HD，AE，∵CD⊥BC，∴HN⊥CD，又因?yàn)锳H∩HN＝H，∴CD⊥平面AHN，∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面AHN，過點(diǎn)H作HQ⊥AN，交AN于點(diǎn)Q，又平面ACD∩平面AHN＝AN，∴HQ⊥平面ACD，設(shè)α為直線AB與平面ACD所成的角，則點(diǎn)B到平面ACD的距離為2HQ，sinα=2HQAB=在Rt△AHN中，可設(shè)AH=x，AN=4+由于AN?HQ=AH?HN?x2+4在Rt△AOH中，OH=A所以cos∠AOH=OH【點(diǎn)評】本題考查平面圖形翻折為空間幾何體類型，涉及到求線段長，求二面角的余弦值等知識，屬中檔題．20．（12分）（2023秋?高郵市月考）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2a3＝a4+3，S7＝49．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an，n為奇數(shù)2n【考點(diǎn)】數(shù)列求和的其他方法．【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）1409．【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差，從而求得an；（2）利用分組求和法求得T10．【解答】解：（1）依題意，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)?a3=解得：a1所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）因?yàn)閎n所以bn所以T12＝b1+b2+?+b9+b10＝1+22+5+24+?+17+210＝（1+5+?+17）+（22+24+?+210）=5×(1+17)【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查了分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．21．（12分）（2019秋?桃城區(qū)校級月考）已知F是拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，恰好又是雙曲線C：x2a2?y2（1）求拋物線E和雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l過點(diǎn)F，且與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑作圓M，設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)P，Q，求∠PMQ的最大值．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】分類討論；方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由雙曲線C過點(diǎn)(1，22)，且其離心率為2．可得1a2?12b2=1，ca=2，c2＝a2+b2（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為：x＝1．此時(shí)A（1，2），B（1，﹣2）．⊙M的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．可得∠PMQ．②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣1），由題意可得：k≠0．聯(lián)立化為：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|＝x1+x2+2．設(shè)⊙M的半徑為r，r=|AB|2．過點(diǎn)M作MN⊥PQ，垂足為N．在Rt△PMN中，cos∠PMN=|MN||MP|=【解答】解：（1）由雙曲線C過點(diǎn)(1，22)∴1a2?12b2=1，ca=聯(lián)立解得：a2=12=b2∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2x2﹣2y2＝1．由c＝1，可得p2=1，解得∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝4x．（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為：x＝1．此時(shí)A（1，2），B（1，﹣2）．⊙M的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．可得P（0，3），Q（0，?3）．∠PMQ=②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣1），由題意可得：k≠0．聯(lián)立y=k(x?1)y2=4x，化為：k2x2﹣（2k2+4）x+設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則x1+x2=2k2+4k2xM=x∴|AB|＝x1+x2+2=4設(shè)⊙M的半徑為r，則r=|AB|過點(diǎn)M作MN⊥PQ，垂足為N．在Rt△PMN中，cos∠PMN=|MN||MP|=∴∠PMN∈（0，π3），則∠PMQ∈（0，2π綜上可得：∠PMQ的最大值為2π3【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線與拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．22．（12分）（2024?鎮(zhèn)江開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1．（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，π（2）若f（x）≤ax恒成立，求實(shí)數(shù)a．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；分類法；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）f（x）在(0，π2)【分析】（1）令?(x)=f′(x)=?sinx+11+x，可得?′(x)=?cosx?1(x+1)2，當(dāng)x∈(0，π2)時(shí)，h′（x）＜0，則f′（x）在(0，π2)上單調(diào)遞減，結(jié)合f′(0)＞0，f′(（2）由f（x）≤ax，得cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1≤0，令g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1，x∈（﹣1，+∞），則g（0）＝0，只需x＝0是g（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，由g′（0）＝1﹣a＝0，解得a＝1，從而證明當(dāng)a＝1時(shí)，g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣x﹣1≤0恒成立．【解答】解：（1）由f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1，可得f′(x)=?sinx+1令?(x)=f′(x)=?sinx+11+x，則因?yàn)閤∈(0，π2)，所以cosx＞0，（x+1）2＞0，則h所以f′（x）在(0，πf′(0)=1＞0，f′(π2)=?1+1π2+1＜0且f（由零點(diǎn)存在定理知存在唯一零點(diǎn)x0∈(0，π2)，使所以x∈（0，x0）時(shí)，f′（x0）＞0，f（x）在（0，x0）單調(diào)遞增；x∈(x0，π2)時(shí)，f′（x0）＜0，所以f（x）在(0，π因?yàn)閤∈（0，x0）時(shí)，f（x）＞f（0）＝0，則x∈（0，x0）時(shí)，f（x）無零點(diǎn)．又因?yàn)閒（x0）＞f（0）＝0，且f(π因?yàn)閒（x）在(x0，π2)單調(diào)遞減，則存在唯一零點(diǎn)x所以f（x）在(0，π（2）令g（x）＝f（x）﹣ax＝cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1，x∈（﹣1，+∞），由g（x）≤0恒成立，得g（x）max≤0．因?yàn)間（0）＝0，g（x）圖象在定義域上連續(xù)不間斷，只需x＝0是g（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．因?yàn)間′(x)=?sinx+11+x?a，則g′（0）＝1﹣a下證：當(dāng)a＝1時(shí)，g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣x﹣1≤0恒成立．因?yàn)間′(x)=?sinx+1當(dāng)x∈（﹣1，0]時(shí)，?sinx≥0，?x所以g（x）≤g（0）＝0．當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，g（x）＝（cosx﹣1）+[ln（x+1）﹣x]，令φ(x)=ln(1+x)?x，x∈[0，+∞)，φ′(x)=1則φ（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，則φ（x）≤φ（0）＝0．ln（1+x）﹣x≤0，又因?yàn)閏osx﹣1≤0，所以當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，g（x）＝（cosx﹣1）+[ln（1+x）﹣x]≤0，綜上，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）≤ax恒成立．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬難題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰保皇恰岸疾皇恰保J(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．函數(shù)的奇偶性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．3．任意角的三角函數(shù)的定義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα=y2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．【解題方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，3），則cosα＝（）A．45B．35C．?35分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x∴cosα=x故選：D．點(diǎn)評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．三角函數(shù)的周期性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】周期性①一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．②對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π【解題方法點(diǎn)撥】1．一點(diǎn)提醒求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．兩類點(diǎn)y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．3．求周期的三種方法①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為π③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．5．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．6．兩角和與差的三角函數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα?tanβ7．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．【解題方法點(diǎn)撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點(diǎn)來探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．8．根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．實(shí)際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y=kx（k＞0）型，增長特點(diǎn)是y隨③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實(shí)際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點(diǎn)撥】用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實(shí)際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義和題目的要求，給出實(shí)際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗(yàn)證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%=14A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x＞200時(shí)，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x＞600時(shí)，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當(dāng)x＝1000時(shí)，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函數(shù)y=14000x2，易知滿足①，當(dāng)x＝400時(shí)，故選C點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是一一驗(yàn)證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x=kt+1（（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x=k且當(dāng)t＝0時(shí)，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x=2生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價(jià)32所以，y=[3＝16x?t2+（2）因?yàn)?2t+1+t+12≥8所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)對知識的理解和熟練運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．9．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1?qn)1?q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1＜0q＞1{an}是遞減數(shù)列；q＝1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．10．?dāng)?shù)列求和的其他方法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】除了常用的方法外，還有其他數(shù)列求和的技巧，如變換法、分組法等．﹣?zhàn)儞Q法：通過對數(shù)列進(jìn)行變換，使其成為已知形式的數(shù)列．﹣分組法：將數(shù)列項(xiàng)分組，利用分組結(jié)果求和．﹣應(yīng)用：適用于處理復(fù)雜的數(shù)列和問題，特別是涉及多個(gè)數(shù)列項(xiàng)的求和．【命題方向】常見題型包括利用其他方法計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．已知數(shù)列{an}，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n為奇數(shù)a解：因?yàn)閍n+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，則數(shù)列{bn}是以﹣2015為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1010＝1010×（﹣2015）+1010×1009又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．11．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g(x)]′=3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡時(shí)，首先要注意化簡的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對于選項(xiàng)B，(lnx?2x)′=對于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對于選項(xiàng)D，(sinxx)′=故選C．12．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最??；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無極值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．13．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）=1（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．14．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們在解答這類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．15．平面向量的基本定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．16．正弦定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2R③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．17．余弦定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2R③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題