2025年中考數(shù)學二輪專題復習 大單元整合專題二 巧用“轉化化歸”求面積與最值

第1講Unit1—Unit3(含StarterUnits)七年級上冊2025年中考數(shù)學二輪專題復習大單元整合專題二巧用“轉化化歸”求面積與最值類型1反比例函數(shù)中|k|的幾何意義PART01問題1單個反比例函數(shù)圖象

模型相關結論與四邊形面積相關

S矩形PMON=|k|.S?PMQN=|k|.(“等面積法”轉化)點A,C關于原點對稱,S矩形ABCD=4|k|.問題1單個反比例函數(shù)圖象

模型相關結論與三角形面積相關

S△OPQ=S梯形PMNQ.(“等面積法”轉化+“割補法”轉化)點A,B關于原點稱,S△ABC=2|k|.

1圖(1)

圖(2)

22

1

圖(3)

圖(4)44問題2兩個反比例函數(shù)圖象

模型相關結論與四邊形面積相關

S矩形PQMN=|k2|-|k1|.(“割補法”轉化)S四邊形OAPB=S矩形OMPN-S△ONA-S△OBM=|k2|-|k1|.(“割補法”轉化)問題2兩個反比例函數(shù)圖象

模型相關結論與三角形面積相關

隨著點A位置的變化,△ABC的面積不變.

2圖(1)

圖(2)

22

【提示】2k-k=2

2

圖(3)

圖(4)22

【提示】k+2k=6

類型2“垂線段最短”求最值PART02破題“2關鍵”1.斜大于直2.轉化同線原理:連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短欲求兩線段和的最小值，則設法將兩條線段轉化到同一條直線上問題1“一定一動”型已知,如圖,定點A在直線l外,點P為直線l上一動點,當AP最短時,確定點P的位置.構圖過點A作AP⊥l于點P,點P即為所求.模型分析如圖,BO平分∠ABC,OD⊥BC于點D,點E為射線BA上一動點,若OD=6,則OE的最小值為

.16如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=4,點P為AB的中點,點F為線段BC上的動點.(1)連接PF,則PF的最小值為

;

(2)若BD是△ABC的角平分線,點E是線段BD上的動點,連接PE,EF,則PE+EF的最小值為

.222已知,如圖,點P在∠AOB的內(nèi)部,在OA上求作一點C,在OB上求作一點D,使PD+CD的值最小.構圖作點P關于OB的對稱點P',過點P'作P'C⊥OA于點C,交OB于點D,此時PD+CD的值最小,最小值即為P'C的長.問題2“一定兩動”型(注:若點P在∠AOB的邊上時,構圖方法與上同)模型分析如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,BD平分∠ABC交AC于點D,點M是BD上一點,且BM=4,點F,G分別為線段BC,AB上的動點,連接MF,FG.(1)當MF+FG的值最小時,在圖中作出點F,G的位置;3(1)點F,G的位置如圖所示(注:點M'是點M關于BC的對稱點,M'G⊥AB).

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,BD平分∠ABC交AC于點D,點M是BD上一點,且BM=4,點F,G分別為線段BC,AB上的動點,連接MF,FG.(2)MF+FG的最小值為

.3

4B

點撥

如圖，作點F關于AC的對稱點F'，連接AF'，EF',延長AF',BC交于點B'，作BD

⊥AB'于點D.當B，E，F(xiàn)'三點共線且與AB'垂直時,BE+EF的長度最小，即等于BD的長構圖①作角:如圖,以點A為頂點作∠NAD,使sin∠NAD=k(kAP=PE);

②作垂線:過點B作BE⊥AN于點E,交直線CD于點P,此時kAP+BP的值最小,最小值為BE的長.問題3“胡不歸”模型已知,如圖,點A

為直線CD上一定點,點B為直線CD外一定點,點P

為直線CD上一動點，當kAP+BP(0<k<1)的值最小時,確定點P的位置.

模型分析

5

6

類型3“兩點之間,線段最短”求最值PART03(1)最小值——兩定點在異側如圖(1),在直線l兩側各有一個定點A,B,在直線l上求作點P,使得PA+PB的值最小.圖(1)圖(2)作法:如圖(2),連接AB,AB與直線l的交點即為點P.問題1“一動兩定”型(含“將軍飲馬”模型)問題1“一動兩定”型(含“將軍飲馬”模型)

1圖(1)

(2)最小值——兩定點在同側如圖(3),在直線l同側有兩個定點A,B,在直線l上求作點P,使得PA+PB的值最小.圖(3)圖(4)作法:如圖(4),作點A關于直線l的對稱點A',連接A'B,A'B與直線l的交點即為點P.問題1“一動兩定”型(含“將軍飲馬”模型)

1圖(2)

(3)最大值——兩定點在同側如圖(5),在直線l同側有兩個定點A,B,在直線l上求作點P,使得|PA-PB|的值最大.圖(5)圖(6)作法:如圖(6),連接BA并延長,BA的延長線與直線l的交點即為點P.問題1“一動兩定”型(含“將軍飲馬”模型)

1圖(3)

(1,0)(4)最大值——兩定點在異側如圖(7),在直線l兩側各有一個定點A,B,在直線l上求作點P,使得|PA-PB|的值最大.圖(7)圖(8)作法:如圖(8),作點B關于直線l的對稱點B',連接AB'并延長,AB'的延長線與直線l的交點即為點P.問題1“一動兩定”型(含“將軍飲馬”模型)

1圖(4)

(5,0)

2(2,0)

33

4

(1)“兩動一定”型如圖(1),點P在∠AOB的內(nèi)部,在OA,OB上分別求作點C,D,使△PCD的周長最小.圖(1)圖(2)作法:如圖(2),分別作點P關于OA,OB的對稱點P',P″,連接P'P″,分別交OA,OB于點C,D,此時△PCD的周長最小,最小值為P'P″的長.問題2“兩動一定”或“兩動兩定”型問題2“兩動一定”或“兩動兩定”型

點P,Q在等邊三角形ABC內(nèi)部,且∠ABP=∠CBQ=15°,BP=3,BQ=4.點M,N分別是邊AB,BC上的動點.(1)連接PM,PN,MN.①當△PMN的周長最小時,在圖(1)中作出點M,N的位置;②△PMN周長的最小值為

.5圖(1)

(注:點P1,P2分別是點P關于AB,BC的對稱點)(2)“兩動兩定”型如圖(3),定點P,Q在∠AOB的內(nèi)部,在OA,OB上分別求作點C,D,使得四邊形PCDQ的周長最小.圖(3)圖(4)作法:如圖(4),作點P關于OA的對稱點P',作點Q關于OB的對稱點Q',連接P'Q',分別交OA,OB于點C,D,此時四邊形PCDQ的周長最小,最小值為PQ+P'Q'的長.問題2“兩動一定”或“兩動兩定”型點P,Q在等邊三角形ABC內(nèi)部,且∠ABP=∠CBQ=15°,BP=3,BQ=4.點M,N分別是邊AB,BC上的動點.(2)連接PM,QN,MN.①當PM+MN+NQ的值最小時,在圖(2)中作出點M,N的位置;②PM+MN+NQ的最小值為

.5圖(2)5(注:點P'是點P關于AB的對稱點,點Q'是點Q關于BC的對稱點)

645

如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,AE=4,AF=2,點G,H分別是邊BC,CD上的動點,則四邊形EFGH周長的最小值為

.7

提示如圖,四邊形EFGH周長的最小值=E'F'+EF如圖(1),定點A,B在兩條平行線a,b兩側,在直線a,b上分別找點P,Q,使PQ與直線a,b垂直,且AP+PQ+QB的值最小.圖(1)圖(2)作法:如圖(2),將點A向下平移到點A'處,使AA'=PQ,連接A'B交直線b于點Q,作QP⊥b交直線a于點P,此時AP+PQ+QB的值最小.問題3“建橋選址”模型問題3“建橋選址”模型

8B

9

類型4“隱形圓”的應用PART04問題1“一動兩定”型(含“將軍飲馬”模型)模型分析知識依據(jù):到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓(圓的定義),如圖(1).圖(1)

圖(2)模型說明:如圖(2),若AB=AC=AD,則點B,C,D在以點A為圓心、AB的長為半徑的圓上.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E是折線ABC上的動點,連接DE,將矩形沿DE折疊,點A的對應點為點P[1].在點E運動過程中,(1)點B,P之間的最小距離為

;

(2)點C,P之間的最小距離為

.

1【大招點撥】由[1]得DP=DA=5,為定長,∴點P在以點D為圓心,5為半徑的圓上運動,畫出隱形圓進而求出BP,CP的最小值.2

問題2“直角對直徑”作圓知識依據(jù):90°的圓周角所對的弦是直徑(圓周角定理的推論).模型說明:(1)如圖(1),在△ABC中,∠C=90°,若AB的長固定,則點C的運動軌跡為以AB為直徑的☉O(不含點A,B).(2)如圖(2),Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊AB,則A,B,C,D四點共圓,均在以AB為直徑的☉O上.(確定四點共圓后,可根據(jù)圓周角定理的推論得到角相等,完成角度的等量轉化)圖(1)圖(2)模型分析如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=4,點P是線段BC上一動點,點M為線段AP上一點[1],∠ADM=∠BAP[2].在點P運動的過程中:(1)點M到直線BC的最小距離為

;

(2)連接BM,BM的最小值為

.

2【大招點撥】由[1]得點M為動點,由[2]得∠AMD=90°為定角,∴點M在以線段AD為直徑的圓上運動,直徑AD的長度為4,畫出隱形圓即可求解.1

知識依據(jù):在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等(圓周角定理的推論).如圖(1),∠C=∠D=∠E.模型說明:在△ABC中,若AB的長度及∠C的大小固定,則點C在確定的圓上,AB為該定圓的弦,當∠C為銳角時,點C在優(yōu)弧AB上(不含點A,B);當∠C為鈍角時,點C在劣弧AB上(不含點A,B),如圖(2).其中,我們稱AB為“定弦”,∠C為“定角”.圖(1)圖(2)問題3“定弦對定角”作圓模型分析如圖,在邊長為6的等邊三角形ABC中[1],點E,F分別是邊AC,BC上的動點[2],且AE=CF[3],連接BE,AF交于點P[4],連接CP.(1)∠APB=

°;

(2)CP的最小值為

.

3【大招點撥】由[1][3]證得△ACF≌△BAE,可得∠APB的度數(shù).由[2][4]得點P為動點,∴點P是在以線段AB為弦,且所對圓心角為120°的圓上運動(利用“定弦對定角”),畫出隱形圓進而求出線段CP的最小值.120

類型5“主從聯(lián)動”求軌跡與最值PART05

“主從聯(lián)動模型”也叫“瓜豆模型”,出自成語“種瓜得瓜,種豆得豆”.這類動點問題中,存在兩個相關聯(lián)的動點,主動運動的點稱為主動點,因主動點運動而“被動”運動的點稱為從動點.問題1點在直線上運動模型特點:①點A是直線l外一定點,點P是直線l上的主動點,點Q是從動點(點P運動到點P'處停止,線段PP'為主動點的運動軌跡,QQ'為從動點的運動軌跡).②AQ∶AP=k(k為定值).③∠PAQ=α(α為定角).此類問題有兩種類型,構圖如下:結論:①點Q的運動軌跡是線段QQ';②∠Q'MP'=α;③△AQQ'∽△APP'(當k=1時,△AQQ'≌△APP');④QQ'=kPP'.位似型(α=0°)旋轉型(α≠0°,延長Q'Q,交PP'于點M)模型分析如圖,長方形ABCD中,AB=3,BC=4,E為BC上一點,且BE=1,F為AB邊上的一個動點[1],連接EF,將EF繞點E順時針旋轉45°到EG的位置[2],連接FG和CG,則CG的最小值為

.1

1【大招點撥】①找主動點軌跡:由[1]得主動點為點F,且在AB上運動.②找從動點與主動點間的關系:由[2]得從動點為點G,定角為45°.③找主動點的起點和終點:將線段BE,AE分別繞點E順時針旋轉45°得到線段EG',EG″.④確定從動點軌跡:連接G'G″,則點G在線段G'G″上運動.當CG⊥G'G″時,CG