桂林市永?？h2024年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/21桂林市永?？h2024年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題每題3分，共36分。1．造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，是因?yàn)槿切尉哂校ǎ〢．三條邊 B．三個(gè)角 C．三個(gè)頂點(diǎn) D．穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．解：造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，是應(yīng)用了三角形具有穩(wěn)定性，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題型．2．如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA＝10米，OB＝8米，A、B間的距離不可能是（）A．12米 B．10米 C．20米 D．8米【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三邊的長(zhǎng)一定大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和，求得相應(yīng)范圍，看哪個(gè)數(shù)值不在范圍即可．解：因?yàn)?0﹣8＜AB＜10+8，所以2＜AB＜18，所以不可能是20米．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3．把分式方程的兩邊同時(shí)乘以（x﹣2），約去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2【分析】分母中x﹣2與2﹣x互為相反數(shù)，那么最簡(jiǎn)公分母為（x﹣2），乘以最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程．解：方程兩邊都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）＝x﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】找到最簡(jiǎn)公分母是解答分式方程的最重要一步；注意單獨(dú)的一個(gè)數(shù)也要乘最簡(jiǎn)公分母；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)為分母，最簡(jiǎn)公分母為其中的一個(gè)，另一個(gè)乘以最簡(jiǎn)公分母后，結(jié)果為﹣1．4．如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱(chēng)這個(gè)分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的新定義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行變形，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．解：＝＝x+y，故選項(xiàng)A不符合題意；的分子分母都不能分解因式，故選項(xiàng)B不符合題意；＝，故選項(xiàng)C符合題意；＝＝，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的約分、因式分解、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．5．若分式的值為0，則x的值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．0【分析】分母不為0，分子為0時(shí)，分式的值為0．解：根據(jù)題意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．6．如圖，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列條件不能說(shuō)明△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝DB B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ACB＝∠DBC【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：因?yàn)椤螦BC＝∠DCB，BC＝CB，所以當(dāng)添加∠A＝∠D時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△DCB；當(dāng)添加AB＝DC時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△DCB；當(dāng)添加∠ACB＝∠DBC時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DCB．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．7．下面四個(gè)圖形中，線段BE能表示三角形ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，作對(duì)邊的垂線，頂點(diǎn)與垂足所連線段即為三角形的一條高線，進(jìn)行判斷即可．解：A、線段BE不能表示三角形ABC的高，不符合題意；B、線段BE能表示三角形ABC的高，符合題意；C、線段BE不能表示三角形ABC的高，不符合題意；D、線段BE不能表示三角形ABC的高，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的高線．熟練掌握三角形的高線的定義是解題的關(guān)鍵．8．要說(shuō)明命題“若a＞b，則a2＞b2”是假命題，下列a，b的值能作為反例的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝4．b＝2 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣4 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣2【分析】作為反例，要滿(mǎn)足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個(gè)要求對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：A、a＝4，b＝﹣2滿(mǎn)足a＞b，a2＞b2，不能作為反例，故不符合題意；B、a＝4，b＝2滿(mǎn)足a＞b，a2＞b2，不能作為反例，故不符合題意；C、a＝﹣3，b＝﹣4滿(mǎn)足a＞b，但a2＜b2，能作為反例，故符合題意；D、a＝﹣3，b＝﹣2不滿(mǎn)足a＜b，不能作為反例，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．9．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若AC＝4，AB＝10，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．10 D．14【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD＝DB，然后可得AD+CD＝10，進(jìn)而可得△ACD的周長(zhǎng)．解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，因?yàn)镸N是BC的垂直平分線，所以CD＝DB，因?yàn)锳B＝10，所以CD+AD＝10，所以△ACD的周長(zhǎng)＝CD+AD+AC＝4+10＝14，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．10．無(wú)論x取什么數(shù)，總有意義的分式是（）A． B． C． D．【分析】按照分式有意義，分母不為零即可求解．解：A．，x3+1≠0，x≠﹣1，B．，（x+1）2≠0，x≠﹣1，C．，x2+1≠0，x為任意實(shí)數(shù)，D．，x2≠0，x≠0；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式有意義的條件，按照分式有意義，分母不為零即可求解11．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個(gè)三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4．解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，因?yàn)辄c(diǎn)O是內(nèi)心，所以O(shè)E＝OF＝OD，所以S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線上的一點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．做題時(shí)應(yīng)用了三個(gè)三角形的高是相等的，這點(diǎn)是非常重要的．12．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五、直金八兩．問(wèn)牛、羊各直金幾何？”小明對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了改編：每頭牛比每只羊貴1兩，20兩買(mǎi)牛，15兩頭羊．買(mǎi)得牛、羊的數(shù)量相等，則每頭牛的價(jià)格為多少兩？若設(shè)每頭牛的價(jià)格為x兩，則可列方程為（）A． B． C． D．【分析】若設(shè)每頭牛的價(jià)格為x兩，則每頭羊的價(jià)格為（x﹣1）兩，根據(jù)“20兩買(mǎi)牛，15兩頭羊．買(mǎi)得牛、羊的數(shù)量相等”找到等量關(guān)系并列出方程，此題得解．解：若設(shè)每頭牛的價(jià)格為x兩，則每頭羊的價(jià)格為（x﹣1）兩，則可列方程為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題每題2分，共12分。13．分式，，的最簡(jiǎn)公分母是12xy2．【分析】確定最簡(jiǎn)公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母．解：分式，，的分母分別是2x、3y2、4xy，故最簡(jiǎn)公分母是12xy2．故答案為12xy2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，通分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個(gè)分式中分母的最簡(jiǎn)公分母，確定最簡(jiǎn)公分母的方法一定要掌握．14．內(nèi)角和是1440°的多邊形的邊數(shù)是10．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，它的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，根據(jù)題意列方程得（n﹣2）×180＝1440，即可解得n的值．解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得：（n﹣2）×180＝1440，解得：n＝10．所以此多邊形的邊數(shù)為10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握內(nèi)角和定理的解題的關(guān)鍵．15．若等腰三角形中有一個(gè)角等于65°，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為57.5°或65°．【分析】題中沒(méi)有指明這個(gè)角是底角還是頂角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求解．解：①當(dāng)這個(gè)角為頂角時(shí)，底角＝（180°﹣65°）÷2＝57.5°；②當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，底角＝65°．故答案為：57.5°或65°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．使分式有意義的x的取值范圍是x≠5．【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣5≠0，求出x的范圍即可．解：當(dāng)x﹣5≠0時(shí)，分式有意義，解得x≠5，故答案為：x≠5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件：分母不為零是解題的關(guān)鍵．17．關(guān)于x的分式方程＝1有增根，則m的值為﹣3．【分析】方程兩邊乘（x﹣2），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解出方程的解，根據(jù)方程有增根，增根為x＝2，得到關(guān)于m的方程，解方程即可．解：方程兩邊乘（x﹣2）得：m+3＝x﹣2，所以x＝m+5，因?yàn)榉匠逃性龈?，所以x﹣2＝0，所以m+5＝2，所以m＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含義是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G，F(xiàn)，若FG＝3，ED＝6，EB+DC＝9．【分析】由角平分線定義與平行線的性質(zhì)推出∠EBG＝∠EGB，得到EB＝EG，同理DF＝DC，因此EB+DC＝EG+DF＝ED+FG．解：因?yàn)锽G平分∠EBC，所以∠EBG＝∠GBC，因?yàn)镈E∥BC，所以∠EGB＝∠GBC，所以∠EBG＝∠EGB，所以EB＝EG，同理DF＝DC，所以EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝6+3＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關(guān)鍵．三、解答題共72分。19．（16分）（1）（x﹣3y﹣2）﹣3?（x2y﹣1）﹣4．（2）．（3）．（4）．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；（2）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）利用同分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（4）利用分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：（1）（x﹣3y﹣2）﹣3?（x2y﹣1）﹣4＝x9y6?x﹣8y4＝xy10；（2）＝﹣2﹣1+＝﹣2；（3）＝＝＝1；（4）＝?＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，冪的乘方與積的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．解方程：（1）﹣＝0；（2）﹣＝1．【分析】（1）①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．解：（1）﹣＝0，2x﹣（x+1）＝0，2x﹣x﹣1＝0，x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x（x+1）＝2≠0，故原方程的解是x＝1；（2）﹣＝1，（x﹣2）2﹣16＝x2﹣4，x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，﹣4x+4﹣16＝﹣4，x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）（x﹣2）＝0，是增根，所以原方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】考查了解分式方程，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．21．先化簡(jiǎn)：，然后從﹣1，0，1，2，3中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【分析】先把括號(hào)內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，接著約分得到原式＝﹣，然后根據(jù)分式有意義的條件把a(bǔ)＝3代入計(jì)算即可．解：原式＝÷＝÷＝?＝﹣，因?yàn)閍+1≠0且a﹣1≠0且a≠0且a﹣2≠0，所以a只能取3，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．22．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．求證：△ACD≌△CBE．【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠ADC＝∠E＝90°，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠B＝∠ACD，再利用“角角邊”證明△ACD≌△CBE．【解答】證明：因?yàn)锳D⊥CE，BE⊥CE，所以∠ADC＝∠E＝90°，因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠BCE+∠ACD＝90°，因?yàn)椤螧+∠BCE＝90°，所以∠B＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，，所以△ACD≌△CBE（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意求出∠B＝∠ACD是證明三角形全等的關(guān)鍵．23．對(duì)a，b定義一種新運(yùn)算M，規(guī)定，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，如果M（2x，1）＝M（1，﹣1），求實(shí)數(shù)x的值；【分析】根據(jù)定義新運(yùn)算的計(jì)算方法列出方程求得x的數(shù)值即可．解：因?yàn)镸（2x，1）＝M（1，﹣1），所以＝，解得：x＝，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝是原分式方程的解，所以實(shí)數(shù)x的值為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查解分式方程，理解定義新運(yùn)算的方法，掌握解分式方程的步驟與方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．24．如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度數(shù)．【分析】△ABD中，由三角形的外角性質(zhì)知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，從而可在△BAC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠4的度數(shù)，進(jìn)而可在△DAC中，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC的度數(shù)．解：設(shè)∠1＝∠2＝x，則∠3＝∠4＝2x．因?yàn)椤螧AC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用．25．閱讀下面一段文字：高圓帶了9元去商店買(mǎi)筆記本，她想買(mǎi)一種軟面抄，正好需付9元，但售貨員建議她買(mǎi)另一種質(zhì)量更好的硬面抄，只是這種筆記本的價(jià)格比軟面抄要高出一半，因此她只能少買(mǎi)一本筆記本．請(qǐng)你根據(jù)以上信息確定：這種軟面抄和硬面抄的價(jià)格各是多少？高圓原來(lái)打算買(mǎi)多少本筆記本？【分析】關(guān)鍵描述語(yǔ)為：“少買(mǎi)了一本筆記本”；等量關(guān)系為：價(jià)格低的數(shù)量﹣價(jià)格高的數(shù)量＝1．解：設(shè)每本軟面抄的價(jià)格為x元，則每本硬面抄的價(jià)格為1.5x元．（1分）由題意得：．解之得：x＝3．所以1.5×3＝4.5（元），9÷3＝3（本）．答：軟面抄單價(jià)3元/本，硬面抄單價(jià)4.5元/本，高原原計(jì)劃買(mǎi)3本筆記本．【點(diǎn)評(píng)】列分式方程解應(yīng)用題與所有列方程解應(yīng)用題一樣，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù)．26．回答問(wèn)題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3，仍然滿(mǎn)足EF＝BE+FD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，先判