第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（14類題型清單）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊(cè)）

PAGE1第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，的次方根用符號(hào)表示.②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，叫做的次算術(shù)根；負(fù)的次方根用符號(hào)表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫(xiě)成().③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量，定義域是.3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱性函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱4、值域（1）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結(jié)合得性質(zhì)確定的值域（3）求形如的值域，轉(zhuǎn)化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.5、指數(shù)函數(shù)的圖象變換已知函數(shù)（1）對(duì)稱變換①②③（2）翻折變換①（去掉軸左側(cè)圖象，保留軸右側(cè)圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)）②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）6、對(duì)數(shù)概念對(duì)數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù),記作,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).7、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化當(dāng)且，8、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)且，,①②③（）④（）⑤（）9、對(duì)數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：10、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)11、函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.12、二分法的概念對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷的把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection)0303題型歸納題型一指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)求值例題1．（23-24高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）回答下面兩個(gè)題：(1)(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）原式．（2）原式.例題2．（23-24高一上·江蘇南京·期中）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）9；（2）1【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）由求出，然后代入中化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）∵，∴，，∴．鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·河南鄭州·期中）（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）3；（2）6【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；（2）結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，利用完全平方和公式求解即可.【詳解】（1）原式.（2）由，而，則，故.2．（23-24高二下·湖北孝感·期末）（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】由指數(shù)冪運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解．【詳解】解：（1）；（2）．題型二指（對(duì)）數(shù)函數(shù)定義及解析式例題1．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則，解得．故答案為：1.例題2．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】4【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的值為4.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)（a＞0，且a≠1）是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．2 B．3 C．－1 D．1【答案】AC【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)概念可解.【詳解】若函數(shù)（a＞0，且a≠1）是指數(shù)函數(shù)，則滿足，解得或.故選：AC．2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)概念可解.【詳解】函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù),則．故答案為：5.題型三指（對(duì)）數(shù)函數(shù)的圖象例題1．（23-24高一上·重慶·期中）已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)即可得，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖象即可判斷得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，再由指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，為單調(diào)遞增，可排除AB，且與軸交點(diǎn)為，又，所以，即交于軸正半軸上，排除D，可知C正確；故選：C例題2．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】分、討論，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過(guò)0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過(guò)12,0當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過(guò)0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過(guò)12,0所以滿足條件的圖象為D.故選：D.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）在下圖中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用排除法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析判斷即可【詳解】因?yàn)闉橹笖?shù)函數(shù)，所以，且，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線，所以排除BD，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，所以，所以二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi)，所以C錯(cuò)誤，故選：A2．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）若函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意求出a的值，可得的具體表達(dá)式，判斷其圖象性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由于函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)，故，則，該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只有B中圖象符合該函數(shù)圖象特點(diǎn)，故選：B題型四指（對(duì)）數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例題1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則即可得解．【詳解】解：由，可得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：A．例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在1,2上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，利用其最值以及二次函數(shù)單調(diào)性，建立不等式，可得答案.【詳解】令，則．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上單調(diào)遞增，則，解得．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上單調(diào)遞減，則，解得，與矛盾．綜上所述，.故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（2024·江西九江·二模）若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減且恒大于0，則有，解得.故選：C2．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】值域?yàn)?；單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】利用對(duì)數(shù)式有意義，求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的值域的求法和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由，解得，函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，，則，∵為減函數(shù)，，，∴，故的值域?yàn)椋?，知?duì)稱軸為，開(kāi)口向下，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．題型五指（對(duì)）數(shù)函數(shù)的定義域例題1．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮浚痉治觥扛鶕?jù)指數(shù)函數(shù)定義域及根號(hào)下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則其定義域?yàn)?故答案為：.例題2．（23-24高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的定義域?yàn)镽（常數(shù)，），則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式在R上恒成立，且，即在R上成立，且．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，所以k的取值范圍是．故答案為：．例題3．（23-24高一·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)（常數(shù)且）．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，解出即可.（2）令，解出即可.【詳解】（1）由已知，令，即，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由已知，令，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分母不為零、交集思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域滿足，解得且．則函數(shù)定義域?yàn)?，故選：D2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）若的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；【答案】【分析】（1）定義域?yàn)?，說(shuō)明真數(shù)恒大于0，列式求解；【詳解】定義域?yàn)榧凑鏀?shù)恒大于0，則或，得所以的取值范圍是．題型六指（對(duì)）數(shù)函數(shù)的值域例題1．（23-24高一下·上海楊浦·期中）函數(shù)的值域是.【答案】【分析】利用整體思想先求真數(shù)的范圍，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】易知，又定義域上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.例題2．（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數(shù)在的最小值是．【答案】/【分析】令，然后利用配方法可得答案.【詳解】令，則，則，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：.例題3．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】）值域?yàn)椋f(shuō)明真數(shù)能取遍，列式求解.【詳解】值域?yàn)榧凑鏀?shù)能取遍0,+∞當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)，解得，所以的取值范圍是0,1故答案為0,1鞏固訓(xùn)練1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域即可.【詳解】設(shè)，則，換元得，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?2．（23-24高一上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知x滿足.(1)求log2(2)求函數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）先通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)函數(shù)得，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)最值即可.【詳解】（1）由，得.（2）因?yàn)?，所以?dāng)即時(shí)，取得最小值.題型七指（對(duì)）數(shù)式比大小例題1．（2024·四川樂(lè)山·三模）若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用放縮法可得，利用作商比較法可得，進(jìn)而可得，可得結(jié)論.【詳解】，所以則，又，所以，所以.故選：D.例題2．（23-24高一下·陜西安康·期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得.【詳解】依題意，，，，因此.故選：C例題3．（23-24高一·上?！ふn堂例題）比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)與；(2)與；(3)與．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】（1）因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，且，所以.（2）因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，且，所以.（3）因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，且，所以.鞏固訓(xùn)練1．（2024·天津南開(kāi)·二模）已知，，，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】借助對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得、、范圍，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，?故選：C.2．（2024·天津北辰·三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值“”分析大小即可.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，則，即；又因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，則，即；可得，且在0,+∞上單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：.故選：D.3．（23-24高二下·河北·期末）已知，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，得到結(jié)論.【詳解】，故，即.故選：D題型八根據(jù)指（對(duì)）數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式例題1．（23-24高一上·廣東茂名·期末）（1）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）解關(guān)于x的不等式：（且）.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出值域即得.（2）按分類，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式即得.【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以函數(shù)，的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞減，由，得，解得，因此不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，由，得，解得，因此不等式的解集為?1,1；所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為?1,1.例題2．（23-24高一上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)為偶函數(shù)，由f?x=f（2）由（1）可求出，再由可得，即，解不等式即可得出答案.【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，，即，，.（2）由（1）知，，，不等式，等價(jià)于，即，由，解得，由，得，得，即，綜上，不等式的解集為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·廣東江門(mén)·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由題意得，從而可求出函數(shù)的定義域；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義分析判斷；（3）由，得，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，?）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以為奇函?shù).（3）由，得，所以，因?yàn)樵诙x域內(nèi)為減函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為.2．（23-24高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）求滿足下列條件的的取值范圍．(1)；(2)（，且）．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）將化為，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍；（2）根據(jù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，解得或x>2，所以的取值范圍為?∞,?3當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，解得，所以的取值范圍?3,2；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.題型九不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異例題1．（23-24高一上·江西·階段練習(xí)）已知，則下列命題中正確的是（

）A．，，有成立B．，，有成立C．，，有成立D．，，有成立【答案】A【分析】根據(jù)不同函數(shù)類型的增長(zhǎng)速度，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)、、均為單調(diào)遞增函數(shù).而且各類函數(shù)的增長(zhǎng)速度為：指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù)，冪函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù).所以，，，有成立.故選：A.例題2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（用“>”連接）．【答案】【分析】構(gòu)造指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出，，和0，1的大小關(guān)系，即可得結(jié)果．【詳解】在上是增函數(shù)，．在(0,+∞)上是增函數(shù)，．在(0,+∞)上是減函數(shù)，，即．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式對(duì)數(shù)式比較大小的問(wèn)題，①同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)比較大小時(shí)，如果底數(shù)大于1，那么真數(shù)大的對(duì)數(shù)較大；如果底數(shù)大于0且小于1，那么真數(shù)大的對(duì)數(shù)較小②不同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)比較大小時(shí)，可通過(guò)中間量進(jìn)行比較，常用的中間量是1和0．鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）三個(gè)變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155其中關(guān)于呈指數(shù)增長(zhǎng)的變量是【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到答案.【詳解】指數(shù)型函數(shù)呈“爆炸式”增長(zhǎng).從表格中可以看出，三個(gè)變量，，，的值隨著的增加都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，相比之下，變量的增長(zhǎng)速度最快，可知變量關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.故答案為：2．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）能使不等式一定成立的x的取值范圍是A．(0,+∞) B． C． D．【答案】D【解析】作出三個(gè)函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】作出、（紅色）、圖像由圖像可知，當(dāng)時(shí)，故選：D.【點(diǎn)睛】考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.題型十判斷函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)例題1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．2或3或4【答案】A【分析】將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)圖象計(jì)算即可.【詳解】方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故方程的解的個(gè)數(shù)為2．故選：A例題2．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，令，可得，即，在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知在區(qū)間0,+∞又因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，又因，所以一共有三個(gè)零點(diǎn).故選：C鞏固訓(xùn)練1．23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分兩種情況，解方程即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，所以，所以，故，當(dāng)時(shí)，由可得，故，則的零點(diǎn)有，，3，共計(jì)3個(gè).故選：C．2．（2024·浙江·二模）函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn)．【答案】1【分析】運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)概念，求解零點(diǎn)，結(jié)合分段函數(shù)特征,分類討論判定即可.【詳解】當(dāng)，令，解得，但，所以只有可能是零點(diǎn)，且.當(dāng)，令，解得，又，所以只有，即時(shí)，可能是零點(diǎn).綜上，當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)．即函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)故答案為：1．題型十一根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)（方程根）所在區(qū)間求參數(shù)例題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A例題2．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，可得．故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.2．（23-24高一下·福建福州·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，，則．【答案】2【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間，即可得答案.【詳解】由題意知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故，故答案為：2題型十二根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)（方程根）個(gè)數(shù)求參數(shù)例題1．（多選）（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則m的值可以是（

）．A．0 B． C．1 D．【答案】BCD【分析】先作出函數(shù)的圖象，然后結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，得到方程的一個(gè)根在，一個(gè)根在，結(jié)合一元二次方程的根的分布問(wèn)題即可求解．【詳解】記，作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，則由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根；顯然不是方程的根，若是方程的根，則，此時(shí)另一個(gè)根為，結(jié)合圖象可知，此時(shí)方程和方程共有4個(gè)根，則函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；所以恰有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程恰有5個(gè)實(shí)根，等價(jià)于方程的一個(gè)根在，一個(gè)根在，令，則，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知，的值可以是.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.例題2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函數(shù)，.若，則；若函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用分段函數(shù)的定義直接計(jì)算可得第一空；作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分類討論即得.【詳解】若，則，顯然，則；如圖所示作出y=fx易知y=gx過(guò)原點(diǎn)，要滿足題意需與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y=gx過(guò)時(shí)，此時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，y=gx與只一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)?shù)男甭式橛跁r(shí)滿足題意，即.故答案為：；.例題3．（23-24高二上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（且），若函數(shù)的圖象上有且僅有一組點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是.【答案】【分析】由題意只需當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)的圖象上有且僅有1個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱即可，在這里分和討論即可求解.【詳解】易得時(shí)已有一個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故只需當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)的圖象上有且僅有1個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱即可.一方面：由題意，時(shí)，如圖所示，

函數(shù)的圖象上有且僅有一組點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，其中點(diǎn)為函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點(diǎn)，注意到函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所有點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，而這樣的點(diǎn)是唯一的，故點(diǎn)也隨之確定，即時(shí)，函數(shù)的圖象上有且僅有一組點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故滿足題意；另一方面：時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，

則只需，∴，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．-3 B．-2 C．0 D．2【答案】BC【分析】令，則，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題分解成兩個(gè)步驟完成，先求的值，再求x的值，結(jié)合函數(shù)圖象分析運(yùn)算.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，則；若函數(shù)恰好有4個(gè)不同的零點(diǎn)，令，則有兩個(gè)零點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，可得；可得和均有兩個(gè)不同的實(shí)根，即y=fx與、均有兩個(gè)交點(diǎn)，則，且，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.且，故A、D錯(cuò)誤，B、C正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍的方法，（1）利用零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解，（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解，（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解．2．（23-24高二下·北京·期末）設(shè)，函數(shù)，若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，按和分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域求解即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)，因此；當(dāng)時(shí)，若，則，若，，顯然，此時(shí)有一個(gè)解，由恰有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以的取值范圍是.故答案為：3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時(shí)的圖象情況，分類討論，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得，即，解得或，即在上有2個(gè)零點(diǎn)；若，，其圖象對(duì)稱軸為，函數(shù)的大致圖像如圖：則此時(shí)，即，則，即無(wú)解，則無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；故需，此時(shí)函數(shù)的大致圖像如圖：由得或，要使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，需滿足在上有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)只有一個(gè)解，故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無(wú)交點(diǎn)，則需，解得，結(jié)合，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題為復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解答時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，即作出函數(shù)的大致圖像，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，即可解決.題型十三二分法及其應(yīng)用例題1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）用二分法求方程的根的近似值時(shí)，令，并用計(jì)算器得到下表：x1.001.251.3751.501.07940.1918-0.3604-0.9989則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程的一個(gè)近似解（誤差不超過(guò)0.05）為（

）A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【答案】B【分析】由圖表知，故由二分法思想再取的中點(diǎn)，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度時(shí)便得到近似解.【詳解】因?yàn)?，故根?jù)二分法的思想，知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，但區(qū)間的長(zhǎng)度為，因此需要取的中點(diǎn)1.3125，兩個(gè)區(qū)間和中必有一個(gè)滿足區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相異，又區(qū)間的長(zhǎng)度為，因此1.3125是一個(gè)近似解．故選：B.例題2．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在用二分法求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，則函數(shù)的一個(gè)誤差不超過(guò)0.025的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值可以為（

）A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6【答案】C【分析】利用二分法可得出結(jié)果.【詳解】已知，則函數(shù)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為，又因?yàn)?，且，所以零點(diǎn)在區(qū)間上，又，所以所求近似值可以為.故選：C.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）用二分法求函數(shù)在內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，誤差不超過(guò)，則結(jié)束計(jì)算的條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)小于精度時(shí)結(jié)束計(jì)算，得到答案.【詳解】根據(jù)二分法的步驟知，經(jīng)過(guò)一次計(jì)算，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椋?dāng)時(shí)，結(jié)束計(jì)算，故，故選：B.2．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值（精確度為時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)；，關(guān)于下一步的說(shuō)法正確的是（

）A．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算【答案】C【分析】由二分法的定義直接求解即可.【詳解】由二分法的定義，可得正零點(diǎn)所在區(qū)間不斷縮小，時(shí)的區(qū)間長(zhǎng)度為，故沒(méi)有達(dá)到精確的要求，應(yīng)該接著計(jì)算的值.故選：C題型十四函數(shù)模型選擇及應(yīng)用例題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某新型企業(yè)為獲得更大利潤(rùn)，需不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤(rùn)率（利潤(rùn)/成本）低于10%，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型．下表顯示的是某企業(yè)幾年來(lái)利潤(rùn)y（單位：百萬(wàn)元）與年投資成本x（單位：百萬(wàn)元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2019202020212022…投資成本x35917…年利潤(rùn)y1234…給出以下三個(gè)函數(shù)模型：①；②；③．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述x，y之間的關(guān)系；(2)試判斷該企業(yè)年利潤(rùn)為6百萬(wàn)元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型．【答案】(1)選③；(2)要考慮轉(zhuǎn)型【分析】（1）將分別代入三個(gè)函數(shù)進(jìn)行求解，再檢驗(yàn)；（2）由，則，進(jìn)行求解．【詳解】（1）將代入，得，解得，得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；將代入，得，解得，得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；將代入，得，解得，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故可用③來(lái)描述之間的關(guān)系．（2）由，則.∵年利潤(rùn)率為，∴該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型．2．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期末）為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場(chǎng)．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如表．上市時(shí)間天2632市場(chǎng)價(jià)/元1486073(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由），并利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場(chǎng)價(jià)；(2)記你所選取的函數(shù)y=fx，若存在，使得不等式成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)選擇，該紀(jì)念章上市1