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文檔簡介
云南省大理市下關鎮(zhèn)第一中學2025屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,復數(shù),,且為實數(shù),則()A. B. C.3 D.-32.已知集合,集合,則().A. B.C. D.3.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.4.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.設復數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.6.年初,湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延,各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應,全國人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù),則下列中表述錯誤的是()A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢B.隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C.月日至月日新增確診人數(shù)波動最大D.我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)在月日左右達到峰值7.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點,間的距離為2,動點與,的距離之比為,當,,不共線時,的面積的最大值是()A. B. C. D.8.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于任意一個大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.99.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.310.設函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.11.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.12.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對邊分別是,若,,則____.14.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預測,第4個盒子里放的電影票為_________15.已知拋物線的焦點為,斜率為的直線過且與拋物線交于兩點,為坐標原點,若在第一象限,那么_______________.16.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點,到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓于,兩點,直線,分別交直線于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標;若不是,請說明理由.18.(12分)已知矩陣的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間.(2)設直線是曲線的切線,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時切線的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.20.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)設點,直線與曲線相交于,,求的值.21.(12分)設直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設直線(為坐標原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標;(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.22.(10分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
把和代入再由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,利用虛部為0求得m值.【詳解】因為為實數(shù),所以,解得.【點睛】本題考查復數(shù)的概念,考查運算求解能力.2、A【解析】
算出集合A、B及,再求補集即可.【詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.3、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎題.4、D【解析】
先求出四個頂點、四個焦點的坐標,四個頂點構成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標為,四個焦點的坐標為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.5、B【解析】
利用復數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算,需掌握復數(shù)的運算法則,屬于基礎題.6、D【解析】
根據(jù)新增確診曲線的走勢可判斷A選項的正誤;根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關系可判斷B選項的正誤;根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢可判斷C選項的正誤;根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于A選項,由圖象可知,月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢,A選項正確;對于B選項,由圖象可知,隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù),B選項正確;對于C選項,由圖象可知,月日至月日新增確診人數(shù)波動最大,C選項正確;對于D選項,在月日及以前,我國新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù),我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)不在月日左右達到峰值,D選項錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表的應用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.7、A【解析】
根據(jù)平面內(nèi)兩定點,間的距離為2,動點與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結合求解.【詳解】如圖所示:設,,,則,化簡得,當點到(軸)距離最大時,的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應用,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
模擬程序運行,觀察變量值可得結論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時:,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結構,解題時可模擬程序運行,觀察變量值,從而得出結論.9、C【解析】試題分析:拋物線的準線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點,,,則;選C考點:1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準線方程;10、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關于軸對稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.11、A【解析】
先分別判斷每一個命題的真假,再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標準方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,根據(jù)正弦定理“邊化角”,可得,根據(jù)余弦定理,結合已知聯(lián)立方程組,即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理:可得根據(jù)余弦定理:由已知可得:故可聯(lián)立方程:解得:.由故答案為:.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角,解題關鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14、A或D【解析】
分別假設每一個人一半是對的,然后分別進行驗證即可.【詳解】解:假設甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點睛】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結能力,屬于中檔題.15、2【解析】
如圖所示,先證明,再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準線的垂線,垂足分別為M,N,過點B作于點E,設|BF|=m,|AF|=n,則|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因為,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案為:2【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的定義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】
建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長度,最后利用導數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點,所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標系,則.設直線,即,則,所以,所以,,則,則,當時,,則單調(diào)遞減,當時,,則單調(diào)遞增,所以當時,最短,此時.故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的實際應用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)是,定點坐標為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,聯(lián)立方程得到,,計算點的坐標為,點的坐標為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因為,所以,所以橢圓的方程為.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡得到,所以,,所以,,因為直線的斜率,所以直線的方程,所以點的坐標為,同理,點的坐標為,故以為直徑的圓的方程為,又因為,,所以圓的方程可化為,令,則有,所以定點坐標為或.【點睛】本題考查了橢圓方程,圓過定點問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、另一個特征值為,對應的一個特征向量【解析】
根據(jù)特征多項式的一個零點為3,可得,再回代到方程即可解出另一個特征值為,最后利用求特征向量的一般步驟,可求出其對應的一個特征向量.【詳解】矩陣的特征多項式為:,是方程的一個根,,解得,即方程即,,可得另一個特征值為:,設對應的一個特征向量為:則由,得得,令,則,所以矩陣另一個特征值為,對應的一個特征向量【點睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量,需掌握特征多項式的計算形式,屬于基礎題.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(2),;(3)證明見解析.【解析】
(1)由的正負可確定的單調(diào)區(qū)間;(2)利用基本不等式可求得時,取得最小值,由導數(shù)的幾何意義可知,從而求得,求得切點坐標后,可得到切線方程;(3)由極值點的定義可知是的兩個不等正根,由判別式大于零得到的取值范圍,同時得到韋達定理的形式;化簡為,結合的范圍可證得結論.【詳解】(1)由題意得:的定義域為,當時,,,當和時,;當時,,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),所以(當且僅當,即時取等號),切線的斜率存在最小值,,解得:,,即切點為,從而切線方程,即:.(3),分別在,處取得極值,,是方程,即的兩個不等正根.則,解得:,且,.,,,即不等式成立.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)證明不等式等知識;本題中證明不等式的關鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.20、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(為參數(shù))直接消去參數(shù),可得直線的普通方程,把兩邊同時乘以,結合,可得曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)把代入,化為關于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系及參
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