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文檔簡介
2025屆河南省南陽市高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.12.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.63.如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.4.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.5.已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大,則拋物線的標準方程為()A. B. C. D.6.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.107.已知,,,若,則()A. B. C. D.8.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.9.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.410.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.11.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.312.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是________________.14.已知,,其中,為正的常數(shù),且,則的值為_______.15.已知,圓,直線PM,PN分別與圓O相切,切點為M,N,若,則的最小值為________.16.如圖是一個幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)最小值為,且,求的最小值.18.(12分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若為的中點,求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.19.(12分)△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.20.(12分)如圖,在三棱柱中,、、分別是、、的中點.(1)證明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影為,求到平面的距離.21.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)某景點上山共有級臺階,寓意長長久久.甲上臺階時,可以一步走一個臺階,也可以一步走兩個臺階,若甲每步上一個臺階的概率為,每步上兩個臺階的概率為.為了簡便描述問題,我們約定,甲從級臺階開始向上走,一步走一個臺階記分,一步走兩個臺階記分,記甲登上第個臺階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時所得分數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過程中,恰好登上第級臺階的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項.【點睛】考查集合并集運算,屬于簡單題.2、B【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.3、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因為雞蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題,考查球體有關的知識.在解答過程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時,可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面,然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.4、D【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎題.5、B【解析】
由拋物線的定義轉化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標準方程為:y2=2x.故選B.【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應用,拋物線方程的求法,屬于基礎題.6、D【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點坐標分別為,目標函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點與坐標原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.7、B【解析】
由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標運算計算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查向量平行的坐標表示,考查數(shù)量積的坐標運算,掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關鍵.8、C【解析】
函數(shù)的定義域應滿足故選C.9、C【解析】
由正項等比數(shù)列滿足,即,又,即,運算即可得解.【詳解】解:因為,所以,又,所以,又,解得.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎題.10、A【解析】
若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件.11、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法,是基礎題.12、B【解析】
奇函數(shù)滿足定義域關于原點對稱且,在上即可.【詳解】A:因為定義域為,所以不可能時奇函數(shù),錯誤;B:定義域關于原點對稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關于原點對稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因為,所以在上不是增函數(shù),錯誤;D:定義域關于原點對稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號零點,所以在上不是增函數(shù),錯誤;故選:B【點睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關于原點對稱,屬于簡單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】因為sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直線的斜率范圍為[-1,1],由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是.答案:14、【解析】
把已知等式變形,展開兩角和與差的三角函數(shù),結合已知求得值.【詳解】解:由,得,,即,,又,,解得:.為正的常數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),考查數(shù)學轉化思想方法,屬于中檔題.15、【解析】
由可知R為中點,設,由過切點的切線方程即可求得,,代入,,則在直線上,即可得方程為,將,代入化簡可得,則直線過定點,由則點在以為直徑的圓上,則.即可求得.【詳解】如圖,由可知R為MN的中點,所以,,設,則切線PM的方程為,即,同理可得,因為PM,PN都過,所以,,所以在直線上,從而直線MN方程為,因為,所以,即直線MN方程為,所以直線MN過定點,所以R在以OQ為直徑的圓上,所以.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系,考查圓的切線方程,定點和圓上動點距離的最值問題,考查學生的數(shù)形結合能力和計算能力,難度較難.16、;【解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個側面都是直角三角形,所以計算出邊長,表面積是考點:1.三視圖;2.幾何體的表面積.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用零點分段法,求得不等式的解集.(2)先求得,即,再根據(jù)“的代換”的方法,結合基本不等式,求得的最小值.【詳解】(1)當時,,即,無解;當時,,即,得;當時,,即,得.故所求不等式的解集為.(2)因為,所以,則,.當且僅當即時取等號.故的最小值為.【點睛】本小題主要考查零點分段法解絕對值不等式,考查利用基本不等式求最值,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)設EC與DF交于點N,連結MN,由中位線定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中點為G,連結BG,EG,則可證四邊形ABGD是矩形,由面面垂直的性質(zhì)得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,從而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入體積公式即可計算出體積.【詳解】(1)證明:設與交于點,連接,在矩形中,點為中點,∵為的中點,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中點為,連接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的長即為四棱錐的高,在梯形中,,∴四邊形是平行四邊形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面,將空間問題轉化為平面問題求解,注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法:求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決.②等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時,這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計算得到高的數(shù)值.19、(1)(2).【解析】試題分析:(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和計算出,從而求出角,根據(jù)題設和余弦定理可以求出和的值,從而求出的周長為.試題解析:(1)由題設得,即.由正弦定理得.故.(2)由題設及(1)得,即.所以,故.由題設得,即.由余弦定理得,即,得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,當題設中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關系轉化為角的關系,有時需將角的關系轉化為邊的關系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值”,這類問題的通法思路是:全部轉化為角的關系,建立函數(shù)關系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.20、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)連接,連接、交于點,并連接,則點為的中點,利用中位線的性質(zhì)得出,,利用空間平行線的傳遞性可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結論;(2)推導出平面,并計算出,由此可得出到平面的距離為,即可得解.【詳解】(1)連接,連接、交于點,并連接,則點為的中點,、分別為、的中點,則,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影為,平面,平面,,為正三角形,且為的中點,,,平面,且,因此,到平面的距離為.【點睛】本題考查線面平行的證明,同時也考查了點到平面距離的計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.21、(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比,即得到結論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和.試題解析:(Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d
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