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文檔簡介
2025屆貴州省遵義求是高級中學高三第四次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在鈍角中,角所對的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.2.a為正實數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.13.若,,,點C在AB上,且,設,則的值為()A. B. C. D.4.一個陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個邊長為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1475.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要6.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.57.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內,點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內心 D.外心8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當時,,則()A.1 B.-1 C.2 D.-29.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調遞減,那么實數(shù)的最大值為()A. B. C. D.10.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個三等分點,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_________.14.如圖,在平面四邊形中,點,是橢圓短軸的兩個端點,點在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.15.有編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球,從中隨機取出4個,則取出球的編號互不相同的概率為_______________.16.(5分)函數(shù)的定義域是____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個人擊中鼓則得積分100分,沒有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領取一臺全自動洗衣機,問張明和王慧他們家庭可以領取一臺全自動洗衣機的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學期望.18.(12分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個條件中的2個條件:①函數(shù)的周期為;②是函數(shù)的對稱軸;③且在區(qū)間上單調.(Ⅰ)請指出這二個條件,并求出函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若,求函數(shù)的值域.19.(12分)已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導數(shù)相等,證明:;(3)當時,證明:對于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(注:當時,直線與曲線的交點在y軸兩側).20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線上的點M對應的參數(shù),射線與曲線交于點.(1)求曲線,的直角坐標方程;(2)若點A,B為曲線上的兩個點且,求的值.21.(12分)函數(shù),且恒成立.(1)求實數(shù)的集合;(2)當時,判斷圖象與圖象的交點個數(shù),并證明.(參考數(shù)據(jù):)22.(10分)如圖,已知橢圓的右焦點為,,為橢圓上的兩個動點,周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點,,直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點,,,求證:直線與直線的交點在定直線上.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因為,所以因為所以,即,,時故選:【點睛】本題考查正弦定理的應用,余弦函數(shù)的性質的應用,屬于中檔題.2、B【解析】
,選B.3、B【解析】
利用向量的數(shù)量積運算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應用,向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用.4、B【解析】
結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型,屬于基礎題5、B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系,即可得出?!驹斀狻吭O對應的集合是,由解得且對應的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關系法。設,如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。6、D【解析】
由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質計算.【詳解】由題意.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質,考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質是解題關鍵.7、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.8、B【解析】
根據(jù)f(x)是R上的奇函數(shù),并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期為4,而由x∈[0,1]時,f(x)=2x-m及f(x)是奇函數(shù),即可得出f(0)=1-m=0,從而求得m=1,這樣便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù),且;∴;∴;∴的周期為4;∵時,;∴由奇函數(shù)性質可得;∴;∴時,;∴.故選:B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值,此類問題一般根據(jù)條件先推導出周期,利用函數(shù)的周期變換來求解,考查理解能力和計算能力,屬于中等題.9、B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設,則當時,,,即,要使在區(qū)間上單調遞減,則得,得,即實數(shù)的最大值為,故選:B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調性求參數(shù),屬于中檔題.10、D【解析】
由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進而可知當時,;當時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當時,;當時,,則的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.11、B【解析】
對分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質解不等式,屬于基礎題.12、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個三等分點,,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、;【解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個側面都是直角三角形,所以計算出邊長,表面積是考點:1.三視圖;2.幾何體的表面積.14、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上,然后設出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標,進一步得到D橫坐標,再由計算比值即可.【詳解】因為,所以A、B、C、D四點共圓,直徑為,又A、C關于x軸對稱,所以圓心E在x軸上,設圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標為,又B、D中點是E,所以D的橫坐標為,故.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題,考查學生基本計算能力及轉化與化歸思想,本題關鍵是求出B、D橫坐標,是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.15、【解析】試題分析:從編號分別為1,1,3,4,5的5個紅球和5個黑球,從中隨機取出4個,有種不同的結果,由于是隨機取出的,所以每個結果出現(xiàn)的可能性是相等的;設事件為“取出球的編號互不相同”,則事件包含了個基本事件,所以.考點:1.計數(shù)原理;1.古典概型.16、【解析】
要使函數(shù)有意義,則,即,解得,故函數(shù)的定義域是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)要積分超過分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨立事件概率計算公式,計算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨立事件概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】(1)由題意,當家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領取一臺全自動洗衣機,所以要想領取一臺全自動洗衣機,則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設事件為“張明第次擊中”,事件為“王慧第次擊中”,,由事件的獨立性和互斥性可得(張明和王慧家庭至少擊中三次鼓),所以張明和王慧他們家庭可以領取一臺全自動洗衣機的概率是.(2)的所有可能的取值為-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列為-200-50100250400∴(分)【點睛】本小題考查概率,分布列,數(shù)學期望等概率與統(tǒng)計的基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)據(jù)處理,應用意識.18、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)依次討論①②成立,①③成立,②③成立,計算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函數(shù)值域.【詳解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,則,,,若①③成立,則,,不合題意,若②③成立,則,,與③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由題意得,,所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期,對稱軸,單調性,值域,表達式,意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.19、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】
(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調性,構造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調性即可得證;(3)將問題轉化為證明有唯一實數(shù)解,對求導,判斷其單調性,結合題目條件與不等式的放縮,即可得證.【詳解】;令,則恒成立;,;的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,在上單調遞減,在上單調遞增;;令,;則;令,則;;;(3)證明:,,要證明有唯一實數(shù)解;當時,;當時,;即對于任意實數(shù),一定有解;;當時,有兩個極值點;函數(shù)在,,上單調遞增,在上單調遞減;又;只需,在時恒成立;只需;令,其中一個正解是;,;單調遞增,,(1);;;綜上得證.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查了利用導數(shù)證明不等式,考查了轉化思想、不等式的放縮,屬難題.20、(1)..(2)【解析】
(1)先求解a,b,消去參數(shù),即得曲線的直角坐標方程;再求解,利用極坐標和直角坐標的互化公式,即得曲線的直角坐標方程;(2)由于,可設,,代入曲線直角坐標方程,可得的關系,轉化,可得解.【詳解】(1)將及對應的參數(shù),代入得,即,所以曲線的方程為,為參數(shù),所以曲線的直角坐標方程為.設圓的半徑為R,由題意,圓的極坐標方程為(或),將點代入,得,即,所以曲線的極坐標方程為,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由于,故可設,代入曲線直角坐標方程,可得,,所以.【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標,參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標的幾何意義的應用,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.21、(1);(2)2個,證明見解析【解析】
(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看是否有最小值;(2)將圖像與圖像的交點個數(shù)轉化為方程實數(shù)解的個數(shù)問題,然后構造函數(shù),再利用導數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】(1)的定義域為,因為,1°當時,在上單調遞減,時,使得,與條件矛盾;2°當時,由,得;由,得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而時,,
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